笔记小节22_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（22） 22 傅里叶级数；向量代数与空间解析几何；方向导数，曲面切平面， P243-P263 曲线法线 主讲 武忠祥 教授第三节 傅里叶级数 本节内容要点 一. 考试内容概要 (一）傅里叶系数与傅里叶级数 （二）收敛定理（狄利克雷） （三）函数展开为傅里叶级数 二. 常考题型方法与技巧 题型一 有关收敛定理的问题 题型二 将函数展开为傅里叶级数考试内容概要 (一）傅里叶系数与傅里叶级数 1  a   f (x)cosnxdx n  0,1,2 n   1  b   f (x)sin nxdx n  1,2    n   a  f (x) ~ 0   (a cosnx  b sin nx) n n 2 n1（二）收敛定理（狄利克雷） 设 f ( x) 在 [,] 上连续或有有限个第一类间断点,且只 有 有 限 个 极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数在 [,] 上处处收 敛,且收敛于 1) S(x)  f (x) 当 x 为 f (x) 的连续点. f (x  )  f (x  ) 2) S(x)  当 x 为 f (x) 的间断点. 2 f (()  )  f ( ) 3) S(x)  当 x  . 2（三）周期为 2  的函数的展开 (1) [,] 上展开. 1  a   f (x)cosnxdx n  0,1,2 n   1  b   f (x)sin nxdx n  1,2    n   (2) [,] 上奇偶函数的展开. i) 为奇函数 f ( x) a  0, n  0,1,2 n 2  b   f (x)sin nxdx n  1,2    n  0ii) 为偶函数. f ( x) 2  a   f (x)cosnxdx n  0,1,2 n  0 b  0 n  1,2    n (3) 在 [0,] 上展为正弦或展为余弦. i)展为正弦. a  0, n  0,1,2 n 2  b   f (x)sin nxdx n  1,2    n  0 ii)展为余弦. 2  a   f (x)cosnxdx n  0,1,2 n  0 b  0 n  1,2    n（四）周期为 的函数的展开 2l (1) [l,l] 上展开. 1 nx l a   f (x)cos dx n  0,1,2 n l l l 1 nx l b   f (x)sin dx n  1,2    n l l l(2) [l,l] 上奇偶函数的展开. i) 为奇函数. f ( x) a  0, n  0,1,2 n 2 nx l b   f (x)sin dx n  1,2    n l 0 l ii) 为偶函数. f ( x ) 2 nx l n  0,1,2 a   f (x)cos dx n l 0 l b  0 n  1,2    n(3)在 [0, l] 上展为正弦或展为余弦. i)展为正弦. n  0,1,2 a  0, n 2 nx l n  1,2    b   f (x)sin dx n l 0 l ii)展为余弦. 2 nx l a   f (x)cos dx n  0,1,2 n l 0 l b  0 n  1,2    n常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 1.狄利克雷收敛定理 2.将函数展为傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理 【例1】(1988年1）设 是周期为2的周期函数，它在区间 f (x) (1,1] 上的定义为 2,  1  x  0, f (x)   x 3 , 0  x  1. 则 f (x) 的傅里叶（Fourier）级数在 x  1 处收敛于 3 [ ] _________. 2 【解】【例2】(1989年1）设函数 f (x)  x 2 ,0  x  1, 而   S(x)  b sin nx,    x   n n1  1  1 其中 b  2  f ( x ) s in n xdx, n  1,2,3, 则 S   等于（ ） n 0  2 1 1 （A）  （B）  2 4 1 1 [B] （C） （D） 2 4 【解】【例3】(2023年)设 f (x) 是周期为 的周期函数，且 f (x)  1  x, x [0,1], 2   a  若 f (x)  0   a cos nx, 则 a  _________ . 2n n 2 n1 n1 【解1】由题设知本题是将 f (x) 作偶延拓展开的,由狄利克雷收敛定理知  a  1  x  0  a cos nx x [0,1] n 2 n1   a a 上式中分别令 x  0, x  1 得 1  0   a 0  0   (1) n a n n 2 2 n1 n1   1  a  2  a a  2  1 (1  x ) d x  1  a  0. 0 2n 0 2n 0 n1 n1 1 2 1 【解2】 a  2  (1  x)cos nxdx   (1  x)d sin nx n 0 n 0  2  [1  (1) n ] a  0  a  0 n 22 2n 2n n12.将函数展为傅里叶级数 【例4】(1993,数一）设函数 f (x) x  x 2 ( x ) 的傅里叶级数展开式为  a  0  (a cos nx  b sin nx), n n 2 n1 则其中系数 的值为 b 2 _________. [ ] 3 3【例5】(1991,数一）将函数 展开成以2 f (x)  2  x (1  x  1)  1 为周期的傅里叶级数，并由此求级数  的和 2 n n1 【解】 由于 是偶函数,所以 f (x)  2  x (1  x  1) 1 b  0, n  1,2, a  2  (2  x)dx  5, n 0 0 1 1 a  2  (2  x)cos nxdx  2  x cos nxdx n 0 0 2(cos n 1)  n  1,2, n 22 5  2(cos n 1) 5 4  cos(2n  1)x   2  x   cos nx   . 2 n 22 2 2 (2n  1) 2 n1 n0   1 2 5 4 1 当 x  0 时， 2    ,从而   . 2 2 (2n  1) 2 (2n  1) 2 8 n0 n0      1 1 1 1 1 1          n 2 (2n  1) 2 (2n) 2 (2n  1) 2 4 n 2 n1 n0 n1 n0 n1【例6】(1995,数一）将 f (x)  x  1 (0  x  2) 展开成周期为 4 的余弦级数. 2 2 【解】 a   (x  1)dx  0, 0 2 0 2 nx 2 nx 2 nx 2 2 2 a   (x  1)cos dx   (x  1)d sin    sin dx n 2 0 2 n 0 2 n 0 2  0, n  2k, 4   [(1) n  1]   8 (k  1,2,). n 22  , n  2k  1   (2k  1) 22 8  1 (2n  1)x f ( x)    cos x [0,2] 2 (2n  1) 2 2 n1第十一章 向量代数与空间解析几何及 多元微分学在几何上的应用第一节 向 量 代 数 1. 数量积 1）几何表示： a  b | a || b | cos 2) 代数表示: ab  a b  a b  a b x x y y z z 3) 运算规律: i) 交换律: ab  ba ii) 分配律: a  (b  c)  a  b  a  c. 4) 几何应用: i) 求模: | a | a  a a  b ii) 求夹角: cos | a || b | iii) 判定两向量垂直: a  b  a  b  02. 向量积 1) 几何表示: a  b 是一向量. 模: | a b || a | | b | sin 方向: 右手法则. i j k 2) 代数表示: a  b  a a a x y z b b b x y z 3) 运算规律 i)a  b  (b a) ii) 分配律: a (b  c)  a b  a c 4) 几何应用: i) 求同时垂直于 a 和 的向量: a  b b ii) 求以 和 为邻边的平行四边形面积: a b S  a  b iii) 判定两向量平行: a // b  a  b  03. 混合积: (abc)  (a  b)  c a a a x y z 1) 代数表示: (abc)  b b b x y z c c c 2) 运算规律: x y z i) 轮换对称性: (abc)  (bca)  (cab) ii) 交换变号: (abc)  (acb) 3) 几何应用 i) V  | (abc) | 平行六面体 ii)判定三向量共面: a,b,c 共面  (abc)  0.常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 向量的计算 【例1】(1995年)设 (a b) c  2, 则 [(a  b)(b  c)] (c  a)  【解】 [ ( a  b) (b  c)] (c  a)  [a  b  a  c  b b  b c] (c  a)  (a  b) c  (a  b) a  (a  c) c  (a  c) a  (b c) c  (b c) a  (a  b) c  (b c) a  2(a  b) c  4第二节 空间平面与直线 1. 平面方程 1）一般式： Ax  By  Cz  D  0. n  {A, B,C} 2) 点法式: A(x  x )  B( y  y )  C(z  z )  0 0 0 0 x y z 3) 截距式:    1 a b c 2. 直线方程 A x  B y  C z  D  0 1)一般式: 1 1 1 1   A x  B y  C z  D  0 2 2 2 2 x  x y  y z  z 2)对称式: 0  0  0 l m n 3)参数式: x  x  lt, y  y  mt , z  z  nt. 0 0 03. 平面与直线的位置关系（平行、垂直、夹角） 关键：平面的法线向量，直线的方向向量。 4. 点到面的距离 点 (x , y , z ) 到平面 Ax  By  Cy  D  0 的距离. 0 0 0 Ax  By  Cz  D d  0 0 0 A 2  B 2  C 2 5. 点到直线距离 x  x y  y z  z 点 到直线 (x , y , z ) 1  1  1 0 0 0 l m n {x  x , y  y , z  z }{l,m,n} d  1 0 1 0 1 0 l 2  m 2  n 2常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 建立平面和直线方程 x  1,  x  1 y  2 z  1 【例1】(1987年1）与两直线 及  y  1  t,   1 2 1   z  2  t 都平行,且过原点的平面方程为 _________ . [x yz 0]第三节 曲面与空间曲线 1. 曲面方程: 一般式 F(x, y, z)  0 或 z  f ( x, y) 2. 空间曲线: x  x(t)  F(x, y, z)  0 i)参数式: ii)一般式:  y  y(t)  G(x, y, z)  0   z  z(t) 3. 常见曲面 1)旋转面: 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转;  f ( y, z)  0 设 是 yoz 平面上一条曲线，其方程是 则 L  ,  x  0 （1） L 绕 y 轴旋转所得旋转面方程为 f ( y, x 2  z 2 )  0. （2） L 绕 z 轴旋转所得旋转面方程为 f ( x 2  y 2 , z)  0.2.柱面: 平行于定直线并沿定曲线移动的直线L形成 的轨迹;  f (x, y)  0 （1）准线为 母线平行于 轴的柱面方程  :  , z  z  0 为 f ( x, y)  0; F(x, y, z)  0 （2）准线为  :  母线平行于 z 轴的柱面方程 G(x, y, z)  0 为 H(x, y)  0. 3. 二次曲面 2 2 x y （1）椭圆锥面   z 2 ; 特别的:圆锥面 x 2  y 2  z 2 2 2 a b 2 2 2 x y z （2）椭球面    1; 特别的:球面 x 2  y 2  z 2  R 2 2 2 2 a b c2 2 2 x y z （3）单叶双曲面    1 2 2 2 a b c 2 2 2 x y z （4）双叶双曲面    1 2 2 2 a b c 2 2 x y （5）椭圆抛物面   z; 2 2 a b 特别的：旋转抛物面 z  x 2  y 2 2 2 x y （6）双曲抛物面 （马鞍面）   z 2 2 a b 4）空间曲线投影 F(x, y, z)  0 曲线  :  在 xoy 面上的投影曲线方程为 G(x, y, z)  0 H(x, y)  0  .  z  0常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 建立柱面和旋转面方程x 2  y 2  2z 2  1 【例1】求以曲线 为准线,母线平行于 z   z  x 2  y 2 轴的柱面. 【解】 将 z  x 2  y 2 代入 x 2  y 2  2z 2  1 得 x 2  y 2  2(x 2  y 2 ) 2  1 1 即 x 2  y 2  为所要求的柱面. 2【例2】求下列曲线绕指定的轴旋转产生的旋转面的方程  2x 2  y 2  1 分别绕 轴和 轴旋转. x y 1)   z  0 z  y 2 分别绕 y 轴和 z 轴旋转. 2)   x  0 【解】 1）绕 x 轴： 2x 2  y 2  z 2  1 绕 y 轴： 2(x 2  z 2 )  y 2  1 2）绕 y 轴： x 2  z 2  y 4 绕 z 轴： z  y 2  x 2x 2  y 2  z 2  a 2 (a  0) 【例3】求曲线 在 xoy 面和 xoz L :   x 2  y 2  ax 面上的投影曲线方程. 【解】在 面上的投影为 xoy x 2  y 2  ax 在 xoz 面上的投影为 z 2  ax  a 2 ,(0  x  a)第四节 多元微分在几何上的应用 1. 曲面的切平面与法线 1) 曲面 F ( x, y, z)  0 法向量: n  {F , F , F } x y z 2) 曲面 z  f ( x, y) 法向量: n  { f , f ,1} x y 2. 曲线的切线与法平面 x  x(t)  1)曲线  y  y(t) 切向量: τ  {x  (t ), y  (t ), z  (t )} 0 0 0   z  z(t) F(x, y, z)  0 2)曲线 切向量: τ  n  n  1 2 G(x, y, z)  0 其中 n  {F , F , F }, n  {G ,G ,G } 2 x y z 1 x y z常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 建立曲面的切平面和法线及曲线的切线和法平面【例1】(2023）曲面 z  x  2 y  ln(1  x 2  y 2 ) 在 (0,0,0) 点处的切平面为 _________ . z  2x  【解】由于  1    1 x  1  x 2  y 2  (0,0,0) (0,0,0) z  2 y    2    2 y  1  x 2  y 2  (0,0,0) (0,0,0) 则该曲面在 (0,0,0) 点处的切平面为  x  2 y  z  0 即 x  2 y  z  0. 3x 2  2 y 2  12, 【例2】(1993年）由曲线 绕轴 y 旋转一周得  z  0 2 3 (0, , ) 5 5 到的旋转面在点 处的指向外侧的单位法向量为 (0, 3, 2) _____________. 【解】【例3】(2003年）曲面 与平面 z  x 2  y 2 2x  4 y  z  0 平行的切平面的方程是 ______________ . 2x4yz 5 【解】t 【例4】求曲线 在点 x  t  sint y  1  cos t, z  4sin 2  处的切线方程和法平面方程. t  2 【解】  x  1  y  1 z  2 2 2 切线方程为   1 1 2  法平面方程为 x  y  2z   4  0 2x 2  y 2  z 2  6 【例5】求曲线  在点 (1,2,1) 处的切线和法平面方程  x  y  z  0 【解】 x  1 y  2 z  1 切线方程为    3 0 3 法平面方程为 x  z  0