笔记小节07_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（7）
7 高阶导数；常考题型举例（导数定义；复合、隐函数、参数方程求 P73-P82
导；高阶导数；导数应用）
主讲 武忠祥 教授（三）高阶导数
1）定义6(高阶导数) y (n)  [ f (n1) (x)]  ,
f
(n1)
(x  x)  f
(n1)
(x )
f (n) (x )  lim 0 0
0
x0
x
f
(n1)
(x)  f
(n1)
(x )
 lim 0
xx x  x
0
0
注：如果函数 在点 处 阶可导, 则在点 的某
f ( x) x n x
邻域内 必定具有一切低于 阶的导数.
f ( x) n
2）常用的高阶导数公式：
 
1)  sin x (n)  sin( x  n  ); 2) (cos x) (n)  cos( x  n  );
2 2
n
3） (u  v) (n)  u (n)  v (n) 4） (uv) (n)   C k u (k) v (nk) .
n
k0
 (n)
【例14】设 y  sin 3x, 求 y (n.) sin x  sin( x  n  );
2
n
【例15】设 y  x 2 cos x, 求 .y (n) (uv) (n)   C k u (k) v (nk) .
n
k0常考题型与典型例题
1.导数定义； 2.复合函数、隐函数、参数方程求导；
3.高阶导数； 4.导数应用(一) 导数定义
x
【例16】(1994年3）已知 f  (x )  1 ,则 lim  ______ .
0 x0 f (x 2x)  f (x  x)
0 0
(1)
【解1】
【解2】【例17】(2011年2,3）已知 f ( x) 在 x  0 处可导，且 f (0)  0,
x 2 f (x)  2 f (x 3 )
则 lim 
3
x0 x
（A）  2 f  (0). （B）  f  (0).
（C） （D）
f  (0). 0.
【解1】直接法
【解2】排除法【例18】(2013年，1）设函数 y  f (x) 由方程 y  x  e x(1 y)
1
确定，则
lim n( f ( )  1)  ___________ . [1]
n n
【解】【例19】(2018年1,2,3）下列函数中，在 x  0 处不可导的是( )
（A） （B）
f (x)  x sin x , f (x)  x sin x ,
（C） （D）
f (x)  cos x , f (x)  cos x .
【解1】直接法
【解2】排除法
注：常用的结论：设 f (x) (x) x  a , 其 ( x) 在 x  a 处连
续,则 f ( x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0.在 的某个邻域内有定义，则 在
【例20】设 f ( x) x  a f ( x)
x  a 处可导的一个充分条件是
1
（A）
lim h[ f (a  )  f (a)]
h h
1
(B) lim n[ f (a  )  f (a)]
n n
f (a  h)  f (a  h)
（C）
lim
h0 2h
f (a)  f (a  h)
(D)
lim
h0 h(二) 复合函数、隐函数、参数方程求导
【例21】(1993年3）设 y  sin[ f (x 2 )] ,其中 f 具有二阶导数,
2
d y
求
2
d x【例22】(2022年2）已知函数 y  y(x) 由方程 x 2  xy  y 3  3 确定，则
y  (1)  ________ . 31

32 x  2e t  t  1,
【例23】(2021年1,2)设函数 y  y(x) 由参数方程 
 y  4(t  1)e t  t 2
2
d y
确定，则  _______ . 2
2
dx 3
t0(三) 高阶导数
1
【例24】(2007年2,3）设函数 y  , 则 y (n) (0)  ________. (1)n2nn!
[ ]
2x  3 3n1
【解1】
 (n)
f (0) f (0)
【解2】 f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2    x n  o(x n )
2! n!【例25】(2015年2）函数 f (x)  x 2 2 x 在 x  0 处的 n 阶导数
f (n) (0)  ___________ .
[n(n1)(ln2)n2]
【解1】
【解2】(四) 导数应用
(1)导数的几何意义
 
【例26】（2011年3）曲线 tan x  y    e y 在点
(0,0)
 4 
处的切线方程为
(y  2x)
________. x  arctan t,
【例27】(2013年2）曲线 上对应于
 t  1
 y  ln 1  t 2 ,
的点处的法线方程为
 1
(x y   ln2)
4 2 
【例28】(1997年,1）对数螺线  e  在点 (,)  e /2 , 
 2 
处的切线的直角坐标方程为 
(x y e2)
________.(2)相关变化率(数三不要求）
【例29】(2016年2）已知动点 在曲线 y  x 3 上运动,记坐
P
标原点与点 间的距离为 若点 的横坐标对时间的变化率 [2 2v ]
P l. P 0
为常数 v , 则当点 运动到点 时， 对时间的变化率是
P (1,1) l
_____.
0第二章 导数与微分
导
题型一 利用导数定义求极限
数
与
题型二 利用导数定义求导数
微
分 题型三 利用导数定义判断可导性
题型一 复合函数
求
题型二 隐函数
导
法
题型三 参数方程（数三不要求）
题型四 高阶导数
导
题型一 切线、法线
数
应
题型二 相关变化率（数三不要求）
用