(83)--11.7笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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第C 十一章C 曲线C 积分C与曲面C积分 C C C C C C
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大 大第七节大 斯托克大斯公式大 大 大 大 大 大 大
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主讲 武忠祥 教授
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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大一、斯托大克斯公式 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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定理1 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,  的
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O O O O O O n O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 侧与  的正 学 向符合右手 学 法则, P,Q,学R 在包含 学在内的一 学 学  学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 z 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
个空间域内具有连续一阶偏导数,则有

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O O O O O OO O O O O O
O O O O O O O O O O O
y
M P(x, y, z)Mdx  Q(x, y, zM)dy  R(x, yM, z)dz M M M M M M M
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大  大 大 大 大 大 x 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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 R Q   P R   Q P 
C     C dydz  C  dzdCx    C dxdy C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O  yO z  O z x  O  x Oy  O O O O O O
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
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
dydz dzdx dxdy cos cos cos
     
    dS
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO x OO y zOO x OO y  OOz OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
 
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
P Q R P Q R
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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国 例1. 利国 用斯托克国斯公式计国算积分 z d国x  x d y  国y d z 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中

其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的
C C C C C C C C C C C
O O O O zO O O O O O O
整O O O O O O O O O O O
个M 边界, 方M向如图所M示. M M M M M M M M
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1
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 解: 记中三角形域中为 , 取中上则 中 中 中 中 中 中 中
侧,
C  z d x Cx d y  y d Cz C CO C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M  M M M M 1M
y
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学 学 学 学 1学 学 学 学 学 学 学
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国 国 d y d z 国d z d x d国x d y 国 D 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
xy
x
  
 
 x  y  z
C  C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
z x y
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
3
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
  d y d z  d z d x  d x d y  3  d x d y 
 D 2
xy
CC CC CC 利用对CC称性 CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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国 例2 计算曲 国 线积分  (z 国  y)d x  (x 国  z)d y  (x 国  y)d z ,其中 国C 是曲线 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C
 x 2  y 2  1,
C C从 z 轴正向C往 z 轴负向C看 的方向C 是顺时针的C. C C C C C
O O O O C O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M x  y  z M2, M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【解1】 令 x  cos, y  sin，则 z  2  x  y  2  cos sin，所以
C C C C C C C C C C C
O O O O 0 O O O O O O O
O  (z  y)d O x  (x  z)d O y  (x  y)d O z   [2(s O in cos) O 2cos 2 1] O d O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
2
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
C
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
 2.
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
【解 M O 2】  (z  M y O )d x  (x  M z O )d y  (x  M y O )d z M O M O M O M O M O M O M O
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 C 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
  (1  1)dydz  (1  1)dzdx  (1  1)d x d y
CC S CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学  学学 2d x d y 学学2. 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 D 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中
xyC C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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内容小结
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O1. 斯托克斯O公式 O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
 P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz
L
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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cos cos cos
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中  中  中 中 中 中 中 中 中 中
  dS
x y z

C C C C C C C C C C C
O PO Q OR O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
 R Q   P R   Q P 
    dydz    dzdx    dxdy
 y z   z x   x y 
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO  OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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国 2. 场论国中的三个度国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
O C 1) 梯度 : O 设C f (x, y) 在 O C点 P(x , yO C ) 有连续一阶 O C偏导数 O C O C O C O C O C O C
O O O O O O O O O O O
0 0
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 gradu  国f (x , y )i  国f (x , y )j 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x 0 0 y 0 0
O
C
2) 散度: O
C设有向量场
O
C
A(x, y, z)  O
C
{P,Q, R} O
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O
C
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 P国 Q R 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 divA  中   中 中 中 中 中 中 中 中
x y z
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 3) 旋度:M 设有向量M场 A(x, y, z) M {P,Q, R} M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
i j k
  
CC roCCtA  CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO x OOy z OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 P大大 Q R 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
作业
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
P248 2 3
国 国 (1),国(3) ; (1国), 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中