笔记小节11_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（11）
11 不定积分举例；定积分的概念、性质及计算方法；变上限积分 P120-P131
主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题
常考题型 求不定积分（换元、分部）
dx
【例18】
  _________ .
(2  x) 1  x
【解1】令
【解2】 e x , x  0,
【例19】 设 f (x)   则  f (x)dx  _________.
cos x, x  0,
【解1】
【解2】 1
 , x  0,
【例20】（2023年2,3）函数 f (x)   1  x 2 的一个原函数为（ ）
 (x  1)cos x, x  0.
 ln( 1  x 2  x), x  0,
A. F(x)  
(x  1)cos x  sin x, x  0.
 ln( 1  x 2  x)  1, x  0,
B.
F(x)  
(x  1)cos x  sin x, x  0.
 ln( 1  x 2  x), x  0,
C. F(x)  
(x  1)sin x  cos x, x  0.
 ln( 1  x 2  x)  1, x  0,
D. F(x)  
(x  1)sin x  cos x, x  0.
dx
【解1】 x  0,  f (x)dx    ln( x 2  1  x)  C
1  x 2 1
x  0,  f (x)dx   (x  1)cos xdx   (x  1)d sin x  (x  1)sin x  cos x  C
2 1
 , x  0,
【例20】（2023年2,3）函数 f (x)   1  x 2 的一个原函数为（ ）
 (x  1)cos x, x  0.
 ln( 1  x 2  x), x  0,
A. F(x)  
(x  1)cos x  sin x, x  0.
 ln( 1  x 2  x)  1, x  0,
B.
F(x)  
(x  1)cos x  sin x, x  0.
 ln( 1  x 2  x), x  0,
C. F(x)  
(x  1)sin x  cos x, x  0.
 ln( 1  x 2  x)  1, x  0,
D. F(x)  
(x  1)sin x  cos x, x  0.
【解2】验证 F  (x)  f (x).2
x
【例21】计算  dx(a  0).
a 2  x 2
【解1】令
x  a sin t
2
x
【解2】 dx   xd a 2  x 2
a 2  x 2x
arcsine
【例22】(2006年2）求  d x.
x
e
x x
arcsine arcsine d x
【解1】  d x   arcsine x d(e x )     .
e x e x 1  e 2x
d x  t d t
在  中，令 ,则
1  e 2x  t d x 
1  e 2x 1  t 2
d x d t 1 1  t
     ln  C
1  e 2x 1  t 2 2 1  t
1 1  1  e 2x
  ln  C
2 1  1  e 2x
arcsine x arcsine x 1 1  1  e 2x
 d x    ln  C.
e x e x 2 1  1  e 2xcos t
【解2】令 arcsine x  t ，则 x  lnsin t, d x  d t.
sin t
x
arcsine t cos t 1
 d x    d t   td
x
e sin t sin t sin t
t 1
    d t
sin t sin t
t
   ln | csct  cot t | C
sin t
a rc sine x 1 1  e 2x
   ln   C
x x x
e e e
x
arcsine
   ln(1  1  e 2x )  x  C.
x
earcsin x  ln x
【例23】(2011年3）求不定积分

d x.
x
arcsin x  ln x
【解】  d x  2  (arcsin x  ln x)d x
x
d x d x
 2 x(arcsin x  ln x)    2 
1  x x
d(1  x)
 2 x ( a rc s i n x  ln x )    4 x
1  x
 2 x(arcsin x  ln x)  2 1  x  4 x  C. 1  x 
【例24】(2009年2,3）计算不定积分  ln1  d x (x  0).
 x 
1  x 1
【解】设  t ，则 x 
x t 2  1
 1  x  1 ln(1  t) 1 1
 ln1  d x   ln(1  t)d     d t.
 x  t 2  1 t 2  1 t 2  1 t  1
1 1 (t  1)  (t  1) 1 t  1 1
 d t   d t  ln   C,
(t 2  1)(t  1) 2 (t 2  1)(t  1) 4 t  1 2(t  1)
 1  x  ln(1  t) 1 t  1 1
 ln1  d x   ln   C
 x  t 2  1 4 t  1 2(t  1)sin x
【例25】(1994年5）已知 是 的一个原函数,求
f (x)
x
 3 
x f (x)d x

 sin x  x cos x  sin x
【解】 f (x)    
2
 x  x
 sin x 
 x 3 f  (x)d x   x 3 df (x)  x 3 f (x)  3  x 2 d 
 x 
 sin x 
 x 3 f (x)  3 x 2  2  sin x d x
 
 x 
x cos x  sin x
.
 x 3  3x sin x  6cos x  C
2
x
 x 2 cos x  4x sin x  6cos x  C.x x
【例26】(2002年3,4）设 f (sin 2 x)  ,求  f (x)d x.
sin x 1  x
【解1】 令 u  sin 2 x ,则有 sin x  u, x  arcsin u,
arcsin x
f (x)  .
x
x arcsin x
 f (x)d x   d x
1  x 1  x
arcsin x
  d(1  x)  2  arcsin x d 1  x
1  x
1
 2 1  x arcsin x  2  1  x d x
1  x
 2 1  x arcsin x  2 x  C.x x
【例26】(2002年3,4）设 f (sin 2 x)  ,求  f (x)d x.
sin x 1  x
【解2】 令 x  sin 2 t ,则
x sin t t
 f (x)d x     2sin t cos tdt
1  x cos t sin t
 2  t sin tdt
 2t cos t  2sin t  C
 2 1  x arcsin x  2 x  C.第五章 定积分与反常积分
第一节 定积分
第二节 反常 积分第一节 定积分
本节内容要点
一. 考试内容概要
（一）定积分概念
（二）定积分的性质
（三）积分上限的函数
（四）定积分的计算二. 常考题型与典型例题
题型一 定积分的概念、性质及几何意义
题型二 定积分计算
题型三 变上限定积分第一节 定积分
考试内容概要
（一）定积分的概念
n
b
1.定积分的定义  f (x)d x  lim  f ( )x
i i
a 0
i1
【注】(1)  0 与 n   不等价；
b b
(2)  b f ( x)dx 仅与 f ( x) 和 [a,b] 有关； f (x)d x   f (t)d t.
a a
a
n
（3）极限 lim  f ( )x 与  的取法和区间 [a,b] 的分法无关.
i i i
0
i1
n n
1 i
1
 f (x)d x  lim  f ( )x  lim  f ( )
 i
0 0 n n n
i1 i12.定积分存在的充分条件
(1) 在 上连续；
f ( x) [a,b]
(2) f ( x) 在 [a,b] 上有界且只有有限个间断点；
(3) f ( x) 在 [a,b] 上仅有有限个第一类间断点；
3.定积分的几何意义（二）定积分的性质
1) 不等式：
b b
(1) 若 f (x)  g(x), 则  f (x)d x   g(x)d x.
a a
（2) 若 在 上连续，则
f ( x) [a,b]
b
m(b  a)   f (x)d x  M(b  a).
a
b b
（3)  f (x)d x   | f (x) |d x.
a a
2) 中值定理：
（1）若 在 上连续，则
f ( x) [a,b]
b
 f (x)d x  f ()(b  a) a   b
a
（2）若 在 上连续， 不变号，则
f (x), g(x) [a,b] g( x)
b b
 f (x)g(x)d x  f () g(x)d x, a   b
a ax
（三）积分上限的函数  f (t)d t
a
x
定理：设 在 上连续，则 在
f ( x) [a,b]  f (t)d t [a,b]
a
x
上可导且
(  f (t)d t)   f (x).
a
(x)
(  f (t)dt)   f ((x)) (x)  f ((x)) (x)
(x)
定理：设 连续，
f (x)
x
（1）若 f ( x) 是奇函数，则  f (t)dt 是偶函数；
0
x
（2）若 f ( x) 是偶函数，则  f (t)dt 是奇函数；
0x sin x
【例】(2024,数一,数三)已知函数 f (x)   e cost dt, g(x)   e t 2 dt, 则（ ）
0 0
（A） f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数.
（B） f (x) 是偶函数， g(x) 是奇函数.
（C） f (x) 与 g(x) 均为奇函数.
（D） f (x) 与 g(x) 均为偶函数.（四）定积分的计算
1) 牛顿-莱布尼兹公式  b f (x)d x  F (b)  F(a)
a
b 
2）换元法  f (x)d x   f (t))td t.
a 
b
b b
3）分部积分法  ud v  uv   v d u.
a a
a
4）利用奇偶性，周期性
为奇函数，
0, f (x)

a
 f (x)d x   a
 为偶函数
2 f (x)d x, f (x) .
a 

0
aT T
 f (x)d x   f (x)d x.
a 05）利用公式
n  1 n  3 1
 , n偶
  
n n  2 2 2
(1)  2 sin n x d x   2 cos n x d x  
n  1 n  3 2
0 0
  , n奇
 n n  2 3

π 
(2)  x f (sin x)d x   f (sin x)d x
0 2 0