笔记小节07_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（7） 7 高阶导数；常考题型举例（导数定义；复合、隐函数、参数方程求 P73-P82 导；高阶导数；导数应用） 主讲 武忠祥 教授（三）高阶导数 1）定义6(高阶导数) y (n)  [ f (n1) (x)]  , f (n1) (x  x)  f (n1) (x ) f (n) (x )  lim 0 0 0 x0 x f (n1) (x)  f (n1) (x )  lim 0 xx x  x 0 0 注：如果函数 在点 处 阶可导, 则在点 的某 f ( x) x n x 邻域内 必定具有一切低于 阶的导数. f ( x) n 2）常用的高阶导数公式：   1)  sin x (n)  sin( x  n  ); 2) (cos x) (n)  cos( x  n  ); 2 2 n 3） (u  v) (n)  u (n)  v (n) 4） (uv) (n)   C k u (k) v (nk) . n k0  (n) 【例14】设 y  sin 3x, 求 y (n.) sin x  sin( x  n  ); 2 n 【例15】设 y  x 2 cos x, 求 .y (n) (uv) (n)   C k u (k) v (nk) . n k0常考题型与典型例题 1.导数定义； 2.复合函数、隐函数、参数方程求导； 3.高阶导数； 4.导数应用(一) 导数定义 x 【例16】(1994年3）已知 f  (x )  1 ,则 lim  ______ . 0 x0 f (x 2x)  f (x  x) 0 0 (1) 【解1】 【解2】【例17】(2011年2,3）已知 f ( x) 在 x  0 处可导，且 f (0)  0, x 2 f (x)  2 f (x 3 ) 则 lim  3 x0 x （A）  2 f  (0). （B）  f  (0). （C） （D） f  (0). 0. 【解1】直接法 【解2】排除法【例18】(2013年，1）设函数 y  f (x) 由方程 y  x  e x(1 y) 1 确定，则 lim n( f ( )  1)  ___________ . [1] n n 【解】【例19】(2018年1,2,3）下列函数中，在 x  0 处不可导的是( ) （A） （B） f (x)  x sin x , f (x)  x sin x , （C） （D） f (x)  cos x , f (x)  cos x . 【解1】直接法 【解2】排除法 注：常用的结论：设 f (x) (x) x  a , 其 ( x) 在 x  a 处连 续,则 f ( x) 在 x  a 处可导的充要条件是 (a)  0.在 的某个邻域内有定义，则 在 【例20】设 f ( x) x  a f ( x) x  a 处可导的一个充分条件是 1 （A） lim h[ f (a  )  f (a)] h h 1 (B) lim n[ f (a  )  f (a)] n n f (a  h)  f (a  h) （C） lim h0 2h f (a)  f (a  h) (D) lim h0 h(二) 复合函数、隐函数、参数方程求导 【例21】(1993年3）设 y  sin[ f (x 2 )] ,其中 f 具有二阶导数, 2 d y 求 2 d x【例22】(2022年2）已知函数 y  y(x) 由方程 x 2  xy  y 3  3 确定，则 y  (1)  ________ . 31  32 x  2e t  t  1, 【例23】(2021年1,2)设函数 y  y(x) 由参数方程   y  4(t  1)e t  t 2 2 d y 确定，则  _______ . 2 2 dx 3 t0(三) 高阶导数 1 【例24】(2007年2,3）设函数 y  , 则 y (n) (0)  ________. (1)n2nn! [ ] 2x  3 3n1 【解1】  (n) f (0) f (0) 【解2】 f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2    x n  o(x n ) 2! n!【例25】(2015年2）函数 f (x)  x 2 2 x 在 x  0 处的 n 阶导数 f (n) (0)  ___________ . [n(n1)(ln2)n2] 【解1】 【解2】(四) 导数应用 (1)导数的几何意义   【例26】（2011年3）曲线 tan x  y    e y 在点 (0,0)  4  处的切线方程为 (y  2x) ________. x  arctan t, 【例27】(2013年2）曲线 上对应于  t  1  y  ln 1  t 2 , 的点处的法线方程为  1 (x y   ln2) 4 2  【例28】(1997年,1）对数螺线  e  在点 (,)  e /2 ,   2  处的切线的直角坐标方程为  (x y e2) ________.(2)相关变化率(数三不要求） 【例29】(2016年2）已知动点 在曲线 y  x 3 上运动,记坐 P 标原点与点 间的距离为 若点 的横坐标对时间的变化率 [2 2v ] P l. P 0 为常数 v , 则当点 运动到点 时， 对时间的变化率是 P (1,1) l _____. 0第二章 导数与微分 导 题型一 利用导数定义求极限 数 与 题型二 利用导数定义求导数 微 分 题型三 利用导数定义判断可导性 题型一 复合函数 求 题型二 隐函数 导 法 题型三 参数方程（数三不要求） 题型四 高阶导数 导 题型一 切线、法线 数 应 题型二 相关变化率（数三不要求） 用