笔记小节10_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（10）
10 不定积分概念性质，3种主要积分法（凑微分；第二类换元，分部）3类能 P105-P119
积得出的积分（有理函数，三角有理式，简单无理式）
主讲 武忠祥 教授第四章 不定积分
本节内容要点
一. 考试内容概要
（一）不定积分的概念与性质
（二）不定积分基本公式
（三）三种主要积分法
（四）三类常见可积函数的积分二. 常考题型与典型例题
求不定积分（换元、分部）第四章 不定积分
考试内容概要
（一）不定积分的概念与性质
1.原函数 F  (x)  f (x)
2.不定积分  f (x)d x  F (x)  C
3.不定积分几何意义4.原函数存在定理
定理1 若 在区间 上连续,则 在区间 上一定存在
f ( x) I f ( x) I
原函数.
定理2 若 在区间 上有第一类间断点,则 在区间
f ( x) I f ( x) I
上没有原函数.
【例1】下列函数在给定区间上是否有原函数？
 1
 x sin , x  0,
1） f (x)  
x
  0, x  0. 1, x  0,

2） g(x)  sgn x   0, x  0,

 1, x  0. 1 1
 2x sin  cos , x  0,
3）
h(x)  
x x
  0, x  0.
 1
 x 2 sin , x  0,
【解】3）易验证 是 的原函数.即
F(x)   h(x)
x
  0, x  0.
F  (x)  h(x).5.不定积分的性质

 
1)  f (x)d x  f (x) d  f (x)d x  f (x)d x
2)  f  (x)d x  f (x)  C  d f (x)  f (x)  C.
3)  [ f (x)  g(x)]d x   f (x)d x   g(x)d x
4)  kf (x)d x  k  f (x)d x（二）不定积分的基本公式
1
1)  0dx  C 2)  x  dx  x 1  C
 1
1 a x
3)
 dx  ln x  C 4)  a x dx   C
x
ln a
5） e x dx  e x  C 6）
 sin xdx   cos x  C
7） cos xdx  sin x  C 8）  sec 2 xdx  tan x  C
9）  csc 2 xdx   cot x  C 10）  sec x tan xdx  sec x  C
1
11） csc x cot xdx   csc x  C 12） dx  arcsin x  C
1  x 2
dx
d x x
13）  arctan x  C 14）  arcsin  C
1  x 2
a 2  x 2 a
d x 1 x
d x 1 x  a
15）  arctan  C 16）  ln | | C.
a 2  x 2 a a x 2  a 2 2a x  a
dx
17）   ln( x  x 2  a 2 )  C
x 2  a 2
dx
18）   ln | x  x 2  a 2 | C
x 2  a 219） sec x d x  ln | sec x  tan x | C.
20）
 csc x d x   ln | csc x  cot x | C.【例2】求下列不定积分
(x  1) 3 x 4  x 2
1)  2) 
dx; dx;
x 2 1  x 2
1  sin x
3)

dx;
1  sin x
(x  1) 3 x 3  3x 2  3x  1
【解】1)
 dx   dx
2 2
x x
3 1
  (x  3   )dx
2
x x
1 1
 x 2  3x  3ln x   C
2 xx 4  x 2 (x 4  1)  (1  x 2 )  2
【解】2) 
dx   dx
1  x 2 1  x 2
2
  (x 2  1  1  )dx
1  x 2
1
 x 3  2x  2arctan x  C
3
1  sin x (1  sin x) 2
【解】3)
 dx   dx
1  sin x cos 2 x
  (sec 2 x  2sec x  tan x  tan 2 x)dx
 tan x  2sec x  tan x  x  C
 2tan x  2sec x  x  C（三）三种主要积分法
1）第一类换元法（凑微分法）
若  f (u)d u  F(u)  C
则  f [(x)] (x)d x   f [(x)]d(x)  F[(x)] C【例3】求下列不定积分
(ln x  2) 2
1）  sec 4 xdx 2）  dx
x
arctan x 2  x
3）  dx 4）  dx
x(1  x) 3  2x  x 2
【解】1） sec 4 xdx   sec 2 xd tan x
  (tan 2 x  1)d tan x
1
 tan 3 x  tan x  C
3(ln x  2) 2
【解】2）  dx   (ln x  2) 2 d(ln x  2)
x
1
 (ln x  2) 3  C
3
arctan x arctan x
【解】3）  dx  2  d x
x(1  x) 1  x
arctan x
 2  d x  2  arctan xd arctan x
1  ( x) 2
 (arctan x) 2  C2  x (1  x)  1
【解】4）  dx   dx
3  2x  x 2 3  2x  x 2
1 (2  2x) dx
  dx  
2 3  2x  x 2 3  2x  x 2
1 d(3  2x  x 2 ) d(x  1)
   
2 3  2x  x 2 4  (x  1) 2
x  1
 3  2x  x 2  arcsin  C
2tan x
【例4】(1993,数三）  d x  _________ .
cos x
tan x d cos x
【解】
 d x   d x
cos x 3
cos x
2
  C
cos xdx
【例5】(1997,数二)计算积分   _________ .
x(4  x)
dx dx d(x  2)
【解1】     
x(4  x) 4  (x  2) 2 4  (x  2) 2
x  2
 arcsin  C
2
dx dx d x
【解2】     2 
x(4  x) x 4  x 4  x
x
 2arcsin  C
22）第二类换元法
定理3 设 x t 是单调的、可导的函数，并且 t  0
 f [(t)] (t)d t  F(t)  C,
则  f (x)d x   f [(t)] (t)d t  F(t)  C  F[ 1 (x)] C,
1) a 2  x 2 x  a sin t(a cost)
2) a 2  x 2 x  a tant
3) x 2  a 2 x  a sect【例6】求下列不定积分,其中 a  0.
x 2 x 2  a 2
1)  d x 2)  dx
a 2  x 2 x 2
x 2  a 2
 4)  1  e x dx
3) dx
x
【解】1)令
x  a sin t
2 2 2
x a sin t
 dx    a cos tdt
a 2  x 2 a cos t
2 2
a a 1
  (1  cos 2t)dt  (t  sin 2t)  C
2 2 2
2
a x x
 arcsin  a 2  x 2  C
2 a 2x 2  a 2

2) dx
2
x
【解1】2)令
x  a tan t
x 2  a 2 a sect
 dx    a sec 2 tdt
2 2 2
x a tan t
1 sin 2 t  cos 2 t
  dt   dt
2
sin t cos t sin 2 t cos t
cos t 1
  sectdt   dt  ln sect  tan t   C
2
sin t sin t
x 2  a 2
 ln( x  x 2  a 2 )   C
xx 2  a 2

2) dx
2
x
x 2  a 2 x 2  a 2
【解2】2)  dx   dx
x 2 x 2 x 2  a 2
2
dx a dx
   
x 2  a 2 a
x 3 1  ( ) 2
x
a
d[1  ( ) 2 ]
1
x
 ln( x  x 2  a 2 )  
2 a
1  ( ) 2
x
a
 ln( x  x 2  a 2 )  1  ( ) 2  C
x
x 2  a 2
 ln( x  x 2  a 2 )   C
xx 2  a 2

3) dx
x
【解】3)令
x  a sect
x 2  a 2 a tan t
 dx    a sec t tan tdt
x a sec t
 a  tan 2 tdt  a  (sec 2 t  1)dt
 a(tan t  t)  C
a
 x 2  a 2  a arccos  C
x4)  1  e x dx
【解】4)令 t  1  e x ，则 x  ln(t 2  1),
2t 2  1 
 1  e x dx   dt  2  1  dt
t 2  1  t 2  1
t  1
 2t  ln  C
t  1
1  e x  1
 2 1  e x  ln  C
1  e x  13）分部积分法  udv  uv   vdu
“适用两类不同函数相乘”
 p (x)e x d x,  p (x)sinx d x,  p (x)cosxdx,
n n n
  
P (x)ln xdx; P (x)arctan xdx; P (x)arcsin xdx.
n n n
 e x sinxdx;  e x cosxdx.
【例7】求下列不定积分
 2
 2x 2) x sin xdx
1) xe dx
  x 2
3) x ln xdx 4) e sin xdxln x
【例8】(1990,数三）计算  d x.
(1  x) 2
ln x 1
【解】
 d x   ln xd
(1  x) 2 1  x
ln x d x
  
1  x x(1  x)
ln x  1 1 
     d x
1  x  x 1  x 
ln x | 1  x |
  ln  C.
1  x xlnsin x
【例9】(1998,数二） d x  _______ .
2
sin x
lnsin x
【解】  d x   lnsin x dcot x
2
sin x
  cot x  lnsin x   cot 2 x d x
  cot x  lnsin x   (csc 2 x  1)d x
  cot x  lnsin x  cot x  x  C.（四）三类常见可积函数积分
1) 有理函数积分  R(x)d x
（1）一般法（部分分式法）；
（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）；x  5
【例10】(1999,数二） d x  ___________ .
x 2  6x  13
x  5 1 d( x 2  6x  13) d( x  3)
【解】  d x    8 
x 2  6x  13 2 x 2  6x  13 (x  3) 2  2 2
1 x  3
 ln( x 2  6x  13)  4arctan  C.
2 2x d x
【例11】(1987,数五）求不定积分  .
x 4  2x 2  5
x d x 1 d( x 2  1)
【解】   
x 4  2x 2  5 2 (x 2  1) 2  4
1 x 2  1
 arctan  C.
4 23x  6
【例12】(2019,数二)求不定积分  dx
(x  1) 2 (x 2  x  1)
3x  6 A B Dx  E 3x  6
【解】   
(x  1) 2 (x 2  x  1) x  1 (x  1) 2 x 2  x  1 (x  1)(x  1) 2 (x 2  x  1) 2
3x  6  A(x  1)(x 2  x  1)  B(x 2  x  1)  (Dx  E)(x  1) 2
 A  D  0, A  2,
 
B  2D  E  0, B  3,
 
B  D  2E  3, D  2,
 
  A  B  E  6,  E  1,
3x  6  2 3 2x  1
 dx   dx   dx   dx
(x  1) 2 (x 2  x  1) x  1 (x  1) 2 x 2  x  1
3
 2ln x  1   ln( x 2  x  1)  C
x  12) 三角有理式积分  R(sin x,cos x)d x
x
（1）一般方法(万能代换） 令
tan  t
2
2t 1 t 2 2
 R(sin x,cos x)d x   R( , ) dt
1 t 2 1 t 2 1 t 2
（2）特殊方法 （三角变形，换元，分部）
i)若 R( sin x,cos x)  R(sin x,co s x ) , 则 令 u  cos x;
ii)若 R(sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  sin x;
iii)若
R( sin x, cos x)  R(sin x,cos x ) , 则 令 u  tan x.d x
【例13】(1996,数三）求  .
1  sin x
1  sin x 1
【解1】原式   d x  tan x   C.
2
cos x cos x
x
【解2】令 tan  t, 则
2
1 2
原式    dt
2t 1  t 2
1 
1  t 2
2dt 2
     C
(1  t) 2 1  t
2
   C.
x
1  tan
2d x
【例14】(1994,数一,二，三）求  .
sin(2x)  2sin x
d x
【解】原式   R( sin x,cos x)  R(sin x,cos x)
2sin x(cos x  1)
u  cos x;
sin x d x
 
2(1  cos 2 x)(1  cos x)
1 d u 1 [(1  u)  (1  u)]d u
cos x  u     
2 (1  u)(1  u) 2 4 (1  u)(1  u) 2
1  1 1  1  1  u 2 
     d u  ln   C
4  1  u 2 (1  u) 2  8   1  u 1  u  
1 1  cos x 1
 ln   C.
8 1  cos x 4(1  cos x)dx
【例15】计算 
R(sin x, cos x)  R(sin x,cos x)
cos x(1  sin x)
u  sin x;
dx cos xdx
【解】
  
cos x(1  sin x) cos 2 x(1  sin x)
d sin x
 
(1  sin 2 x)(1  sin x)
du 1 [(1  u)  (1  u)]du
   
(1  u 2 )(1  u) 2 (1  u 2 )(1  u)dx
【例16】计算 
R( sin x, cos x)  R(sin x,cos x)
sin x(sin x  cos x)
u  tan x.
dx sec 2 xdx
【解】 
 
sin x(sin x  cos x) tan x(tan x  1)
du
 
u(u  1)
[(u  1)  u]du
 
u(u  1)ax  b
3)简单无理函数积分

R(x,n )d x
cx  d
ax  b
令 n  t
cx  d
1 x  1
【例17】计算

dx.
x x
x  1 1 2t
【解1】令  t, 则 x  ,dx   dt,
t 2  1 (t 2  1) 2
x
1 x  1  2t  1 
 dx   (t 2  1)t dt  2  1  dt
x x (t 2  1) 2  t 2  1
 1 t  1  1 1
 2 t  ln   C  2 1   ln x   x 2  x  C
 2 t  1  x 21 x  1
【例17】计算

dx.
x x
1 x  1 x  1
【解2】  dx   dx
x x x x 2  x
1 1
d(x  ) d(1  )
2 x
   
1 1 1
(x  ) 2  1 
2 4 x
1 1
 ln x   x 2  x  2 1   C
2 x