笔记小节09_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（9） 9 常考题型举例(极值与最值；凹向与拐点；渐近线；方程根，证明不等式； P92-P104 微分中值定理证明题) 主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题 常考题型 1.求函数的极值和最值，确定曲线的凹向和拐点； 2.求渐近线； 3.方程的根； 4.不等式的证明； 5.中值定理证明题一 求函数的极值和最值及确定曲线的凹向和拐点 ( ) 【例5】(2003,数一,二）设函数 f ( x) 在 (,) 内连续,其导 函数的图形右图所示，则 有 f ( x) （A）一个极小值点和两个极大值点 （B）两个极小值点和一个极大值点 （C）两个极小值点和两个极大值点 【解】可能的极值点 （D）三个极小值点和一个极大值点【例6】(1990,数一,二)已知 f ( x) 在 x  0 的某个邻域内连续,且 f (x) f (0)  0,lim  2, 则在点 x  0 处 f ( x) x0 1  cos x （A）不可导. （B）可导,且 f  (0)  0. （C）取得极大值. （D）取得极小值. 【解1】直接法 【解2】排除法e x  1  , x  0, 【例7】(2021,数一,数二,数三)函数 f (x)   在 x  0 处（ ） x  1, x  0, （A）连续且取极大值 （B）连续且取极小值 （C）可导且导数为0 （D）可导且导数不为0 f (x)  f (0) 【解1】直接法 f  (0)  lim x0 x 【解2】直接法 【解3】排除法 x 2x , x  0, 【例】(2019,数二，三）已知函数 f (x)   求 f  (x), xe x  1, x  0, 并求 的极值. f (x) x 2x  1 e 2xlnx  1 2x ln x 【解】 f  (0)  lim  lim  lim   f  (0) 不存在  x0  x x0  x x0  x  2x 2x (ln x  1), x  0, f  (x)    e x (x  1), x  0, 1 令 f  (x)  0, 则 x  1, x  . e 2 1 1  f (1)  1  f ( )  e e f  (x) 由负变正,极小值. e e f (0)  1 f  (0) 不存在,但 f (x) 在 x  0 处连续， f  (x) 由正变负,极大值.【例8】在半径为 的球中内接一直圆锥,试求圆锥的最大体积. R 32 ( R3) 81 【解1】 【解2】【例9】(2018,数二,三）曲线 y  x 2  2ln x 在其拐点处的切线方 程是 _________ . 2 2 【解】 y   2x  , y   2  , 2 x x 令 y   0 得 x  1, x  1 （舍去）， 拐点为 (1,1), 又 f  (1)  2  2  4 则拐点处的切线方程是为 y  1  4(x  1) 即 y  4x  3【例10】(2004,数二,三）设 f (x) | x(1  x) | ，则 （A）x  0 是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 不是曲线 y  f (x) 的拐点 （B）x  0 不是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点 （C）x  0 是 f ( x) 的极值点，且 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点 （B）x  0 不是 f ( x) 的极值点， (0,0) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点  x(1  x), x  0, 【解1】 f (x)    x(1  x), x  0. 2x  1, x  0, f  (x)   f  (0) 不存在， f  (x) 由负变正,极小值. 1  2x, x  0.  2, x  0, f  (x)   f  (0) 不存在, f  (x) 由正变负,拐点.   2, x  0.【例10】(2004,数二,三）设 f (x) | x(1  x) | ，则 （A）x  0 是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 不是曲线 y  f (x) 的拐点 （B）x  0 不是 f ( x) 的极值点，但 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点 （C）x  0 是 f ( x) 的极值点，且 (0,0) 是曲线 y  f (x) 的拐点 （B）x  0 不是 f ( x) 的极值点， (0,0) 也不是曲线 y  f (x) 的拐点 【解2】二．求渐近线 【例11】(2014,数一,二）下列曲线中有渐近线的是（ ） （A） y  x  si n x （B） y  x 2  sin x 1 1 （C） y  x  sin （D） y  x 2  sin x x 【解】1 【例12】(2007,数一,二）曲线 y   ln(1  e x ) 渐近线的条数为 x （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 【解】2 【例13】(2017,数二）曲线 y  x(1  arcsin ) 的斜渐近线方程为 x _____________ . [y  x2] 【解】三．方程的根 【例14】(1992,数五）求证：方程 恰有一个 x  p  qcos x  0 实根,其中 p,q 为常数,且 0  q  1. 【证】【例15】设 求证:方程 a  a    a  0, 1 2 n na x n1  (n  1)a x n2  2a x  a  0 n n1 2 1 在 内至少有一个实根. (0,1) 【证】b 【例16】(2021,数二，三）设函数 f (x)  ax  bln x(a  0) 有两个零点，则 a （A）（ e ， ） （B） (0,e) 1 1 （C） (0, ) （D） ( ,) e e ln x a ln x 【解1】  有两个实根.(x)  x b x 1  ln x  (x)  2 x 当 0  x  e 时， (x)  0,(x) 单调增； 当 e  x 时，  (x)  0,(x) 单调减； 1 ln x f (e)  , lim  , lim f (x)  0. e x0  x x a 1 b 0   e    b e ab 【例16】(2021,数二，三）设函数 f (x)  ax  bln x(a  0) 有两个零点，则 a （A）（ e ， ） （B） (0,e) 1 1 （C） (0, ) （D） ( ,) e e a 【解2】 y  ln x, y  x 有两个交点 b  a ln x  x  a 1 b a 1   0   1 a b e   b e  x b四．不等式的证明 x 【例17】证明：  ln(1  x)  x.( x  0) 1  x 【证】【例18】(1991,数三)利用导数证明：当 x  1 时， ln(1  x) x  . ln x 1  x 【证】1  x x 2 【例19】(2012,数一,二,三）证明： x ln  cos x  1  (1  x  1). 1  x 2 1  x x 2 【证】令 f (x)  x ln  cos x   1 (1  x  1) 1  x 2 显然 f (x) 是偶函数，所以是要证 f (x)  0 (0  x  1). 1  x 2x f  (x)  ln   sin x  x 1  x 1  x 2  2x  sin x  x  x  sin x  0 则 f (x) 在 [0,1) 上单调增，又 f (0)  0, 则 f (x)  0 (0  x  1).【例20】(2020,数二)设函数 f (x) 在区间 [2,2] 上可导,且 f  (x)  f (x)  0, 则( ) f (2) f (0) f (1) f (2) A.  1 B.  e C.  e 2 D.  e 3 f (1) f (1) f (1) f (1) 【解1】直接法 g(x)  e x f (x) 【解2】排除法 f (x)  e 2x五．中值定理证明题 【例21】设 f ( x) 在区间  a,b  上连续,在 (a,b) 上二阶可导,且 f (a)  f (b)  f (c) (a  c  b), 证明存在  (a,b), 使 f  ()  0. 【证】【例22】(1990,数一,二）设不恒为常数的函数 在闭区间 f (x) [a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内可导,且 f (a)  f (b) ，证明在 (a,b) 内至少存在一点 ，使得 f  ()  0. 【证】【例23】设 f ( x) 在 [a,b] 上二阶可导， f (a)  f (b)  0, 且存在 c  (a,b) 使 f (c)  0. 试证： , (a,b), f  ()  0, f  ()  0. 【证】【例24】(2013,数三）设函数 f (x) 在 [0,) 上可导,且 f (0)  0, 且 证明： lim f (x)  2. x （1）存在 a  0, 使得 f (a)  1; 1 （2）对(1)中的 a ,存在  (0,a), 使得 f  ()  . a 【证】