笔记小节09_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（9）
9 常考题型举例(极值与最值；凹向与拐点；渐近线；方程根，证明不等式； P92-P104
微分中值定理证明题)
主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题
常考题型
1.求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点；
2.求渐近线；
3.方程的根；
4.不等式的证明；
5.中值定理证明题一 求函数的极值和最值及确定曲线的凹向和拐点
( )
【例5】(2003,数一,二）设函数
f ( x)
在 (,) 内连续,其导
函数的图形右图所示，则 有
f ( x)
（A）一个极小值点和两个极大值点
（B）两个极小值点和一个极大值点
（C）两个极小值点和两个极大值点
【解】可能的极值点
（D）三个极小值点和一个极大值点【例6】(1990,数一,二)已知 f ( x) 在 x  0 的某个邻域内连续,且
f (x)
f (0)  0,lim  2, 则在点 x  0 处 f ( x)
x0 1  cos x
（A）不可导. （B）可导,且 f  (0)  0.
（C）取得极大值. （D）取得极小值.
【解1】直接法
【解2】排除法e x  1

, x  0,
【例7】(2021,数一,数二,数三)函数 f (x)   在 x  0 处（ ）
x
 1, x  0,
（A）连续且取极大值 （B）连续且取极小值
（C）可导且导数为0 （D）可导且导数不为0
f (x)  f (0)
【解1】直接法 f  (0)  lim
x0 x
【解2】直接法
【解3】排除法 x 2x , x  0,
【例】(2019,数二，三）已知函数 f (x)   求 f  (x),
xe x  1, x  0,
并求 的极值.
f (x)
x 2x  1 e 2xlnx  1 2x ln x
【解】 f  (0)  lim  lim  lim   f  (0) 不存在

x0  x x0  x x0  x
 2x 2x (ln x  1), x  0,
f  (x)  
 e x (x  1), x  0,
1
令 f  (x)  0, 则 x  1, x  .
e
2
1 1 
f (1)  1  f ( )  e e f  (x) 由负变正,极小值.
e e
f (0)  1 f  (0) 不存在,但 f (x) 在 x  0 处连续， f  (x) 由正变负,极大值.【例8】在半径为 的球中内接一直圆锥,试求圆锥的最大体积.
R 32
( R3)
81
【解1】
【解2】【例9】(2018,数二,三）曲线 y  x 2  2ln x 在其拐点处的切线方
程是 _________ .
2 2
【解】 y   2x  , y   2  ,
2
x x
令 y   0 得 x  1, x  1 （舍去），
拐点为 (1,1), 又 f  (1)  2  2  4
则拐点处的切线方程是为 y  1  4(x  1)
即 y  4x  3【例10】(2004,数二,三）设 f (x) | x(1  x) | ，则
（A）x  0 是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 不是曲线 y  f (x) 的拐点
（B）x  0 不是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点
（C）x  0 是 f ( x) 的极值点，且 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点
（B）x  0 不是 f ( x) 的极值点， (0,0) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点
 x(1  x), x  0,
【解1】 f (x)  
 x(1  x), x  0.
2x  1, x  0,
f  (x)   f  (0) 不存在， f  (x) 由负变正,极小值.
1  2x, x  0.
 2, x  0,
f  (x)   f  (0) 不存在, f  (x) 由正变负,拐点.
  2, x  0.【例10】(2004,数二,三）设 f (x) | x(1  x) | ，则
（A）x  0 是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 不是曲线 y  f (x) 的拐点
（B）x  0 不是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点
（C）x  0 是 f ( x) 的极值点，且 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点
（B）x  0 不是 f ( x) 的极值点， (0,0) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点
【解2】二．求渐近线
【例11】(2014,数一,二）下列曲线中有渐近线的是（ ）
（A） y  x  si n x （B） y  x 2  sin x
1
1
（C） y  x  sin （D） y  x 2  sin
x
x
【解】1
【例12】(2007,数一,二）曲线 y   ln(1  e x ) 渐近线的条数为
x
（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.
【解】2
【例13】(2017,数二）曲线 y  x(1  arcsin ) 的斜渐近线方程为
x
_____________ . [y  x2]
【解】三．方程的根
【例14】(1992,数五）求证：方程 恰有一个
x  p  qcos x  0
实根,其中 p,q 为常数,且 0  q  1.
【证】【例15】设 求证:方程
a  a    a  0,
1 2 n
na x
n1
 (n  1)a x
n2
 2a x  a  0
n n1 2 1
在 内至少有一个实根.
(0,1)
【证】b
【例16】(2021,数二，三）设函数 f (x)  ax  bln x(a  0) 有两个零点，则
a
（A）（ e ， ） （B） (0,e)
1 1
（C） (0, ) （D） ( ,)
e e
ln x a ln x
【解1】  有两个实根.(x) 
x b x
1  ln x
 (x) 
2
x
当 0  x  e 时， (x)  0,(x) 单调增；
当 e  x 时，  (x)  0,(x) 单调减；
1 ln x
f (e)  , lim  , lim f (x)  0.
e
x0
 x x
a 1 b
0   e   
b e ab
【例16】(2021,数二，三）设函数 f (x)  ax  bln x(a  0) 有两个零点，则
a
（A）（ e ， ） （B） (0,e)
1 1
（C） (0, ) （D） ( ,)
e e
a
【解2】 y  ln x, y  x 有两个交点
b
 a
ln x  x
 a 1
b a 1

 0  
1 a
b e
  b e
 x b四．不等式的证明
x
【例17】证明：  ln(1  x)  x.( x  0)
1  x
【证】【例18】(1991,数三)利用导数证明：当 x  1 时，
ln(1  x) x
 .
ln x 1  x
【证】1  x x 2
【例19】(2012,数一,二,三）证明：
x ln  cos x  1  (1  x  1).
1  x 2
1  x x 2
【证】令 f (x)  x ln  cos x   1 (1  x  1)
1  x 2
显然 f (x) 是偶函数，所以是要证 f (x)  0 (0  x  1).
1  x 2x
f  (x)  ln   sin x  x
1  x 1  x 2
 2x  sin x  x  x  sin x  0
则 f (x) 在 [0,1) 上单调增，又 f (0)  0,
则
f (x)  0 (0  x  1).【例20】(2020,数二)设函数 f (x) 在区间 [2,2] 上可导,且 f  (x)  f (x)  0, 则( )
f (2) f (0) f (1) f (2)
A.  1 B.  e C.  e 2 D.  e 3
f (1) f (1) f (1) f (1)
【解1】直接法
g(x)  e
x
f (x)
【解2】排除法 f (x)  e 2x五．中值定理证明题
【例21】设 f ( x) 在区间  a,b  上连续,在 (a,b) 上二阶可导,且
f (a)  f (b)  f (c) (a  c  b), 证明存在  (a,b), 使 f  ()  0.
【证】【例22】(1990,数一,二）设不恒为常数的函数 在闭区间
f (x)
[a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内可导,且 f (a)  f (b) ，证明在
(a,b) 内至少存在一点 ，使得 f  ()  0.
【证】【例23】设 f ( x) 在 [a,b] 上二阶可导， f (a)  f (b)  0, 且存在
c  (a,b) 使 f (c)  0. 试证： , (a,b), f  ()  0, f  ()  0.
【证】【例24】(2013,数三）设函数 f (x) 在 [0,) 上可导,且 f (0)  0,
且 证明：
lim f (x)  2.
x
（1）存在 a  0, 使得 f (a)  1;
1
（2）对(1)中的 a ,存在  (0,a), 使得 f  ()  .
a
【证】