笔记小节11_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（11） 11 不定积分举例；定积分的概念、性质及计算方法；变上限积分 P120-P131 主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题 常考题型 求不定积分（换元、分部） dx 【例18】   _________ . (2  x) 1  x 【解1】令 【解2】 e x , x  0, 【例19】 设 f (x)   则  f (x)dx  _________. cos x, x  0, 【解1】 【解2】 1  , x  0, 【例20】（2023年2,3）函数 f (x)   1  x 2 的一个原函数为（ ）  (x  1)cos x, x  0.  ln( 1  x 2  x), x  0, A. F(x)   (x  1)cos x  sin x, x  0.  ln( 1  x 2  x)  1, x  0, B. F(x)   (x  1)cos x  sin x, x  0.  ln( 1  x 2  x), x  0, C. F(x)   (x  1)sin x  cos x, x  0.  ln( 1  x 2  x)  1, x  0, D. F(x)   (x  1)sin x  cos x, x  0. dx 【解1】 x  0,  f (x)dx    ln( x 2  1  x)  C 1  x 2 1 x  0,  f (x)dx   (x  1)cos xdx   (x  1)d sin x  (x  1)sin x  cos x  C 2 1  , x  0, 【例20】（2023年2,3）函数 f (x)   1  x 2 的一个原函数为（ ）  (x  1)cos x, x  0.  ln( 1  x 2  x), x  0, A. F(x)   (x  1)cos x  sin x, x  0.  ln( 1  x 2  x)  1, x  0, B. F(x)   (x  1)cos x  sin x, x  0.  ln( 1  x 2  x), x  0, C. F(x)   (x  1)sin x  cos x, x  0.  ln( 1  x 2  x)  1, x  0, D. F(x)   (x  1)sin x  cos x, x  0. 【解2】验证 F  (x)  f (x).2 x 【例21】计算  dx(a  0). a 2  x 2 【解1】令 x  a sin t 2 x 【解2】 dx   xd a 2  x 2 a 2  x 2x arcsine 【例22】(2006年2）求  d x. x e x x arcsine arcsine d x 【解1】  d x   arcsine x d(e x )     . e x e x 1  e 2x d x  t d t 在  中，令 ,则 1  e 2x  t d x  1  e 2x 1  t 2 d x d t 1 1  t      ln  C 1  e 2x 1  t 2 2 1  t 1 1  1  e 2x   ln  C 2 1  1  e 2x arcsine x arcsine x 1 1  1  e 2x  d x    ln  C. e x e x 2 1  1  e 2xcos t 【解2】令 arcsine x  t ，则 x  lnsin t, d x  d t. sin t x arcsine t cos t 1  d x    d t   td x e sin t sin t sin t t 1     d t sin t sin t t    ln | csct  cot t | C sin t a rc sine x 1 1  e 2x    ln   C x x x e e e x arcsine    ln(1  1  e 2x )  x  C. x earcsin x  ln x 【例23】(2011年3）求不定积分  d x. x arcsin x  ln x 【解】  d x  2  (arcsin x  ln x)d x x d x d x  2 x(arcsin x  ln x)    2  1  x x d(1  x)  2 x ( a rc s i n x  ln x )    4 x 1  x  2 x(arcsin x  ln x)  2 1  x  4 x  C. 1  x  【例24】(2009年2,3）计算不定积分  ln1  d x (x  0).  x  1  x 1 【解】设  t ，则 x  x t 2  1  1  x  1 ln(1  t) 1 1  ln1  d x   ln(1  t)d     d t.  x  t 2  1 t 2  1 t 2  1 t  1 1 1 (t  1)  (t  1) 1 t  1 1  d t   d t  ln   C, (t 2  1)(t  1) 2 (t 2  1)(t  1) 4 t  1 2(t  1)  1  x  ln(1  t) 1 t  1 1  ln1  d x   ln   C  x  t 2  1 4 t  1 2(t  1)sin x 【例25】(1994年5）已知 是 的一个原函数,求 f (x) x  3  x f (x)d x   sin x  x cos x  sin x 【解】 f (x)     2  x  x  sin x   x 3 f  (x)d x   x 3 df (x)  x 3 f (x)  3  x 2 d   x   sin x   x 3 f (x)  3 x 2  2  sin x d x    x  x cos x  sin x .  x 3  3x sin x  6cos x  C 2 x  x 2 cos x  4x sin x  6cos x  C.x x 【例26】(2002年3,4）设 f (sin 2 x)  ,求  f (x)d x. sin x 1  x 【解1】 令 u  sin 2 x ,则有 sin x  u, x  arcsin u, arcsin x f (x)  . x x arcsin x  f (x)d x   d x 1  x 1  x arcsin x   d(1  x)  2  arcsin x d 1  x 1  x 1  2 1  x arcsin x  2  1  x d x 1  x  2 1  x arcsin x  2 x  C.x x 【例26】(2002年3,4）设 f (sin 2 x)  ,求  f (x)d x. sin x 1  x 【解2】 令 x  sin 2 t ,则 x sin t t  f (x)d x     2sin t cos tdt 1  x cos t sin t  2  t sin tdt  2t cos t  2sin t  C  2 1  x arcsin x  2 x  C.第五章 定积分与反常积分 第一节 定积分 第二节 反常 积分第一节 定积分 本节内容要点 一. 考试内容概要 （一）定积分概念 （二）定积分的性质 （三）积分上限的函数 （四）定积分的计算二. 常考题型与典型例题 题型一 定积分的概念、性质及几何意义 题型二 定积分计算 题型三 变上限定积分第一节 定积分 考试内容概要 （一）定积分的概念 n b 1.定积分的定义  f (x)d x  lim  f ( )x i i a 0 i1 【注】(1)  0 与 n   不等价； b b (2)  b f ( x)dx 仅与 f ( x) 和 [a,b] 有关； f (x)d x   f (t)d t. a a a n （3）极限 lim  f ( )x 与  的取法和区间 [a,b] 的分法无关. i i i 0 i1 n n 1 i 1  f (x)d x  lim  f ( )x  lim  f ( )  i 0 0 n n n i1 i12.定积分存在的充分条件 (1) 在 上连续； f ( x) [a,b] (2) f ( x) 在 [a,b] 上有界且只有有限个间断点； (3) f ( x) 在 [a,b] 上仅有有限个第一类间断点； 3.定积分的几何意义（二）定积分的性质 1) 不等式： b b (1) 若 f (x)  g(x), 则  f (x)d x   g(x)d x. a a （2) 若 在 上连续，则 f ( x) [a,b] b m(b  a)   f (x)d x  M(b  a). a b b （3)  f (x)d x   | f (x) |d x. a a 2) 中值定理： （1）若 在 上连续，则 f ( x) [a,b] b  f (x)d x  f ()(b  a) a   b a （2）若 在 上连续， 不变号，则 f (x), g(x) [a,b] g( x) b b  f (x)g(x)d x  f () g(x)d x, a   b a ax （三）积分上限的函数  f (t)d t a x 定理：设 在 上连续，则 在 f ( x) [a,b]  f (t)d t [a,b] a x 上可导且 (  f (t)d t)   f (x). a (x) (  f (t)dt)   f ((x)) (x)  f ((x)) (x) (x) 定理：设 连续， f (x) x （1）若 f ( x) 是奇函数，则  f (t)dt 是偶函数； 0 x （2）若 f ( x) 是偶函数，则  f (t)dt 是奇函数； 0x sin x 【例】(2024,数一,数三)已知函数 f (x)   e cost dt, g(x)   e t 2 dt, 则（ ） 0 0 （A） f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数. （B） f (x) 是偶函数， g(x) 是奇函数. （C） f (x) 与 g(x) 均为奇函数. （D） f (x) 与 g(x) 均为偶函数.（四）定积分的计算 1) 牛顿-莱布尼兹公式  b f (x)d x  F (b)  F(a) a b  2）换元法  f (x)d x   f (t))td t. a  b b b 3）分部积分法  ud v  uv   v d u. a a a 4）利用奇偶性，周期性 为奇函数， 0, f (x)  a  f (x)d x   a  为偶函数 2 f (x)d x, f (x) . a   0 aT T  f (x)d x   f (x)d x. a 05）利用公式 n  1 n  3 1  , n偶    n n  2 2 2 (1)  2 sin n x d x   2 cos n x d x   n  1 n  3 2 0 0   , n奇  n n  2 3  π  (2)  x f (sin x)d x   f (sin x)d x 0 2 0