(94)--笔记小节_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高数基础班（3）
3 常考题型举例：1.极限概念、性质、存在准则，2.求极限方法举例 P22-P35
（基本极限；等价代换；有理运算）
主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题
1）极限的概念、性质及存在准则
2）求极限
3）无穷小量阶的比较(一）极限的概念、性质及存在准则
【例13】(1999,数二)“对任意给定的 总存在正数
 (0,1), N ,
当 n  N 时，恒有 x  a  2 ”是数列  x  收敛于 a 为
n n
(A) 充分条件但非必要条件；
(B) 必要条件但非充分条件.
(C) 充分必要条件.
（D）既非充分条件又非必要条件.
【解】 
【例14】(2015,数三）设 是数列，下列命题中不正确的是
x
n
（A）若 lim x  a, 则 lim x  lim x  a.
n 2n 2n1
n n n
（B）若 则
lim x  lim x  a, lim x  a,
2n 2n1 n
n n n
（C）若 lim x  a, 则 lim x  lim x  a.
n 3n 3n1
n n n
（D）若 lim x  lim x  a, 则 lim x  a,
3n 3n1 n
n n n
【解】 
 
【例15】(2022,数一,数二）设有数列 x ，其中 x 满足   x  ，则（ ）
n n n
2 2
（A）若 存在，则 存在.
lim cos(sin x ) lim x
n n
n n
（B）若 lim sin(cos x ) 存在，则 lim x 存在.
n n
n n
（C）若 lim cos(sin x ) 存在，则 lim sin x 存在，但 lim x 不一定存在.
n n n
n n n
（D）若 存在，则 lim cos x 存在，但 lim x 不一定存在.
lim sin(cos x )
n n
n
n n n
【解1】直接法 存在 存在
limsin x lim x
n n
n n
limcos x 存在 lim x 存在
n n
n n

【解2】排除法 x  (1) n
n
21 1
【例16】(1993,数三)当 x  0 时,变量 sin 是（ ）
2
x x
（A）无穷小 （B）无穷大
（C）有界的,但不是无穷小; （D）无界的,但不是无穷大
由于对任意给定的 M  0 及   0, 总存在
1 1
x  , y  ,
n  n
2n
2n
2
使得 0  x  , 0  y  , 此时
n n
2
1   1 1
sin x   2n   M , sin  0
x 2 n  2  y 2 y
n n n(二) 求 极 限
常用的求极限方法（8种）
方法1 利用基本极限求极限
方法2 利用等价无穷小代换求极限
方法3 利用有理运算法则求极限
方法4 利用洛必达法则求极限
方法5 利用泰勒公式求极限
方法6 利用夹逼原理求极限
方法7 利用单调有界准则求极限
方法8 利用定积分定义求极限方法1 利用基本极限求极限
1）常用的基本极限
1
sin x
lim  1; lim(1  x) 1 x  e; lim(1  ) x  e;
x0 x x0 x x
a x  1
lim  ln a; lim n n  1. lim n a  1,(a  0),
x0 x n n
a
n , n  m,

b
a x n  a x n1    a x  a  m
lim n n1 1 0   0, n  m,
x b x m  b x m1    b x  b

m m1 1 0 , n  m.


 0, x  1,
  0, x  0,
 , x  1,
lim x n  

n 1, x  1 lim e nx    , x  0

n

  不存在， x  1.  1, x  0.
2)“ 1 ”型极限常用结论
若若 lim(x)  0, lim( x)  , 且 lim(x)(x)  A
则 lim(1 (x)) (x)  e A
可以归纳为以下三步:
1)写标准形式 原式  lim[1 (x)] (x) ;
2)求极限 lim(x)(x)  A;
3)写结果 原式  e A .n1
n 1
【例17】
lim sin
n (n  1) n n
n
n 1
【解】原式  lim nsin
n (n  1) n n
1
sin
1
n
 lim
1 1
n
(1  ) n
n n
1

ecot x
 1  e x 
【例18】(2022,数二,数三）
lim   ________ .
 
x0 2 
cot x cot x
 1  e x   e x  1 
【解】 lim   lim1  
   
x0 2  x0 2 
e x  1 e x  1 cos x 1
lim  cot x  lim  
x0 2 x0 2 sin x 2
cot x
 1  e x  1
lim   e2
 
x0 2 x
 x 2 
【例19】(2010,数一）极限 lim  
 
x (x  a)(x  b)
ab ba
(A) 1 (B) e (C) e (D) e
x x x
 x 2   x   x 
【解1】直接法 lim    lim   
 
x (x  a)(x  b) x x  a   x  b 
x
 a  b
 lim1   (1  ) x
x x  x
 e a  e b  e abx
 x 2 
【例19】(2010,数一）极限 lim  
 
x (x  a)(x  b)
ab ba
(A) 1 (B) e (C) e (D) e
【解2】排除法n a  n b  n c
其中
【例20】 lim( ) n , a  0,b  0,c  0.
n 3
n
 n a  n b  n c  3
【解】原式  lim 1 
 
n 3 
n a  n b  n c  3
lim( )n
n 3
1 (n a  1)  (n b  1)  (n c  1)
 lim
1
3 n
n
1
 (lna  ln b  ln c)
3
 ln 3 abc
原式  e ln3 abc  3 abc方法2 利用等价无穷小代换求极限
（1）代换原则：
a) 乘除关系可以换
若 ~ , ~  , 则
1 1
   
lim  lim 1  lim  lim 1
   
1 1
b) 加减关系在一定条件下可以换

若 且 则
~ , ~  , lim 1  A  1.   ~   .
1 1  1 1
1

若 ~ , ~  , 且 lim 1  A  1. 则   ~   .
1 1
1 1

1（2）常用的等价无穷小：当
x  0
时
x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1  x) ~ e x  1;
1
a x  1 ~ x lna, (1  x)   1 ~ x, 1  cos x ~ x 2
2
1 1 1
x  sin x ~ x 3 tan x  x ~ x 3 x  ln(1  x) ~ x 2
6 3 2
1 1
arcsin x  x ~ x 3 x  arctan x ~ x 3
6 3【例21】(2016,数三）已知函数 满足
f (x)
1  f (x)sin 2x  1
lim  2, 则 lim f (x)  _________ .
x0 e 3x  1 x0
1  f (x)sin 2x  1
【解】由 lim  2 及 lim(e 3x  1)  0 知，
x0 e 3x  1 x0
lim f (x)sin 2x  0
x0
1
f (x)sin 2x
1  f (x)sin 2x  1
则 2
lim  lim
x0 e 3x  1 x0 3x
1
f (x) 2x
1
2
 lim  lim f (x)  2
x0 3x 3 x0
故
lim f (x)  6.
x0ln(cos x)
【例22】(2015,数一）
lim  ___________ .
2
x0 x
ln[1  (cos x  1)]
【解1】原式  lim
2
x0 x
cos x  1
 lim
2
x0 x
1
 x 2
1
2
 lim   （等价无穷小代换)
2
x0 x 2
sin x

1 tan x 1
cos x
【解2】原式  lim   lim  
x0 2x 2 x0 x 2
1
1
(cos x  1)  x 2
ln cos x  ln1  1
2
【解3】原式  lim  lim  lim  
2 2 2
x0 x x0 x x0 x 2e  e cos x
【例23】(2009,数三）
lim  ________ .
x0 3 1  x 2  1
e cos x (e 1cos x  1)
【解1】原式  lim
1
x0
2
x
3
1
2
x
1  cos x 3e
2
 e lim  e lim 
1 1
x0 x0 2
x 2 x 2
3 3
1
2
x
e 1  e cosx e  (1  cos x) 3e
【解2】原式 2
 lim  3lim  3e lim 
x0 1 x0 x 2 x0 x 2 2
2
x
3
e  e cosx e cosx sin x 3e
【解3】原式  lim  lim 
x0 1 x0 2 2
2
x x
3 3 x 
1  2  cos x 
【例24】(2006,数二）求极限
lim    1
3
x0 x

 3 

  2cos x  
1 xln 
【解1】原式  lim e  3   1
3
x0 x  
 
 2  cos x 
x ln 
 3 
（等价无穷小代换)
 lim
3
x0 x
 cos x  1
ln1  
 3 
 lim
2
x0 x
cos x  1
 lim （等价无穷小代换）
2
x0 3x
1
 x 2
1
2
 lim  
2
x0 3x 6 x 
1  2  cos x 
【例24】(2006,数二）求极限
lim    1
3
x0 x

 3 

 x 
1  cos x  1
【解2】原式  lim 1    1
3
x0 x

 3 

x(cos x  1)
3
 lim
3
x0 x
【注】当 x  0 时， (1  x)   1 ~x. 这个结论推广可得:
若 (x)  0,(x)(x)  0,
则 ( 1   ( x)) (x)  1 ~ (x)(x)arcsin x  sin x
【例25】求极限 1
lim . [ ]
2
x0 arctan x  tan x方法3 利用有理运算法则求极限
有理运算法则
若 lim f (x)  A, lim g(x)  B, 那么:
 
lim f (x)  g(x)  lim f ( x)  lim g( x)
 
lim f (x) g(x)  lim f (x) lim g(x)
 f ( x)  lim f ( x)
lim   (B  0)
 g( x)  lim g( x)
【注】1）存在  不存在  不存在；
2）不存在  不存在  不一定.
3）存在   不存在 不一定；

4）不存在 不存在 不一定.
常用的结论：1）
lim f (x)  A  0  lim f (x)g(x)  Alim g(x);
即：极限非零的因子的极限可先求出来.
f (x)
2） 存 在，
lim lim g( x)  0  lim f ( x)  0;
g(x)
f (x)
3) lim  A  0,lim f (x)  0  lim g(x)  0;
g(x) 1  1  
【例26】(2010,数三)若 lim    a e x  1 ，则 a 等于（ ）
 
x0 x  x  
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【解】 应选 (C)
 1  1    1  e x 
1  lim    ae x  lim  a lim e x
   
x0 x  x   x0 x  x0
 1  a
则 a  2 故应选 (C).1
【例27】(2018,数三）已知实数 a,b 满足 lim [(ax  b)e x  x]  2,
x
求
a,b.
1 1
【解】
2  lim be x  lim (axe x  x)
x x
1
 b  lim x(ae x  1)
x
1
 b  lim x(e x  1)
(a  1)
x
1
 b  lim x 
x x
 b  1
故 a  b  1.sin x
【例28】(2004,数三)若极限 ，则
lim (cos x  b)  5
x0 e x  a
a  ___, b  ___ .
sin x sin x(cos x  b)
【解】由于
lim (cos x  b)  lim  5  0
x0 e x  a x0 e x  a
且 lim sin x(cos x  b)  0,
x0
lim(e x  a)  0, 即 a  1.
x0
sin x sin x
lim (cos x  b)  lim (cos x  b)
x0 e x  a x0 e x  1
x
 lim (cos x  b)
 1  b
x0 x
由 得，
1  b  5 b  4.4x 2  x  1  x  1
【例29】(1997,数二)求极限
lim
x x 2  sin x
1 1 1
(x)[ 4    1  ]
2
x x x
【解1】原式 =
lim
x sin x
(x) 1 
2
x
1 1 1
4    1 
2
x x x
 lim  1
x sin x
1 
2
x
4x 2  x  1 x 1
【解2】原式 = lim  lim  lim
x x 2  sin x x x 2  sin x x x 2  sin x
 2  1  0  1