文档内容
2022年新疆生产建设兵团中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．请按答题卷中的要求作答）
1．（5分）（2022•新疆）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．（5分）（2022•新疆）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
3．（5分）（2022•新疆）在平面直角坐标系中，点A（2，1）与点B关于x轴对称，则点B的坐标
是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
4．（5分）（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（
）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．（5分）（2022•新疆）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．a3•a5＝a8
C．a8÷2a2＝2a4 D．（3ab）2＝6a2b2
6．（5分）（2022•新疆）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围
是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k＜﹣ D．k≤﹣
7．（5分）（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
第1页（共23页）C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
8．（5分）（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8
万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题
意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52 B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1+x2）＝11.52
9．（5分）（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卷相应的横线上）
10．（5分）（2022•新疆）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
11．（5分）（2022•新疆）若点（1，2）在反比例函数y＝ 的图象上，则k＝ ．
12．（5分）（2022•新疆）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为
．
13．（5分）（2022•新疆）如图， O的半径为2，点A，B，C都在 O上，若∠B＝30°，则 的
长为 ．（结果用含⊙有 的式子表示） ⊙
π
14．（5分）（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够
长），则这个围栏的最大面积为 m2．
第2页（共23页）15．（5分）（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边
AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF
交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3 ，则BQ＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）（2022•新疆）计算：（﹣2）2+|﹣ |﹣ +（3﹣ ）0．
17．（8分）（2022•新疆）先化简，再求值：（ ÷ ﹣ ）• ，其中a＝2．
18．（10分）（2022•新疆）如图，在△ABC中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点
E，使DF＝EF，连接BE．
求证：（1）△ADF≌△BEF；
（2）四边形BCDE是平行四边形．
19．（10分）（2022•新疆）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导
学生积极参加劳动教育．该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对七年级学生
一周参加家庭劳动次数情况，开展了一次调查研究，请将下面过程补全．
（1）收集数据
①兴趣小组计划抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是
．
第3页（共23页）A．从该校七年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校七作级女生中随机抽取20名学生
C．从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学生
②通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3 1 2 2 4 3 3 2 3 4
3 4 0 5 5 2 6 4 6 3
（2）整理、描述数据
整理数据，结果如下：
分组 频数
0≤x＜2 2
2≤x＜4 10
4≤x＜6 6
6≤x＜8 2
（3）分析数据
平均数 中位数 众数
3.25 a 3
根据以上信息，解答下列问题：
①补全频数分布直方图；
②填空：a＝ ；
③该校七年级现有400名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平
均水平及以上的学生人数；
④根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论．
20．（10分）（2022•新疆）A，B两地相距30km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其
中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲 （km），y乙 （km）随行驶时间x（h）变化的图象，
第4页（共23页）请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 km/h；
（2）分别求出y甲 ，y乙 与x之间的函数解析式；
（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．
21．（10分）（2022•新疆）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一
栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯
角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（10分）（2022•新疆）如图， O是△ABC的外接圆，AB是 O的直径，点D在 O上，
AC＝CD，连接AD，延长DB⊙交过点C的切线于点E． ⊙ ⊙
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE；
（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．
23．（11分）（2022•新疆）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，点O为BC的中点，点D
第5页（共23页）是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接
BE．
（1）当AE⊥BC时，∠AEB＝ °；
（2）探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
（3）设AC＝4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数
解析式．
第6页（共23页）2022年新疆生产建设兵团中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．请按答题卷中的要求作答）
1．（5分）（2022•新疆）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：2的相反数是﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．
2．（5分）（2022•新疆）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．圆锥 D．圆柱
【分析】根据展开图直接判断该几何体是圆锥即可．
【解答】解：根据展开图得该几何体是圆锥，
故选：C．
【点评】本题主要考查几何题的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
3．（5分）（2022•新疆）在平面直角坐标系中，点A（2，1）与点B关于x轴对称，则点B的坐标
是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2，1）与点B关于x轴对称，
∴点B的坐标是：（2，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
4．（5分）（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（
）
第7页（共23页）A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，
∴AC∥DB，
又∵∠C＝50°，
∴∠D＝∠C＝50°，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
5．（5分）（2022•新疆）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．a3•a5＝a8
C．a8÷2a2＝2a4 D．（3ab）2＝6a2b2
【分析】计算出各个选项中的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：3a﹣2a＝a，故选项A错误，不符合题意；
a3•a5＝a8，故选项B正确，符合题意；
a8÷2a2＝ a6，故选项C错误，不符合题意；
（3ab）2＝9a2b2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（5分）（2022•新疆）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围
是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k＜﹣ D．k≤﹣
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，可知Δ≥0，可以求得k的
取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣k）≥0，
第8页（共23页）解得k≥﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时，Δ≥0．
7．（5分）（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称
轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x
＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小，x＞
h时，y随x的增大而增大；a＜0时，x＜h时，y随x的增大而增大，x＞h时，y随x的增大而
减小是解题的关键．
8．（5分）（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8
万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题
意，可列方程为（ ）
A．8（1+2x）＝11.52 B．2×8（1+x）＝11.52
C．8（1+x）2＝11.52 D．8（1+x2）＝11.52
【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，先求出第二个月的销售额，再求第三个月
的销售额，列出方程即可．
【解答】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，
第一个月的销售额为8万元，
第二个月的销售额为8（1+x）万元，
第9页（共23页）第三个月的销售额为8（1+x）2万元，
∴8（1+x）2＝11.52，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出第二个月的销售额，再求第
三个月的销售额是解题的关键．
9．（5分）（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
【分析】由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有45个偶数，且第45个偶
数为90，得出第10行第5个数即可．
【解答】解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，
∴第9行最后一个数为90，
∴第10行第5个数是90+2×5＝100，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出第9行最后一个数字是解题
的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卷相应的横线上）
10．（5分）（2022•新疆）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 x ≥ 3 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的
关键．
第10页（共23页）11．（5分）（2022•新疆）若点（1，2）在反比例函数y＝ 的图象上，则k＝ 2 ．
【分析】把（1，2）代入y＝ 即可解得答案．
【解答】解：把（1，2）代入y＝ 得：
2＝ ，
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握一个点在函数图象
上，则这个点的坐标就满足该函数解析式．
12．（5分）（2022•新疆）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为
．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求
出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概
率．
13．（5分）（2022•新疆）如图， O的半径为2，点A，B，C都在 O上，若∠B＝30°，则 的
⊙ ⊙
长为 ．（结果用含有 的式子表示）
π
第11页（共23页）【分析】利用圆周角定理和圆的弧长公式解答即可．
【解答】解：∵∠AOC＝2∠B，∠B＝30°，
∴∠AOC＝60°．
∴ 的长为 ＝ ，
π
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的弧长公式，正确利用上述性质解答是解题的关
键．
14．（5分）（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够
长），则这个围栏的最大面积为 3 2 m2．
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函
数的性质分析其最值．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，
∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，
故答案为：32．
【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．
15．（5分）（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边
AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF
交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3 ，则BQ＝ ．
第12页（共23页）【分析】通过证明△BAQ∽△PFD，可得 ，即可求解．
【解答】解：如图，连接DQ，
∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，
∴DE＝DF，∠FDE＝90°，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，
∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，
∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，
∴DF＝ DQ，
∵AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，AQ＝AQ，
∴△ABQ≌△ADQ（SAS），
∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠AQB，
又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，
∴△BAQ∽△PFD，
第13页（共23页）∴ ，
∴AQ•DP＝3 ＝BQ•DF，
∴3 ＝BQ• BQ，
∴BQ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，
旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）（2022•新疆）计算：（﹣2）2+|﹣ |﹣ +（3﹣ ）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得
出答案．
【解答】解：原式＝4+ ﹣5+1
＝ ．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17．（8分）（2022•新疆）先化简，再求值：（ ÷ ﹣ ）• ，其中a＝2．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝[ • ﹣ ]•
＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝ ，
当a＝2时，
原式＝ ＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
18．（10分）（2022•新疆）如图，在△ABC中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点
E，使DF＝EF，连接BE．
第14页（共23页）求证：（1）△ADF≌△BEF；
（2）四边形BCDE是平行四边形．
【分析】（1）根据SAS证明△ADF≌△BEF；
（2）根据点D，F分别为边AC，AB的中点，可得DF∥BC，DF＝ BC，再由EF＝DE，得
EF＝ DE，DF+EF＝DE＝BC，从而得出四边形BCDE是平行四边形；
【解答】证明：（1）∵F是AB的中点，
∴AF＝BF，
在△ADF和△BEF中，
，
∴△ADF≌△BEF（SAS）；
（2）∵点D，F分别为边AC，AB的中点，
∴DF∥BC，DF＝ BC，
∵EF＝DF，
∴EF＝ DE，
∴DF+EF＝DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的性质和判定，解题的关键是牢记平
行四边形的判定定理．
19．（10分）（2022•新疆）某校依据教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》指导
学生积极参加劳动教育．该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对七年级学生
一周参加家庭劳动次数情况，开展了一次调查研究，请将下面过程补全．
（1）收集数据
第15页（共23页）①兴趣小组计划抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是
C ．
A．从该校七年级1班中随机抽取20名学生
B．从该校七作级女生中随机抽取20名学生
C．从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学生
②通过问卷调查，兴趣小组获得了这20名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：
3 1 2 2 4 3 3 2 3 4
3 4 0 5 5 2 6 4 6 3
（2）整理、描述数据
整理数据，结果如下：
分组 频数
0≤x＜2 2
2≤x＜4 10
4≤x＜6 6
6≤x＜8 2
（3）分析数据
平均数 中位数 众数
3.25 a 3
根据以上信息，解答下列问题：
①补全频数分布直方图；
②填空：a＝ 3 ；
③该校七年级现有400名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平
均水平及以上的学生人数；
④根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论．
第16页（共23页）【分析】（1）抽样调查：根据抽样调查的要求判断即可；
（3）①由4≤x＜6的频数为6，即可补全频数分布直方图；
②根据中位数的定义解答即可；
③用样本估计总体即可；
④根据平均数、中位数和众数的意义解答即可．
【解答】解：（1）①兴趣小组计划抽取该校七年级20名学生进行问卷调查，下面的抽取方
法中，合理的是从该校七年级学生中随机抽取男，女各10名学生，
故答案为：C；
（3）①补全频数分布直方图如下：
②被抽取的20名学生每人一周参加家庭劳动的次数从小到大排列，排在中间的两个数
分别为3、3，故中位数a＝ ＝3，
故答案为：3；
③由题意可知，被抽取的20名学生中达到平均水平及以上的学生人数有8人，
400× ＝160（人），
答：估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生有160人；
④根据以上数据可知，七年级一周参加家庭劳动的次数偏少，故学校应该加强学生的劳
动教育．（答案不唯一）．
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题
意，利用数形结合的思想解答．
20．（10分）（2022•新疆）A，B两地相距30km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其
中甲先出发1h．如图是甲，乙行驶路程y甲 （km），y乙 （km）随行驶时间x（h）变化的图象，
请结合图象信息，解答下列问题：
第17页（共23页）（1）填空：甲的速度为 6 0 km/h；
（2）分别求出y甲 ，y乙 与x之间的函数解析式；
（3）求出点C的坐标，并写出点C的实际意义．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”可得答案；
（2）根据（1）的结论可得出y甲 与x之间的函数解析式；利用待定系数法可得y乙 与x之间
的函数解析式；
（3）根据（2）的结论列方程求解即可．
【解答】解：（1）甲的速度为：300÷5＝60（km/h），
故答案为：60；
（2）由（1）可知，出y甲 与x之间的函数解析式为y甲 ＝60x（0＜x≤5）；
设y乙 与x之间的函数解析式为y乙 ＝kx+b，根据题意得：
，
解得 ，
∴y乙 ＝100x﹣100（1＜x≤3）；
（3）根据题意，得60x＝100x﹣100，
解得x＝2.5，
60×2.5＝150（km），
∴点C的坐标为（2.5，1500），
故点C的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了150km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
21．（10分）（2022•新疆）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一
栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯
角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
第18页（共23页）【分析】通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由锐角三角函数的定义进行
计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，则AE＝CD＝30m，
在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，AE＝30m，
∴BE＝AE＝30m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝37°，AE＝30m，
∴CE＝tan37°×AE≈0.75×30＝22.5（m），
∴BC＝BE+CE＝52.5（m），
答：这栋楼的高度大约为52.5m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
22．（10分）（2022•新疆）如图， O是△ABC的外接圆，AB是 O的直径，点D在 O上，
AC＝CD，连接AD，延长DB⊙交过点C的切线于点E． ⊙ ⊙
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE；
（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．
第19页（共23页）【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等
可得∠ABC＝∠ADC，即可解答；
（2）利用切线的性质可得∠OCE＝90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得
∠CAD＝∠CBE，再利用（1）的结论可得∠OCB＝∠CBE，然后可证OC∥BE，最后利用平
行线的性质可得∠E＝90°，即可解答；
（3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理
求出 BA 的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB，进而可证
△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用（2）的结论可
证△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性质可求出BE的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）证明：∵CE与 O相切于点C，
∴∠OCE＝90°， ⊙
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE；
（3）解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
第20页（共23页）∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∵∠ACB＝∠E＝90°，∠CAB＝∠CDB，
∴△ACB∽△DEC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝ ，
∵∠CBE＝∠ABC，
∴△ACB∽△CEB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BE＝ ，
∴BD＝DE﹣BE＝ ﹣ ＝ ，
∴DB的长为 ．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的
外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题
的关键．
23．（11分）（2022•新疆）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，点O为BC的中点，点D
是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接
第21页（共23页）BE．
（1）当AE⊥BC时，∠AEB＝ 6 0 °；
（2）探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
（3）设AC＝4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数
解析式．
【分析】（1）由折叠的性质可得AC＝AE＝AB，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由折叠的性质可得AE＝AC，∠CAD＝∠EAD，由等腰三角形的性质可求解；
（3）由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求AO的长，由勾股定理可求OD的
长，由面积和差关系可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠BAE＝60°，
∵将△ACD沿AD折叠得到△AED，
∴AC＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠AEB＝60°，
故答案为：60；
（2）∠AEB＝30°+∠CAD，理由如下：
∵将△ACD沿AD折叠得到△AED，
∴AE＝AC，∠CAD＝∠EAD，
∵∠ABC＝30°，AB＝AC，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BAE＝120°﹣2∠CAD，
∵AB＝AE＝AC，
第22页（共23页）∴∠AEB＝ ＝30°+∠CAD；
（3）如图，连接OA，
∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴OA⊥BC，
∵∠ABC＝∠ACB＝30°，AC＝4，
∴AO＝2，OC＝2 ，
∵OD2＝AD2﹣AO2，
∴OD＝ ，
∵S△ADC ＝ ×OC×AO﹣ ×OD×OA，
∴x＝ ×2×2 ﹣ ×2× ，
∴y＝（2 ﹣x）2+4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的
性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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