笔记小节18_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（18） 18 多元函数的极值（无约束极值；条件极值）；最大最小值 P206-P212 主讲 武忠祥 教授第三节 多元函数的极值与最值 本节内容要点 一. 考试内容概要 (一）无约束极值 （二）条件极值与拉格朗日乘数法 （三）最大最小值二. 常考题型方法与技巧 题型一 求极值（无条件） 题型二 求最大最小值考试内容概要 （一）无约束极值 定义7 若在点 的某邻域内恒成立不等式 (x , y ) 0 0 f (x, y)  f (x , y ) ( f (x, y)  f (x , y )) 0 0 0 0 则称 f 在点 (x , y ) 取得极大值（极小值), 点 (x , y ) 称为 0 0 0 0 的极大值点（极 小值点）,极大值与极小值统称为 f 极值，极大值点与极小值点统称为极值点.定理5（极值的必要条件) 设 z  f (x, y) 在点 (x , y ) 存在 0 0 偏导数,且 (x , y ) 为 f (x, y) 的极值点,则 极值点 驻点 0 0 f  (x , y )  0, f  ( x , y )  0. x 0 0 y 0 0 驻点 定理6（极值的充分条件) 设 z  f (x, y) 在点 (x , y ) 可能的极值点 0 0 偏导不全存在 的某邻域内有二阶连续偏导数,又 f  ( x , y )  f  ( x , y )  0, x 0 0 y 0 0 记 A  f  (x , y ), B  f  (x , y ), C  f  (x , y ), 则 xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0 A  0 ; 极小值 （1）当 时,有极值 AC  B 2  0  A  0 . 极大值 （2）当 AC  B 2  0 时,无极值. （3）当 时,不一定(一般用定义判定). AC  B 2  0（二）条件极值与拉格朗日乘数法 1) 函数 f ( x, y) 在条件 ( x, y)  0 条件下的极值. 令 F ( x, y,)  f ( x, y)  ( x, y) F  f  (x, y)   (x, y)  0, x x x  F  f  (x, y)   (x, y)  0, y y y   F  x, y  0,  2) 函数 f ( x, y, z) 在条件 (x, y, z)  0,(x, y, z)  0 条件下的条件极值. 令 F ( x, y, z,,)  f ( x, y, z)  ( x, y, z)  ( x, y, z)（三）最大最小 值 1. 求连续函数 f ( x, y) 在有界闭域 D 上的最大最小值 1) 求 在 内部可能的极值点. f ( x, y) D 2) 求 在 的边界上的最大最小值. f ( x, y) D 3) 比较 2. 应用题 1) 建立目标函数 z  f ( x, y); 2) 求 的最大最小值. z  f ( x, y)常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 1. 求极值（无约束） 2. 求最大最小值 1）求连续函数 在有界闭区域 上的最大最小值; f ( x, y) D 2）条件最值; 3）最大最小值应用题.【例1】(2003,数三) 设可微函数 f (x, y) 在点 ( x , y ) 取得极 0 0 小值则下列结论正确的是 （A） f ( x , y) 在 y  y 处的导数大于零. 0 0 （B） f ( x , y) 在 y  y 处的导数等于零. 0 0 （C） f ( x , y) 在 y  y 处的导数小于零. 0 0 （D） f ( x , y) 在 y  y 处的导数不存在. 0 0 【解】【例2】(2009,数二)设函数 z  f (x, y) 的全微分为 则点 dz  xdx  ydy, (0,0) （A）不是 的连续点. f (x, y) （B）不是 的极值点. f (x, y) （C）是 的极大值点. f (x, y) （D）是 的极小值点. f (x, y) 【解1】直接法【例2】(2009,数二)设函数 z  f (x, y) 的全微分为 则点 dz  xdx  ydy, (0,0) （A）不是 的连续点. f (x, y) （B）不是 的极值点. f (x, y) （C）是 的极大值点. f (x, y) （D）是 的极小值点. f (x, y) 【解2】直接法【例2】(2009,数二)设函数 z  f (x, y) 的全微分为 则点 dz  xdx  ydy, (0,0) （A）不是 的连续点. f (x, y) （B）不是 的极值点. f (x, y) （C）是 的极大值点. f (x, y) （D）是 的极小值点. f (x, y) 【解3】排除法【例3】(2017,数三）二元函数 z  xy(3  x  y) 的极值点是（ ） （A） （B） （C） （D） (0,0), (0,3), (3,0), (1,1). z  y(3  2x  y)  0 【解】由 x 得驻点  (0,0), (0,3), (3,0), (1,1). z  x(3  2 y  x)  0  y z  2 y, z  2x, z  3  2x  2 y. xx yy xy 在 (0,0) 点 A C  B 2  9  0, 无极值; 在 (0,3) 点 A C  B 2  9  0, 无极值; 在 (3,0) 点 A C  B 2  9  0, 无极值; 在 (1,1) 点 A C  B 2  3  0, 有极值;【例4】(2009,数一,三)求二元函数 f (x, y)  x 2 (2  y 2 )  yln y 的极值. 【解】 f  (x, y)  2x(2  y 2 ), f  (x, y)  2x 2 y  ln y  1. x y  f  (x, y)  0,  1 x 令 解得唯一驻点 . 由于   0,  f  (x, y)  0,  e   y  1  1  A  f   0,   2(2  y 2 )  2 2  ,  1 xx 2  e  0,   e   e  1 B  f   0,   4xy  0,  1 xy  e  0,   e  1  1  C  f   0,    2x 2    e, yy  e   y   1 0,   e  1   1 1 所以 AC  B 2  2e 2    0 A  0. 极小值为 f  0,    . 2  e   e  e【例5】(2008,数二)求函数 u  x 2  y 2  z 2 在约束条件 z  x 2  y 2 和 x  y  z  4 下的最大值和最小值. 【解】 F(x, y, z,,)  x 2  y 2  z 2  (x 2  y 2  z)  (x  y  z  4). F   2x  2x   0, x  F   2 y  2y   0,  y  令  F   2 z    0, z  F   x 2  y 2  z  0,   F   x  y  z  4  0,   解方程组,得 (x , y , z )  (1,1,2), (x , y , z )  (2,2,8). 1 1 1 2 2 2 故所求的最大值为72,最小值为6.【例6】(2005,数二）已知 z  f (x, y) 的全微分 d z  2x d x  2 y d y  y 2  且 f (1,1)  2. 求 f (x, y) 在 D  (x, y) x 2   1 上的最大最小值.  4  【解1】由 d z  2x d x  2 y d y 可知 z  f (x, y)  x 2  y 2  C. 再由 f (1,1)  2 ,得 C  2 ，故 z  f (x, y)  x 2  y 2  2. f f 令  2x  0,  2 y  0, 解得驻点 (0,0) ， f (0,0)  2. x y 2 y 在椭圆 x 2   1 上， z  x 2  (4  4x 2 )  2 4 即 z  5x 2  2 (1  x  1), 其最大值为 z  3 ,最小值为 z  2. 再与 f (0,0)  2 x1 x0 比较,可知 在椭圆域 上的最大值为3,最小值为 f (x, y) D  2.【例6】(2005,数二）已知 z  f (x, y) 的全微分 d z  2x d x  2 y d y  y 2  且 f (1,1)  2. 求 f (x, y) 在 D  (x, y) x 2   1 上的最大最小值.  4  【解2】 同解法一，得驻点 (0,0) ， f (0,0)  2.  y 2  设 L  x 2  y 2  2   x 2   1    4   L   2x  2x  0, x    令 L   2 y  y  0, y 2  2 y  L   x 2   1  0,    4 解得4个可能的极.值点 (0,2),(0,2),(1,0) 和 (1,0) 又 f (0,2)  2, f (0,2)  2, f (1,0)  3, f (1,0)  3 ,再与 f (0,0)  2 比较,得 f (x, y) 在 D 上的最大值为3,最小值为  2.【例6】(2005,数二）已知 z  f (x, y) 的全微分 d z  2x d x  2 y d y  y 2  且 f (1,1)  2. 求 f (x, y) 在 D  (x, y) x 2   1 上的最大最小值.  4  【解3】 同解法一，得驻点 (0,0) ， f (0,0)  2. 2 y 椭圆 x 2   1 的参数方程为 x  cos t, y  2sin t. 4 则 z  f (x, y)  x 2  y 2  2  cos 2 t  4sin 2 t  2  3  5sin 2 t 故 f  3, f  2 max min【例7】(1994,数二）在椭圆 x 2  4 y 2  4 上求一点,使其到直线 的距离最短. 2x  3 y  6  0 2x  3 y  6 (2x  3 y  6) 2 【解1】 d  , d 2  13 13 F(x, y,)  (2x  3 y  6) 2 (x 2  4 y 2  4)  F  4(2x  3 y  6)  2x  0, x  F  6(2x  3 y  6)  8y  0, y   F  x 2  4 y 2  4  0,   8  8 x  , x   ,    1  2 1 11 5 5 从而得   d  , d  (x ,y ) (x ,y ) 3 3 1 1 13 2 2 13   y  , y   ,    1  2 5 5 8 3 由本题实际意义知最短距离存在,则点 为所求的点. ( , ) 5 5【例7】(1994,数二）在椭圆 x 2  4 y 2  4 上求一点,使其到直线 的距离最短. 2x  3 y  6  0 2 【解2】 直线 的斜率为 2x  3 y  6  0 k   3 x 由 x 2  4 y 2  4 知 2x  8 yy   0, y    4 y 2 x 即    8 y  3x 3 4 y 将 8 y  3x 与 x 2  4 y 2  4 联立得  8  8 x  , x   ,    1  2 5 5   3 3   y  , y   .    1  2 5 5 8 3 由几何意义知,点 应为所求的点. ( , ) 5 5