笔记小节24_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（24）
24 曲面积分计算举例；多元积分应用（质量、质心、形心、转到惯量， P277-P292
变力沿曲线做功，场论初步（散度，旋度）
主讲 武忠祥 教授第三节 曲 面 积 分
（一）对面积的面积分（第一类面积分）
n
1. 定义  f (x, y, z)dS  lim  f ( ,, )S
i i i i
0
 i1
2. 性质  f (x, y, z)dS   f (x, y, z)dS
 
（与积分曲面的方向无关）
3.计算方法
1 . 直接法:
 : z  z(x, y), (x, y) D
 f (x, y, z)dS   f (x, y, z(x, y)) 1  z 2  z 2 d
x y
 D2. 利用奇偶性
若曲面 关于 面对称,则
 xoy
 2  f (x, y, z)dS, f (x, y,z)  f (x, y, z)

 f (x, y, z)dS  

z0
   0, f (x, y,z)   f (x, y, z)
3.利用对称性（二）对坐标的面积分（第二类面积分）
n
1. 定义  R(x, y, z)dxdy  lim  R( ,, )(S )
i i i i xy
0
 i1
2. 性质  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy
 
（与积分曲面的方向有关）
3. 计算方法
1) 直接法:
(1)设曲面： z  z(x, y), (x, y) D
xy
 R(x, y, z)dxdy    R(x, y, z(x, y))dxdy
 D
xy(2)设曲面：  : x  x( y, z), ( y, z) D
yz
 P(x, y, z)dydz   P[x( y, z), y, z]dydz
 D
yz
(3)设曲面：
 : y  y(z, x), (z, x) D
zx
 Q(x, y, z)dzdx   Q[x, y(z, x), z]dzdx
 D
zx
2) 高斯公式:
 P Q R 
 Pdydz  Qdzdx  Rdxdy      dV

x y z

 
外
3) 补面用高斯公式.4.两类面积分的联系
 (P cos Q cos Rcos)dS   (Pdydz  Qdzdx  Rdxdy)
 常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
曲面积分计算一. 第一类曲面积分的计算
【例1】(2000年）设 为 在
S : x 2  y 2  z 2  a 2 (z  0), S S
1
一卦限中的部分,则有（ ）
（A）  x d S  4  x d S （B）  y d S  4  x d S
S S S S
1 1
（C）  z d S  4  x d S （D）  xyz d S  4  xyz d S
S S
1 S S
1
【解】【例2】(2012年）设
  {(x, y, z) | x  y  z  1, x  0, y  0, z  0}, 则  y 2 dS  _______ .

1 1y 3
【解】
 y 2 dS  3  y 2 dxdy  3  dy  y 2 dx 
0 0 12
 D【例3】(1995年）计算曲面积分  其中 为锥面
z d S, 

z  x 2  y 2 在柱体 x 2  y 2  2x 内的部分.
【解】 在 平面上的投影区域
 xOy D : x 2  y 2  2x.
d S  1  z 2  z 2 d  2 d.
x y
于是

2cos
 z d S   x 2  y 2  2 d  2  2 d 2 d

 0
 D 2
16 2 /2 32
  cos 3d  2.
3 0 9二. 第二类曲面积分的计算
【例4】(1988年）设  为曲面 x 2  y 2  z 2  1 的外侧,计算
曲面积分
I   x 3 d y d z  y 3 d z d x  z 3 d x d y.

【解】由高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，得
I  3  (x 2  y 2  z 2 )d v

2  1 12
 3  d sind r 2  r 2 d r  .
0 0 0 5【例5】(2005年）设  是由锥面 z  x 2  y 2 与半球面
z  R 2  x 2  y 2 围成的空间区域，  是  的整个边界的外
侧,则  xdydz  ydzdx  zdxdy  _____ .
[(2 2)R3]
【解】【例6】(2008年）设曲面 是 的上侧,则
 z  4  x 2  y 2
 xydydz  xdzdx  x 2 dxdy  _______ .

【解】设  是曲面 z  0 (x 2  y 2  4) 取下侧，
1
     ydxdydz   .
    
1 1 1
由对称性知  ydxdydz  0

1
故       x 2 d x d y   (x 2  y 2 )dxdy  4
2
  x 2 y 24 x 2 y 24
1【例7】(2014年）设 是曲面 的上侧,
 z  x 2  y 2 (z  1)
计算面积分 I   (x  1) 3 dydz  ( y  1) 3 dzdx  (z  1)dxdy.

【解】设 S 为平面 z  1 包含在曲面 z  x 2  y 2 之内部分的下侧,
I   (x  1) 3 dydz  ( y  1) 3 dzdx  (z  1)dxdy
S
  (x  1) 3 dydz  ( y  1) 3 dzdx  (z  1)dxdy
S
  [3(x  1) 2  3( y  1) 2  1]dv  0

  (3x 2  3 y 2  7)dv  6  xdv  6  ydv
  
 xdv   ydv  0
 
2 1 1
 (3x 2  3 y 2  7)dv   d d (32  7)dz  4
0 0
2
第四节 多元积分应用
几
何
所 平面板 空间体 曲线 曲面
形
求 体
量
几何度量
质 量
质 心
转动惯量
W   Pdx  Qdy  Rdz
1.变力作功:

AB
   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy
2.通量:
常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
形心和变力做功的计算【例1】(2010年）设 则
  {(x, y, z) | x 2  y 2  z  1}, 
的形心的竖坐标 z  ________ .
【解】 z   z dV  dV
 
 

1  1
 dV    d x d y d z   z d z 
 
0 0 2
 
 x 2 y 2z
 

1  1
 z dV    d x d y z d z   z 2 d z 
 
0 0 3
 
 x 2 y 2z
2
z  .
3【例2】(2000年）设有一半径为 的球体， 是此球的表面
R P
0
上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 距离的平方成正
P
0
比（比例常数 ），求球体的重心位置.
k  0
【解】
x 2  y 2  z 2  2Rz.
 kz(x 2  y 2  z 2 )d v
x  0, y  0, z   .
 k(x 2  y 2  z 2 )d v

 
2Rcos 32
 (x 2  y 2  z 2 )d v  4  2 d 2 d r 4 sind r  R 5 ,
0 0 0 15

 
2Rcos
 z(x 2  y 2  z 2 )d v  4  2 d 2 d r 5 sincosd r
0 0 0


64 8
 R 6  2 cos 7sind R 5 ,
3 0 3【例3】(1990年）质点 沿着以
P AB
为直径的半圆周,从点 运动到点
A(1,2)
的过程中受到变力 作用(见右图）
B(3,4)
F
的大小等于点 与原点 之间的距离,
F P O
其方向垂直于直线段 且与 y 轴正向
OP,

的夹角小于 .求变力 对质点 所作的功.
F P
2
【解1】按题意，变力
F   yi  xj. W    y d x  x d y

AB
 x  2  2cos, 3 
圆弧 的参数方程是
AB     .
 y  3  2sin, 4 4

 
W   4 2(3  2 sin)sin 2(2  2 cos)cos d  2( 1).
3
 
4【例3】(1990年）质点 沿着以
P AB
为直径的半圆周,从点 运动到点
A(1,2)
的过程中受到变力 作用(见右图）
B(3,4)
F
的大小等于点 与原点 之间的距离,
F P O
其方向垂直于直线段 且与 y 轴正向
OP,

的夹角小于 .求变力 对 质 点 所作的功.
F P
2
【解2】按题意，变力 F   yi  xj. W    y d x  x d y

AB
W    y d x  x d y    ydx  xdy    ydx  xdy
 
AB ABBA BA
1
  2dxdy    (1  x)dx  xdx  2 2
3
D第五节 场论初步
1. 方向导数
f f (x  t cos, y  t cos)  f (x , y )
1) 定义:
 lim 0 0 0 0
l t0  t
(x ,y )
0 0
2) 计算: 若 可微,则
z  f (x, y)
f f f
 cos cos
l x y
2. 梯度:
定义:设 在点 有连续一阶偏导数
f ( x, y) P(x , y )
0 0
gradu  f (x , y )i  f (x , y )j
x 0 0 y 0 03. 散度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R}
P Q R
divA   
x y z
4. 旋度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R}
i j k
  
rotA 
x y z
P Q R常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
梯度、旋度、散度的计算【例1】(1996年)函数 u  ln( x  y 2  z 2 ) 在点 A(1,0,1)
1
[ ]
处沿 A 指向 B(3,2,2) 方向的方向导数为 . 2
【解】【例2】 在椭球面 上求一点,使函数
2x 2  2 y 2  z 2  1
u  x 2  y 2  z 2 在该点沿 l  (1,1,0) 方向的方向导数最大.
1 1
( , ,0)
【解】 2 2z
【例3】(2012年）grad( xy  ) |  .
(1,1,1)
(2,1,1)
y
【解】【例4】(1989年) 向量场 u(x, y, z)  xy 2 i  ye z j  x ln(1  z 2 )k
在点 P(1,1,0) 处的散度 divu  .
(2)
【解】【例5】(2018年）向量场
F( x, y, z)  xyi  yzj  zxk
[i k]
的旋度
rotF(1,1,0)  _______ .
【解】