(83)--11.7笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 第C 十一章C 曲线C 积分C与曲面C积分 C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大第七节大 斯托克大斯公式大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 主讲 武忠祥 教授 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大一、斯托大克斯公式 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 定理1 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,  的 C C C C C C C C C C C O O O O O O n O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 侧与  的正 学 向符合右手 学 法则, P,Q,学R 在包含 学在内的一 学 学  学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 z 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 个空间域内具有连续一阶偏导数,则有  C C C C C C C C C C C O O O O O OO O O O O O O O O O O O O O O O O y M P(x, y, z)Mdx  Q(x, y, zM)dy  R(x, yM, z)dz M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大  大 大 大 大 大 x 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  R Q   P R   Q P  C     C dydz  C  dzdCx    C dxdy C C C C C C O O O O O O O O O O O O  yO z  O z x  O  x Oy  O O O O O O M M M M M M M M M M M  学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 dydz dzdx dxdy cos cos cos           dS CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO x OO y zOO x OO y  OOz OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM   学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 P Q R P Q R 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 例1. 利国 用斯托克国斯公式计国算积分 z d国x  x d y  国y d z 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的 C C C C C C C C C C C O O O O zO O O O O O O 整O O O O O O O O O O O 个M 边界, 方M向如图所M示. M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 1 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 解: 记中三角形域中为 , 取中上则 中 中 中 中 中 中 中 侧, C  z d x Cx d y  y d Cz C CO C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M  M M M M 1M y M M M M M 学 学 学 学 1学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 d y d z 国d z d x d国x d y 国 D 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 xy x       x  y  z C  C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O z x y M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 3 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中   d y d z  d z d x  d x d y  3  d x d y   D 2 xy CC CC CC 利用对CC称性 CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 例2 计算曲 国 线积分  (z 国  y)d x  (x 国  z)d y  (x 国  y)d z ,其中 国C 是曲线 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C  x 2  y 2  1, C C从 z 轴正向C往 z 轴负向C看 的方向C 是顺时针的C. C C C C C O O O O C O O O O O O O O O O O O O O O O O O M x  y  z M2, M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 【解1】 令 x  cos, y  sin，则 z  2  x  y  2  cos sin，所以 C C C C C C C C C C C O O O O 0 O O O O O O O O  (z  y)d O x  (x  z)d O y  (x  y)d O z   [2(s O in cos) O 2cos 2 1] O d O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 2 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 C 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  2. C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O 【解 M O 2】  (z  M y O )d x  (x  M z O )d y  (x  M y O )d z M O M O M O M O M O M O M O 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 C 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中   (1  1)dydz  (1  1)dzdx  (1  1)d x d y CC S CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学  学学 2d x d y 学学2. 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 D 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 xyC C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 内容小结 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O1. 斯托克斯O公式 O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz L C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 cos cos cos 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中  中  中 中 中 中 中 中 中 中   dS x y z  C C C C C C C C C C C O PO Q OR O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  R Q   P R   Q P      dydz    dzdx    dxdy  y z   z x   x y  CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO  OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 2. 场论国中的三个度国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 O C 1) 梯度 : O 设C f (x, y) 在 O C点 P(x , yO C ) 有连续一阶 O C偏导数 O C O C O C O C O C O C O O O O O O O O O O O 0 0 M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 gradu  国f (x , y )i  国f (x , y )j 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 x 0 0 y 0 0 O C 2) 散度: O C设有向量场 O C A(x, y, z)  O C {P,Q, R} O C O C O C O C O C O C O C O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 P国 Q R 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 divA  中   中 中 中 中 中 中 中 中 x y z C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M 3) 旋度:M 设有向量M场 A(x, y, z) M {P,Q, R} M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 i j k    CC roCCtA  CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO x OOy z OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 大大 P大大 Q R 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M 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