笔记小节22_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（22）
22 傅里叶级数；向量代数与空间解析几何；方向导数，曲面切平面， P243-P263
曲线法线
主讲 武忠祥 教授第三节 傅里叶级数
本节内容要点
一. 考试内容概要
(一）傅里叶系数与傅里叶级数
（二）收敛定理（狄利克雷）
（三）函数展开为傅里叶级数
二. 常考题型方法与技巧
题型一 有关收敛定理的问题
题型二 将函数展开为傅里叶级数考试内容概要
(一）傅里叶系数与傅里叶级数
1

a   f (x)cosnxdx n  0,1,2
n  
1

b   f (x)sin nxdx n  1,2   
n  
a 
f (x) ~ 0   (a cosnx  b sin nx)
n n
2
n1（二）收敛定理（狄利克雷）
设 f ( x) 在 [,] 上连续或有有限个第一类间断点,且只
有 有 限 个 极值点,则
f ( x)
的傅里叶级数在 [,] 上处处收
敛,且收敛于
1)
S(x)  f (x) 当 x 为 f (x) 的连续点.
f (x  )  f (x  )
2) S(x)  当 x 为 f (x) 的间断点.
2
f (()  )  f ( )
3) S(x)  当 x  .
2（三）周期为 2  的函数的展开
(1) [,] 上展开.
1

a   f (x)cosnxdx n  0,1,2
n  
1

b   f (x)sin nxdx n  1,2   
n  
(2)
[,]
上奇偶函数的展开.
i) 为奇函数
f ( x)
a  0, n  0,1,2
n
2

b   f (x)sin nxdx n  1,2   
n
 0ii) 为偶函数.
f ( x)
2

a   f (x)cosnxdx n  0,1,2
n
 0
b  0 n  1,2   
n
(3) 在 [0,] 上展为正弦或展为余弦.
i)展为正弦.
a  0, n  0,1,2
n
2

b   f (x)sin nxdx n  1,2   
n
 0
ii)展为余弦.
2

a   f (x)cosnxdx n  0,1,2
n
 0
b  0 n  1,2   
n（四）周期为 的函数的展开
2l
(1) [l,l] 上展开.
1 nx
l
a   f (x)cos dx n  0,1,2
n l l l
1 nx
l
b   f (x)sin dx n  1,2   
n l l l(2) [l,l] 上奇偶函数的展开.
i) 为奇函数.
f ( x)
a  0, n  0,1,2
n
2 nx
l
b   f (x)sin dx n  1,2   
n
l 0 l
ii) 为偶函数.
f ( x )
2 nx
l n  0,1,2
a   f (x)cos dx
n
l 0 l
b  0 n  1,2   
n(3)在 [0, l] 上展为正弦或展为余弦.
i)展为正弦.
n  0,1,2
a  0,
n
2 nx
l n  1,2   
b   f (x)sin dx
n
l 0 l
ii)展为余弦.
2 nx
l
a   f (x)cos dx n  0,1,2
n
l 0 l
b  0 n  1,2   
n常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
1.狄利克雷收敛定理
2.将函数展为傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理
【例1】(1988年1）设 是周期为2的周期函数，它在区间
f (x)
(1,1] 上的定义为
2,  1  x  0,
f (x)  
x 3 , 0  x  1.
则 f (x) 的傅里叶（Fourier）级数在 x  1 处收敛于 3
[ ]
_________.
2
【解】【例2】(1989年1）设函数 f (x)  x 2 ,0  x  1, 而


S(x)  b sin nx,    x  
n
n1
 1 
1
其中 b  2  f ( x ) s in n xdx, n  1,2,3, 则 S   等于（ ）
n
0  2
1 1
（A）  （B） 
2 4
1
1 [B]
（C） （D）
2
4
【解】【例3】(2023年)设 f (x) 是周期为 的周期函数，且 f (x)  1  x, x [0,1],
2


a

若 f (x)  0   a cos nx, 则 a  _________ .
2n
n
2
n1
n1
【解1】由题设知本题是将 f (x) 作偶延拓展开的,由狄利克雷收敛定理知

a

1  x  0  a cos nx x [0,1]
n
2
n1
 
a a
上式中分别令 x  0, x  1 得 1  0   a 0  0   (1) n a
n n
2 2
n1 n1
 
1  a  2  a a  2 
1
(1  x ) d x  1  a  0.
0 2n 0 2n
0
n1 n1
1 2 1
【解2】 a  2  (1  x)cos nxdx   (1  x)d sin nx
n
0
n
0

2
 [1  (1) n ] a  0  a  0
n
22 2n 2n
n12.将函数展为傅里叶级数
【例4】(1993,数一）设函数 f (x) x  x 2 ( x )
的傅里叶级数展开式为

a

0  (a cos nx  b sin nx),
n n
2
n1
则其中系数 的值为
b 2
_________. [ ]
3
3【例5】(1991,数一）将函数 展开成以2
f (x)  2  x (1  x  1)

1
为周期的傅里叶级数，并由此求级数  的和
2
n
n1
【解】 由于 是偶函数,所以
f (x)  2  x (1  x  1)
1
b  0, n  1,2, a  2  (2  x)dx  5,
n 0
0
1 1
a  2  (2  x)cos nxdx  2  x cos nxdx
n
0 0
2(cos n 1)
 n  1,2,
n
22
5  2(cos n 1) 5 4  cos(2n  1)x
 
2  x   cos nx   .
2 n 22 2 2 (2n  1) 2
n1 n0
  1 2
5 4 1
当 x  0 时， 2    ,从而   .
2 2 (2n  1) 2 (2n  1) 2 8
n0
n0
    
1 1 1 1 1 1
    
   
n 2 (2n  1) 2 (2n) 2 (2n  1) 2 4 n 2
n1 n0 n1 n0 n1【例6】(1995,数一）将 f (x)  x  1 (0  x  2) 展开成周期为 4 的余弦级数.
2
2
【解】 a   (x  1)dx  0,
0
2 0
2 nx 2 nx 2 nx
2 2 2
a   (x  1)cos dx   (x  1)d sin    sin dx
n
2 0 2 n 0 2 n 0 2
 0, n  2k,
4 
 [(1) n  1]   8 (k  1,2,).
n
22  , n  2k  1
  (2k  1) 22
8  1 (2n  1)x
f ( x)    cos x [0,2]
2 (2n  1) 2 2
n1第十一章 向量代数与空间解析几何及
多元微分学在几何上的应用第一节 向 量 代 数
1. 数量积
1）几何表示： a  b | a || b | cos
2) 代数表示: ab  a b  a b  a b
x x y y z z
3) 运算规律:
i) 交换律: ab  ba
ii) 分配律: a  (b  c)  a  b  a  c.
4) 几何应用:
i) 求模: | a | a  a
a  b
ii) 求夹角: cos
| a || b |
iii) 判定两向量垂直: a  b  a  b  02. 向量积
1) 几何表示: a  b 是一向量. 模: | a b || a | | b | sin
方向: 右手法则.
i j k
2) 代数表示:
a  b  a a a
x y z
b b b
x y z
3) 运算规律
i)a  b  (b a)
ii) 分配律: a (b  c)  a b  a c
4) 几何应用:
i) 求同时垂直于 a 和 的向量: a  b
b
ii) 求以 和 为邻边的平行四边形面积:
a b S  a  b
iii) 判定两向量平行: a // b  a  b  03. 混合积: (abc)  (a  b)  c
a a a
x y z
1) 代数表示:
(abc)  b b b
x y z
c c c
2) 运算规律: x y z
i) 轮换对称性:
(abc)  (bca)  (cab)
ii) 交换变号: (abc)  (acb)
3) 几何应用
i)
V  | (abc) |
平行六面体
ii)判定三向量共面: a,b,c 共面  (abc)  0.常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
向量的计算
【例1】(1995年)设 (a b) c  2, 则
[(a  b)(b  c)] (c  a) 
【解】 [ ( a  b) (b  c)] (c  a)  [a  b  a  c  b b  b c] (c  a)
 (a  b) c  (a  b) a  (a  c) c  (a  c) a  (b c) c  (b c) a
 (a  b) c  (b c) a
 2(a  b) c  4第二节 空间平面与直线
1. 平面方程
1）一般式：
Ax  By  Cz  D  0. n  {A, B,C}
2) 点法式: A(x  x )  B( y  y )  C(z  z )  0
0 0 0
x y z
3) 截距式:
   1
a b c
2. 直线方程
A x  B y  C z  D  0
1)一般式: 1 1 1 1

 A x  B y  C z  D  0
2 2 2 2
x  x y  y z  z
2)对称式:
0  0  0
l m n
3)参数式:
x  x  lt, y  y  mt , z  z  nt.
0 0 03. 平面与直线的位置关系（平行、垂直、夹角）
关键：平面的法线向量，直线的方向向量。
4. 点到面的距离
点 (x , y , z ) 到平面 Ax  By  Cy  D  0 的距离.
0 0 0
Ax  By  Cz  D
d  0 0 0
A 2  B 2  C 2
5. 点到直线距离
x  x y  y z  z
点 到直线
(x , y , z ) 1  1  1
0 0 0
l m n
{x  x , y  y , z  z }{l,m,n}
d  1 0 1 0 1 0
l 2  m 2  n 2常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
建立平面和直线方程
x  1,
 x  1 y  2 z  1
【例1】(1987年1）与两直线 及
 y  1  t,  
1 2 1

 z  2  t
都平行,且过原点的平面方程为
_________ .
[x yz 0]第三节 曲面与空间曲线
1. 曲面方程: 一般式 F(x, y, z)  0 或 z  f ( x, y)
2. 空间曲线:
x  x(t)
 F(x, y, z)  0
i)参数式: ii)一般式:
 y  y(t) 
G(x, y, z)  0


z  z(t)
3. 常见曲面
1)旋转面: 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转;
 f ( y, z)  0
设 是 yoz 平面上一条曲线，其方程是 则
L  ,
 x  0
（1） L 绕 y 轴旋转所得旋转面方程为 f ( y, x 2  z 2 )  0.
（2） L 绕 z 轴旋转所得旋转面方程为 f ( x 2  y 2 , z)  0.2.柱面: 平行于定直线并沿定曲线移动的直线L形成
的轨迹;
 f (x, y)  0
（1）准线为 母线平行于 轴的柱面方程
 :  , z
 z  0
为 f ( x, y)  0;
F(x, y, z)  0
（2）准线为  :  母线平行于 z 轴的柱面方程
G(x, y, z)  0
为
H(x, y)  0.
3. 二次曲面
2 2
x y
（1）椭圆锥面   z 2 ; 特别的:圆锥面 x 2  y 2  z 2
2 2
a b
2 2 2
x y z
（2）椭球面    1; 特别的:球面 x 2  y 2  z 2  R 2
2 2 2
a b c2 2 2
x y z
（3）单叶双曲面
   1
2 2 2
a b c
2 2 2
x y z
（4）双叶双曲面    1
2 2 2
a b c
2 2
x y
（5）椭圆抛物面
  z;
2 2
a b
特别的：旋转抛物面
z  x 2  y 2
2 2
x y
（6）双曲抛物面 （马鞍面）
  z
2 2
a b
4）空间曲线投影
F(x, y, z)  0
曲线  :  在 xoy 面上的投影曲线方程为
G(x, y, z)  0
H(x, y)  0
 .
 z  0常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
建立柱面和旋转面方程x 2  y 2  2z 2  1
【例1】求以曲线 为准线,母线平行于 z

 z  x 2  y 2
轴的柱面.
【解】 将 z  x 2  y 2 代入 x 2  y 2  2z 2  1 得
x 2  y 2  2(x 2  y 2 ) 2  1
1
即 x 2  y 2  为所要求的柱面.
2【例2】求下列曲线绕指定的轴旋转产生的旋转面的方程
 2x 2  y 2  1
分别绕 轴和 轴旋转.
x y
1) 
 z  0
z  y 2
分别绕 y 轴和 z 轴旋转.
2) 
 x  0
【解】 1）绕 x 轴： 2x 2  y 2  z 2  1
绕 y 轴： 2(x 2  z 2 )  y 2  1
2）绕 y 轴： x 2  z 2  y 4
绕 z 轴： z  y 2  x 2x 2  y 2  z 2  a 2 (a  0)
【例3】求曲线 在 xoy 面和 xoz
L : 
 x 2  y 2  ax
面上的投影曲线方程.
【解】在 面上的投影为
xoy x 2  y 2  ax
在 xoz 面上的投影为 z 2  ax  a 2 ,(0  x  a)第四节 多元微分在几何上的应用
1. 曲面的切平面与法线
1) 曲面 F ( x, y, z)  0 法向量: n  {F , F , F }
x y z
2) 曲面 z  f ( x, y) 法向量: n  { f , f ,1}
x y
2. 曲线的切线与法平面
x  x(t)

1)曲线  y  y(t) 切向量: τ  {x  (t ), y  (t ), z  (t )}
0 0 0


z  z(t)
F(x, y, z)  0
2)曲线 切向量: τ  n  n

1 2
G(x, y, z)  0
其中 n  {F , F , F }, n  {G ,G ,G }
2 x y z
1 x y z常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
建立曲面的切平面和法线及曲线的切线和法平面【例1】(2023）曲面 z  x  2 y  ln(1  x 2  y 2 ) 在 (0,0,0) 点处的切平面为 _________ .
z  2x 
【解】由于  1    1
x  1  x 2  y 2 
(0,0,0)
(0,0,0)
z  2 y 
  2    2
y  1  x 2  y 2 
(0,0,0) (0,0,0)
则该曲面在 (0,0,0) 点处的切平面为
 x  2 y  z  0
即 x  2 y  z  0. 3x 2  2 y 2  12,
【例2】(1993年）由曲线 绕轴 y 旋转一周得

z  0
2 3
(0, , )
5 5
到的旋转面在点 处的指向外侧的单位法向量为
(0, 3, 2)
_____________.
【解】【例3】(2003年）曲面 与平面
z  x 2  y 2 2x  4 y  z  0
平行的切平面的方程是
______________ .
2x4yz 5
【解】t
【例4】求曲线 在点
x  t  sint y  1  cos t, z  4sin
2

处的切线方程和法平面方程.
t 
2
【解】

x  1 
y  1 z  2 2
2
切线方程为  
1 1 2

法平面方程为
x  y  2z   4  0
2x 2  y 2  z 2  6
【例5】求曲线

在点 (1,2,1) 处的切线和法平面方程
 x  y  z  0
【解】
x  1 y  2 z  1
切线方程为
 
 3 0 3
法平面方程为 x  z  0