笔记小节02_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（2）
2 函数极限概念，极限的性质，极限存在准则，无穷小及无穷大 P11-P22
主讲 武忠祥 教授2. 函数的极限
1)自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 lim f ( x)  A
x
  0, X  0 ,当 x  X 时，恒有 | f ( x)  A | .
lim f ( x)  A
x
  0, X  0 ,当 x   X 时，恒有 | f ( x)  A | .
lim f ( x)  A
x
  0, X  0 ,当 | x | X 时，恒有 | f ( x)  A | .
定理1 lim f ( x)  A  lim f ( x)  lim f ( x)  A
x x x2)自变量趋于有限值时函数的极限
定义5 lim f (x)  A
xx
0
  0,   0 ,当 0 | x  x |  时, 恒有 | f ( x)  A | .
0
【注】 (1） 与

的作用,  的任意性;
(2) 几何意义;
(3） x  x ,但 x  x .
y
0 0
y  f (x)
A 
A
A 
 
o x  x x  x
0 0 0左极限： 
lim f ( x)  f (x )  f (x  0)
0 0

xx
0
右极限： lim f ( x)  f (x  )  f (x  0)
 0 0
xx
0
定理2 lim f (x)  A  lim f (x)  lim f (x)  A
xx xx  xx 
0 0 0需要分左、右极限求极限的问题主要有三种：
（1）分段函数在分界点处的极限 (在该分界点两侧
函数表达式不同)
1
（2）  型极限 （如 x x
e lim e x , lim e , lime )
x0 x x
1
（3） arctan 型极限 （如
lim arctan , limarctan x)
x0 x xx 2  1 1
【例3】(1992年1,2,3)当 x  1 时，函数 e x1
x  1
的极限（ ）
（A）等于2 （B）等于0 （C）为  （D）不存在但不为 
【解】应选 (D)
本题中出现  ，所以要分左、右极限
e
x 2  1 1 x  1 1
lim ex1  lim ex1  2 0  0
x1  x  1 x1  1
x 2  1 1 x  1 1
lim ex1  lim ex1  
x1  x  1 x1  1
x 2  1 1
所以， lim ex1 不存在，但不是 , 应选 (D).
x1 x  1 1 
1
【例4】(2021年3) 已知 lim  a arctan  (1  x )x  存在，求 a 的值. e1e
a
x0 x


【解】（二）极限性质
1）有界性
 
1) (数列) 如果数列 收敛，那么数列   一定有界.
x
x
n
n
2）(函数）若 存在，则 在 某去心邻域
lim f (x) f (x) x
0
xx
0
有界(即局部有界).2）保号性
1)(数列) 设 lim x  A
n
n
（1）如果 A  0 （或 A  0 ），则存在 N  0, 当 n  N 时， x  0 （或 x  0 ）；
n n
（2）如果存在 N  0, 当 n  N 时， x  0 （或 x  0 则 A  0 （或 A  0),
n n
2)(函数）设 lim f ( x)  A
xx
0

（1) 如果 A  0 （或 A  0), 则存在   0 ,当 x U(x ,)
0
时， f (x)  0 （或 f (x)  0 ）.

（2）如果存在   0, 当 x U(x ,) 时, f (x)  0
0
（或 f (x)  0 ）, 那么 A  0（或 A  0).f (x)  f (a)
【例5】(1995年3)设 lim  1 ，则在点 x  a 处（ ）
xa (x  a) 2
（A） f (x) 的导数存在，且 f  (a)  0 （B） f (x) 取得极大值
（C） 取得极小值 (D) 的导数不存在.
f (x) f (x)
【解1】直接法 应选 (B)
f (x)  f (a)
由 及极限的保号性可知，在点 x  a
lim  1  0
xa (x  a) 2
f (x)  f (a)
 0
(x  a) 2
即 f ( x )  f (a)  0f (x)  f (a)
【例5】(1995年3)设 lim  1 ，则在点 x  a 处（ ）
xa (x  a) 2
（A） f (x) 的导数存在，且 f  (a)  0 （B） f (x) 取得极大值
（C） f (x) 取得极小值 (D) f (x) 的导数不存在.
【解2】排除法 应选 (B)
令 f (x)  (x  a) 2,显然 f (x) 符合题设条件，但在点
x  a 处, f (x) 可导,且 f  (a)  0, 并取得极大值,
则选项(A)(C)(D)都不正确, 故应选 (B).3）极限值与无穷小之间的关系;
其中
lim f ( x)  A  f ( x)  A ( x) lim(x)  0.
（三）极限存在准则
1）夹逼准则
若存在 当 时，
N, n  N x  y  z ,
n n n
lim x  lim z  a, 则 lim y  a.
n n n
n n n
2）单调有界准则
单调有界数列必有极限.
单调增、有上界的数列必有极限；
单调减、有下界的数列必有极限； n n n 
【例6】求极限 lim     .
 
nn 2  1 n 2  2 n 2  n
【解】由于
n 2  n n n  n 2
     
 
n 2  n n 2  1 n 2  2 n 2  n n 2  1
2 2
n n
又
lim  lim  1
n n 2  n n n 2  1
 n n n 
由夹逼原理知 lim      1.
 
nn 2  1 n 2  2 n 2  n1
【例7】求极限
lim x[ ].
 x
x0
1 1 1
【解】由于  1  [ ] 
x x x
上式两端同乘以 x 得
1
1  x  x[ ]  1
x
1
由夹逼原理知 lim x[ ]  1
x0  xn
2
【例8】求极限
lim .
n n!
【解1】由于
2 n 2 2 2   2 4
0   
n! 1 2 3   n n
4
又 lim  0,
n n
n
2
由夹逼原理知 lim  0
n n!n
2
【例8】求极限
lim .
n n!
n
2 2
【解2】令 x  , 则 x  x 
n
n!
n1 n
n  1
x 2
n1   1
x n  1
n
n
2
则数列  x  单调减，又 x   0, 即  x  下有界,由单
n
n n! n
 
调有界准则知数列 x 收 敛 ， 设 l im x  a,
n n
n
2
等式 x  x  两端取极限得 a  a  0
n1 n
n  1
则 a  0.（四）无穷小量
1）无穷小量的概念 若函数 f (x) 当 x  x （或 x   ）时的
0
极限为零，则称 f (x) 为 x  x （或 x   ）时的无穷小量.
0
设
2) 无穷小的比较 ( x)  0, ( x)  0
( x)
（1）高阶： 若 lim  0 ； 记为 ( x)  (( x));
( x)
( x)
（2）低阶： 若
lim  ;
( x)
(x)
（3）同阶：若
lim  C  0;
(x)
(x)
（4）等价：若 ；记为
lim  1 ( x) ~ ( x);
(x)
(x)
（5）无穷小的阶: 若 ，称 是
lim  C  0 ( x)
[(x)] k
的 阶无穷小.
( x) k
【例9】(2013年2）设 cos x  1  x sin(x), 其中 (x)  ,
2
则当 x  0 时，(x) 是( )
（A）比 高阶的无穷小量； （B）比 低阶的无穷小量；
x x
（C）与 同阶但不等价的无穷小量； （D）与 等价的无穷小量.
x x
【解】由于 cos x  1  x sin(x), 则
1
 x 2
sin(x) cos x  1 1
2
lim  lim  lim  
2 2
x0 x x0 x x0 x 2

lim sin(x)  0, 又 (x)  , 则 lim(x)  0,
2
x0 x0
(x) sin(x) 1
lim  lim  
x0 x x0 x 23) 无穷小的性质
（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.
（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.
（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.（五）无穷大量
1）无穷大量的概念 若函数 f (x) 当 x  x （或 x   ）时趋
0
向于无穷，则称 f (x) 为 x  x （或 x   ）时的无穷大量.
0
即：若对任意给定的 ,总存在 ,当
M  0   0
0 | x  x |  时，恒有 | f (x) | M .
02）常用的一些无穷大量的比较
（1）当 时
x  
ln  x  x   a x
其中  0, 0,a  1.
（2）当
n   时
ln  n  n   a n  n! n n
其中  0, 0,a  1.
x
【例10】（2010年3）设 f (x)  ln 10 x, g(x)  x, h(x)  e10
则当 充分大时，有（ ).
x
（A） g(x)  h(x)  f (x) （B） h(x)  g(x)  f (x)
（C） f (x)  g(x)  h(x) （D） g(x)  f (x)  h(x)3）无穷大量的性质
（1）两个无穷大量的积仍为无穷大量；
（2）无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量.4）无穷大量与无界变量的关系：
 
1)数列 是无穷大量：
x
n
当 时，恒有
M  0,N  0, n  N x  M .
n
 
2)数列 是无界变量：
x
n
使
M  0,N  0, x  M .
N
无穷大量  无界变量
为奇数，
n, n
【例11】数列 是无界变量但不是无穷大量.
x  
n ， 为偶数
0 n .【例12】（1991年5）设数列的通项为
n 2  n
若 为奇数
, n ,

n
x   则当 n 时， x 是（ ）
n 1 n
 若 为偶数
, n ,
n
(A)无穷大量 （B）无穷小量
(C)有界变量 （D）无界变量
【解】应选（D）
n 2  n 1
当 为奇数时
n x   n 
n
n n
1
lim x  lim(n  )  
n
n n n
1 1
当 n 为偶数时 x  lim x  lim  0
n n
n n n n5）无穷大量与无穷小量的关系
1
在同一极限过程中, 如果 是无穷大, 则
f ( x)
f (x)
是无穷小；反之, 如果 f ( x)是无穷小, 且 f (x)  0, 则
1
是无穷大；
f (x)
1
【例13】 f (x)  0, 是 x  x 时的无穷小量，但 无意义.
0
f (x)