笔记小节10_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（10） 10 不定积分概念性质，3种主要积分法（凑微分；第二类换元，分部）3类能 P105-P119 积得出的积分（有理函数，三角有理式，简单无理式） 主讲 武忠祥 教授第四章 不定积分 本节内容要点 一. 考试内容概要 （一）不定积分的概念与性质 （二）不定积分基本公式 （三）三种主要积分法 （四）三类常见可积函数的积分二. 常考题型与典型例题 求不定积分（换元、分部）第四章 不定积分 考试内容概要 （一）不定积分的概念与性质 1.原函数 F  (x)  f (x) 2.不定积分  f (x)d x  F (x)  C 3.不定积分几何意义4.原函数存在定理 定理1 若 在区间 上连续,则 在区间 上一定存在 f ( x) I f ( x) I 原函数. 定理2 若 在区间 上有第一类间断点,则 在区间 f ( x) I f ( x) I 上没有原函数. 【例1】下列函数在给定区间上是否有原函数？  1  x sin , x  0, 1） f (x)   x   0, x  0. 1, x  0,  2） g(x)  sgn x   0, x  0,   1, x  0. 1 1  2x sin  cos , x  0, 3） h(x)   x x   0, x  0.  1  x 2 sin , x  0, 【解】3）易验证 是 的原函数.即 F(x)   h(x) x   0, x  0. F  (x)  h(x).5.不定积分的性质    1)  f (x)d x  f (x) d  f (x)d x  f (x)d x 2)  f  (x)d x  f (x)  C  d f (x)  f (x)  C. 3)  [ f (x)  g(x)]d x   f (x)d x   g(x)d x 4)  kf (x)d x  k  f (x)d x（二）不定积分的基本公式 1 1)  0dx  C 2)  x  dx  x 1  C  1 1 a x 3)  dx  ln x  C 4)  a x dx   C x ln a 5） e x dx  e x  C 6）  sin xdx   cos x  C 7） cos xdx  sin x  C 8）  sec 2 xdx  tan x  C 9）  csc 2 xdx   cot x  C 10）  sec x tan xdx  sec x  C 1 11） csc x cot xdx   csc x  C 12） dx  arcsin x  C 1  x 2 dx d x x 13）  arctan x  C 14）  arcsin  C 1  x 2 a 2  x 2 a d x 1 x d x 1 x  a 15）  arctan  C 16）  ln | | C. a 2  x 2 a a x 2  a 2 2a x  a dx 17）   ln( x  x 2  a 2 )  C x 2  a 2 dx 18）   ln | x  x 2  a 2 | C x 2  a 219） sec x d x  ln | sec x  tan x | C. 20）  csc x d x   ln | csc x  cot x | C.【例2】求下列不定积分 (x  1) 3 x 4  x 2 1)  2)  dx; dx; x 2 1  x 2 1  sin x 3)  dx; 1  sin x (x  1) 3 x 3  3x 2  3x  1 【解】1)  dx   dx 2 2 x x 3 1   (x  3   )dx 2 x x 1 1  x 2  3x  3ln x   C 2 xx 4  x 2 (x 4  1)  (1  x 2 )  2 【解】2)  dx   dx 1  x 2 1  x 2 2   (x 2  1  1  )dx 1  x 2 1  x 3  2x  2arctan x  C 3 1  sin x (1  sin x) 2 【解】3)  dx   dx 1  sin x cos 2 x   (sec 2 x  2sec x  tan x  tan 2 x)dx  tan x  2sec x  tan x  x  C  2tan x  2sec x  x  C（三）三种主要积分法 1）第一类换元法（凑微分法） 若  f (u)d u  F(u)  C 则  f [(x)] (x)d x   f [(x)]d(x)  F[(x)] C【例3】求下列不定积分 (ln x  2) 2 1）  sec 4 xdx 2）  dx x arctan x 2  x 3）  dx 4）  dx x(1  x) 3  2x  x 2 【解】1） sec 4 xdx   sec 2 xd tan x   (tan 2 x  1)d tan x 1  tan 3 x  tan x  C 3(ln x  2) 2 【解】2）  dx   (ln x  2) 2 d(ln x  2) x 1  (ln x  2) 3  C 3 arctan x arctan x 【解】3）  dx  2  d x x(1  x) 1  x arctan x  2  d x  2  arctan xd arctan x 1  ( x) 2  (arctan x) 2  C2  x (1  x)  1 【解】4）  dx   dx 3  2x  x 2 3  2x  x 2 1 (2  2x) dx   dx   2 3  2x  x 2 3  2x  x 2 1 d(3  2x  x 2 ) d(x  1)     2 3  2x  x 2 4  (x  1) 2 x  1  3  2x  x 2  arcsin  C 2tan x 【例4】(1993,数三）  d x  _________ . cos x tan x d cos x 【解】  d x   d x cos x 3 cos x 2   C cos xdx 【例5】(1997,数二)计算积分   _________ . x(4  x) dx dx d(x  2) 【解1】      x(4  x) 4  (x  2) 2 4  (x  2) 2 x  2  arcsin  C 2 dx dx d x 【解2】     2  x(4  x) x 4  x 4  x x  2arcsin  C 22）第二类换元法 定理3 设 x t 是单调的、可导的函数，并且 t  0  f [(t)] (t)d t  F(t)  C, 则  f (x)d x   f [(t)] (t)d t  F(t)  C  F[ 1 (x)] C, 1) a 2  x 2 x  a sin t(a cost) 2) a 2  x 2 x  a tant 3) x 2  a 2 x  a sect【例6】求下列不定积分,其中 a  0. x 2 x 2  a 2 1)  d x 2)  dx a 2  x 2 x 2 x 2  a 2  4)  1  e x dx 3) dx x 【解】1)令 x  a sin t 2 2 2 x a sin t  dx    a cos tdt a 2  x 2 a cos t 2 2 a a 1   (1  cos 2t)dt  (t  sin 2t)  C 2 2 2 2 a x x  arcsin  a 2  x 2  C 2 a 2x 2  a 2  2) dx 2 x 【解1】2)令 x  a tan t x 2  a 2 a sect  dx    a sec 2 tdt 2 2 2 x a tan t 1 sin 2 t  cos 2 t   dt   dt 2 sin t cos t sin 2 t cos t cos t 1   sectdt   dt  ln sect  tan t   C 2 sin t sin t x 2  a 2  ln( x  x 2  a 2 )   C xx 2  a 2  2) dx 2 x x 2  a 2 x 2  a 2 【解2】2)  dx   dx x 2 x 2 x 2  a 2 2 dx a dx     x 2  a 2 a x 3 1  ( ) 2 x a d[1  ( ) 2 ] 1 x  ln( x  x 2  a 2 )   2 a 1  ( ) 2 x a  ln( x  x 2  a 2 )  1  ( ) 2  C x x 2  a 2  ln( x  x 2  a 2 )   C xx 2  a 2  3) dx x 【解】3)令 x  a sect x 2  a 2 a tan t  dx    a sec t tan tdt x a sec t  a  tan 2 tdt  a  (sec 2 t  1)dt  a(tan t  t)  C a  x 2  a 2  a arccos  C x4)  1  e x dx 【解】4)令 t  1  e x ，则 x  ln(t 2  1), 2t 2  1   1  e x dx   dt  2  1  dt t 2  1  t 2  1 t  1  2t  ln  C t  1 1  e x  1  2 1  e x  ln  C 1  e x  13）分部积分法  udv  uv   vdu “适用两类不同函数相乘”  p (x)e x d x,  p (x)sinx d x,  p (x)cosxdx, n n n    P (x)ln xdx; P (x)arctan xdx; P (x)arcsin xdx. n n n  e x sinxdx;  e x cosxdx. 【例7】求下列不定积分  2  2x 2) x sin xdx 1) xe dx   x 2 3) x ln xdx 4) e sin xdxln x 【例8】(1990,数三）计算  d x. (1  x) 2 ln x 1 【解】  d x   ln xd (1  x) 2 1  x ln x d x    1  x x(1  x) ln x  1 1       d x 1  x  x 1  x  ln x | 1  x |   ln  C. 1  x xlnsin x 【例9】(1998,数二） d x  _______ . 2 sin x lnsin x 【解】  d x   lnsin x dcot x 2 sin x   cot x  lnsin x   cot 2 x d x   cot x  lnsin x   (csc 2 x  1)d x   cot x  lnsin x  cot x  x  C.（四）三类常见可积函数积分 1) 有理函数积分  R(x)d x （1）一般法（部分分式法）； （2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）；x  5 【例10】(1999,数二） d x  ___________ . x 2  6x  13 x  5 1 d( x 2  6x  13) d( x  3) 【解】  d x    8  x 2  6x  13 2 x 2  6x  13 (x  3) 2  2 2 1 x  3  ln( x 2  6x  13)  4arctan  C. 2 2x d x 【例11】(1987,数五）求不定积分  . x 4  2x 2  5 x d x 1 d( x 2  1) 【解】    x 4  2x 2  5 2 (x 2  1) 2  4 1 x 2  1  arctan  C. 4 23x  6 【例12】(2019,数二)求不定积分  dx (x  1) 2 (x 2  x  1) 3x  6 A B Dx  E 3x  6 【解】    (x  1) 2 (x 2  x  1) x  1 (x  1) 2 x 2  x  1 (x  1)(x  1) 2 (x 2  x  1) 2 3x  6  A(x  1)(x 2  x  1)  B(x 2  x  1)  (Dx  E)(x  1) 2  A  D  0, A  2,   B  2D  E  0, B  3,   B  D  2E  3, D  2,     A  B  E  6,  E  1, 3x  6  2 3 2x  1  dx   dx   dx   dx (x  1) 2 (x 2  x  1) x  1 (x  1) 2 x 2  x  1 3  2ln x  1   ln( x 2  x  1)  C x  12) 三角有理式积分  R(sin x,cos x)d x x （1）一般方法(万能代换） 令 tan  t 2 2t 1 t 2 2  R(sin x,cos x)d x   R( , ) dt 1 t 2 1 t 2 1 t 2 （2）特殊方法 （三角变形，换元，分部） i)若 R( sin x,cos x)  R(sin x,co s x ) , 则 令 u  cos x; ii)若 R(sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  sin x; iii)若 R( sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  tan x.d x 【例13】(1996,数三）求  . 1  sin x 1  sin x 1 【解1】原式   d x  tan x   C. 2 cos x cos x x 【解2】令 tan  t, 则 2 1 2 原式    dt 2t 1  t 2 1  1  t 2 2dt 2      C (1  t) 2 1  t 2    C. x 1  tan 2d x 【例14】(1994,数一,二，三）求  . sin(2x)  2sin x d x 【解】原式   R( sin x,cos x)  R(sin x,cos x) 2sin x(cos x  1) u  cos x; sin x d x   2(1  cos 2 x)(1  cos x) 1 d u 1 [(1  u)  (1  u)]d u cos x  u      2 (1  u)(1  u) 2 4 (1  u)(1  u) 2 1  1 1  1  1  u 2       d u  ln   C 4  1  u 2 (1  u) 2  8   1  u 1  u   1 1  cos x 1  ln   C. 8 1  cos x 4(1  cos x)dx 【例15】计算  R(sin x, cos x)  R(sin x,cos x) cos x(1  sin x) u  sin x; dx cos xdx 【解】    cos x(1  sin x) cos 2 x(1  sin x) d sin x   (1  sin 2 x)(1  sin x) du 1 [(1  u)  (1  u)]du     (1  u 2 )(1  u) 2 (1  u 2 )(1  u)dx 【例16】计算  R( sin x, cos x)  R(sin x,cos x) sin x(sin x  cos x) u  tan x. dx sec 2 xdx 【解】    sin x(sin x  cos x) tan x(tan x  1) du   u(u  1) [(u  1)  u]du   u(u  1)ax  b 3)简单无理函数积分  R(x,n )d x cx  d ax  b 令 n  t cx  d 1 x  1 【例17】计算  dx. x x x  1 1 2t 【解1】令  t, 则 x  ,dx   dt, t 2  1 (t 2  1) 2 x 1 x  1  2t  1   dx   (t 2  1)t dt  2  1  dt x x (t 2  1) 2  t 2  1  1 t  1  1 1  2 t  ln   C  2 1   ln x   x 2  x  C  2 t  1  x 21 x  1 【例17】计算  dx. x x 1 x  1 x  1 【解2】  dx   dx x x x x 2  x 1 1 d(x  ) d(1  ) 2 x     1 1 1 (x  ) 2  1  2 4 x 1 1  ln x   x 2  x  2 1   C 2 x