(94)--笔记小节_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高数基础班（3） 3 常考题型举例：1.极限概念、性质、存在准则，2.求极限方法举例 P22-P35 （基本极限；等价代换；有理运算） 主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题 1）极限的概念、性质及存在准则 2）求极限 3）无穷小量阶的比较(一）极限的概念、性质及存在准则 【例13】(1999,数二)“对任意给定的 总存在正数  (0,1), N , 当 n  N 时，恒有 x  a  2 ”是数列  x  收敛于 a 为 n n (A) 充分条件但非必要条件； (B) 必要条件但非充分条件. (C) 充分必要条件. （D）既非充分条件又非必要条件. 【解】  【例14】(2015,数三）设 是数列，下列命题中不正确的是 x n （A）若 lim x  a, 则 lim x  lim x  a. n 2n 2n1 n n n （B）若 则 lim x  lim x  a, lim x  a, 2n 2n1 n n n n （C）若 lim x  a, 则 lim x  lim x  a. n 3n 3n1 n n n （D）若 lim x  lim x  a, 则 lim x  a, 3n 3n1 n n n n 【解】    【例15】(2022,数一,数二）设有数列 x ，其中 x 满足   x  ，则（ ） n n n 2 2 （A）若 存在，则 存在. lim cos(sin x ) lim x n n n n （B）若 lim sin(cos x ) 存在，则 lim x 存在. n n n n （C）若 lim cos(sin x ) 存在，则 lim sin x 存在，但 lim x 不一定存在. n n n n n n （D）若 存在，则 lim cos x 存在，但 lim x 不一定存在. lim sin(cos x ) n n n n n n 【解1】直接法 存在 存在 limsin x lim x n n n n limcos x 存在 lim x 存在 n n n n  【解2】排除法 x  (1) n n 21 1 【例16】(1993,数三)当 x  0 时,变量 sin 是（ ） 2 x x （A）无穷小 （B）无穷大 （C）有界的,但不是无穷小; （D）无界的,但不是无穷大 由于对任意给定的 M  0 及   0, 总存在 1 1 x  , y  , n  n 2n 2n 2 使得 0  x  , 0  y  , 此时 n n 2 1   1 1 sin x   2n   M , sin  0 x 2 n  2  y 2 y n n n(二) 求 极 限 常用的求极限方法（8种） 方法1 利用基本极限求极限 方法2 利用等价无穷小代换求极限 方法3 利用有理运算法则求极限 方法4 利用洛必达法则求极限 方法5 利用泰勒公式求极限 方法6 利用夹逼原理求极限 方法7 利用单调有界准则求极限 方法8 利用定积分定义求极限方法1 利用基本极限求极限 1）常用的基本极限 1 sin x lim  1; lim(1  x) 1 x  e; lim(1  ) x  e; x0 x x0 x x a x  1 lim  ln a; lim n n  1. lim n a  1,(a  0), x0 x n n a n , n  m,  b a x n  a x n1    a x  a  m lim n n1 1 0   0, n  m, x b x m  b x m1    b x  b  m m1 1 0 , n  m.    0, x  1,   0, x  0,  , x  1, lim x n    n 1, x  1 lim e nx    , x  0  n    不存在， x  1.  1, x  0. 2)“ 1 ”型极限常用结论 若若 lim(x)  0, lim( x)  , 且 lim(x)(x)  A 则 lim(1 (x)) (x)  e A 可以归纳为以下三步: 1)写标准形式 原式  lim[1 (x)] (x) ; 2)求极限 lim(x)(x)  A; 3)写结果 原式  e A .n1 n 1 【例17】 lim sin n (n  1) n n n n 1 【解】原式  lim nsin n (n  1) n n 1 sin 1 n  lim 1 1 n (1  ) n n n 1  ecot x  1  e x  【例18】(2022,数二,数三） lim   ________ .   x0 2  cot x cot x  1  e x   e x  1  【解】 lim   lim1       x0 2  x0 2  e x  1 e x  1 cos x 1 lim  cot x  lim   x0 2 x0 2 sin x 2 cot x  1  e x  1 lim   e2   x0 2 x  x 2  【例19】(2010,数一）极限 lim     x (x  a)(x  b) ab ba (A) 1 (B) e (C) e (D) e x x x  x 2   x   x  【解1】直接法 lim    lim      x (x  a)(x  b) x x  a   x  b  x  a  b  lim1   (1  ) x x x  x  e a  e b  e abx  x 2  【例19】(2010,数一）极限 lim     x (x  a)(x  b) ab ba (A) 1 (B) e (C) e (D) e 【解2】排除法n a  n b  n c 其中 【例20】 lim( ) n , a  0,b  0,c  0. n 3 n  n a  n b  n c  3 【解】原式  lim 1    n 3  n a  n b  n c  3 lim( )n n 3 1 (n a  1)  (n b  1)  (n c  1)  lim 1 3 n n 1  (lna  ln b  ln c) 3  ln 3 abc 原式  e ln3 abc  3 abc方法2 利用等价无穷小代换求极限 （1）代换原则： a) 乘除关系可以换 若 ~ , ~  , 则 1 1     lim  lim 1  lim  lim 1     1 1 b) 加减关系在一定条件下可以换  若 且 则 ~ , ~  , lim 1  A  1.   ~   . 1 1  1 1 1  若 ~ , ~  , 且 lim 1  A  1. 则   ~   . 1 1 1 1  1（2）常用的等价无穷小：当 x  0 时 x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1  x) ~ e x  1; 1 a x  1 ~ x lna, (1  x)   1 ~ x, 1  cos x ~ x 2 2 1 1 1 x  sin x ~ x 3 tan x  x ~ x 3 x  ln(1  x) ~ x 2 6 3 2 1 1 arcsin x  x ~ x 3 x  arctan x ~ x 3 6 3【例21】(2016,数三）已知函数 满足 f (x) 1  f (x)sin 2x  1 lim  2, 则 lim f (x)  _________ . x0 e 3x  1 x0 1  f (x)sin 2x  1 【解】由 lim  2 及 lim(e 3x  1)  0 知， x0 e 3x  1 x0 lim f (x)sin 2x  0 x0 1 f (x)sin 2x 1  f (x)sin 2x  1 则 2 lim  lim x0 e 3x  1 x0 3x 1 f (x) 2x 1 2  lim  lim f (x)  2 x0 3x 3 x0 故 lim f (x)  6. x0ln(cos x) 【例22】(2015,数一） lim  ___________ . 2 x0 x ln[1  (cos x  1)] 【解1】原式  lim 2 x0 x cos x  1  lim 2 x0 x 1  x 2 1 2  lim   （等价无穷小代换) 2 x0 x 2 sin x  1 tan x 1 cos x 【解2】原式  lim   lim   x0 2x 2 x0 x 2 1 1 (cos x  1)  x 2 ln cos x  ln1  1 2 【解3】原式  lim  lim  lim   2 2 2 x0 x x0 x x0 x 2e  e cos x 【例23】(2009,数三） lim  ________ . x0 3 1  x 2  1 e cos x (e 1cos x  1) 【解1】原式  lim 1 x0 2 x 3 1 2 x 1  cos x 3e 2  e lim  e lim  1 1 x0 x0 2 x 2 x 2 3 3 1 2 x e 1  e cosx e  (1  cos x) 3e 【解2】原式 2  lim  3lim  3e lim  x0 1 x0 x 2 x0 x 2 2 2 x 3 e  e cosx e cosx sin x 3e 【解3】原式  lim  lim  x0 1 x0 2 2 2 x x 3 3 x  1  2  cos x  【例24】(2006,数二）求极限 lim    1 3 x0 x   3     2cos x   1 xln  【解1】原式  lim e  3   1 3 x0 x      2  cos x  x ln   3  （等价无穷小代换)  lim 3 x0 x  cos x  1 ln1    3   lim 2 x0 x cos x  1  lim （等价无穷小代换） 2 x0 3x 1  x 2 1 2  lim   2 x0 3x 6 x  1  2  cos x  【例24】(2006,数二）求极限 lim    1 3 x0 x   3    x  1  cos x  1 【解2】原式  lim 1    1 3 x0 x   3   x(cos x  1) 3  lim 3 x0 x 【注】当 x  0 时， (1  x)   1 ~x. 这个结论推广可得: 若 (x)  0,(x)(x)  0, 则 ( 1   ( x)) (x)  1 ~ (x)(x)arcsin x  sin x 【例25】求极限 1 lim . [ ] 2 x0 arctan x  tan x方法3 利用有理运算法则求极限 有理运算法则 若 lim f (x)  A, lim g(x)  B, 那么:   lim f (x)  g(x)  lim f ( x)  lim g( x)   lim f (x) g(x)  lim f (x) lim g(x)  f ( x)  lim f ( x) lim   (B  0)  g( x)  lim g( x) 【注】1）存在  不存在  不存在； 2）不存在  不存在  不一定. 3）存在   不存在 不一定；  4）不存在 不存在 不一定. 常用的结论：1） lim f (x)  A  0  lim f (x)g(x)  Alim g(x); 即：极限非零的因子的极限可先求出来. f (x) 2） 存 在， lim lim g( x)  0  lim f ( x)  0; g(x) f (x) 3) lim  A  0,lim f (x)  0  lim g(x)  0; g(x) 1  1   【例26】(2010,数三)若 lim    a e x  1 ，则 a 等于（ ）   x0 x  x   （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【解】 应选 (C)  1  1    1  e x  1  lim    ae x  lim  a lim e x     x0 x  x   x0 x  x0  1  a 则 a  2 故应选 (C).1 【例27】(2018,数三）已知实数 a,b 满足 lim [(ax  b)e x  x]  2, x 求 a,b. 1 1 【解】 2  lim be x  lim (axe x  x) x x 1  b  lim x(ae x  1) x 1  b  lim x(e x  1) (a  1) x 1  b  lim x  x x  b  1 故 a  b  1.sin x 【例28】(2004,数三)若极限 ，则 lim (cos x  b)  5 x0 e x  a a  ___, b  ___ . sin x sin x(cos x  b) 【解】由于 lim (cos x  b)  lim  5  0 x0 e x  a x0 e x  a 且 lim sin x(cos x  b)  0, x0 lim(e x  a)  0, 即 a  1. x0 sin x sin x lim (cos x  b)  lim (cos x  b) x0 e x  a x0 e x  1 x  lim (cos x  b)  1  b x0 x 由 得， 1  b  5 b  4.4x 2  x  1  x  1 【例29】(1997,数二)求极限 lim x x 2  sin x 1 1 1 (x)[ 4    1  ] 2 x x x 【解1】原式 = lim x sin x (x) 1  2 x 1 1 1 4    1  2 x x x  lim  1 x sin x 1  2 x 4x 2  x  1 x 1 【解2】原式 = lim  lim  lim x x 2  sin x x x 2  sin x x x 2  sin x  2  1  0  1