(93)--笔记小节_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高数基础班（2） 2 函数极限概念，极限的性质，极限存在准则，无穷小及无穷大 P11-P22 主讲 武忠祥 教授2. 函数的极限 1)自变量趋于无穷大时函数的极限 定义2 lim f ( x)  A x   0, X  0 ,当 x  X 时，恒有 | f ( x)  A | . lim f ( x)  A x   0, X  0 ,当 x   X 时，恒有 | f ( x)  A | . lim f ( x)  A x   0, X  0 ,当 | x | X 时，恒有 | f ( x)  A | . 定理1 lim f ( x)  A  lim f ( x)  lim f ( x)  A x x x2)自变量趋于有限值时函数的极限 定义5 lim f (x)  A xx 0   0,   0 ,当 0 | x  x |  时, 恒有 | f ( x)  A | . 0 【注】 (1） 与  的作用,  的任意性; (2) 几何意义; (3） x  x ,但 x  x . y 0 0 y  f (x) A  A A    o x  x x  x 0 0 0左极限：  lim f ( x)  f (x )  f (x  0) 0 0  xx 0 右极限： lim f ( x)  f (x  )  f (x  0)  0 0 xx 0 定理2 lim f (x)  A  lim f (x)  lim f (x)  A xx xx  xx  0 0 0需要分左、右极限求极限的问题主要有三种： （1）分段函数在分界点处的极限 (在该分界点两侧 函数表达式不同) 1 （2）  型极限 （如 x x e lim e x , lim e , lime ) x0 x x 1 （3） arctan 型极限 （如 lim arctan , limarctan x) x0 x xx 2  1 1 【例3】(1992年1,2,3)当 x  1 时，函数 e x1 x  1 的极限（ ） （A）等于2 （B）等于0 （C）为  （D）不存在但不为  【解】应选 (D) 本题中出现  ，所以要分左、右极限 e x 2  1 1 x  1 1 lim ex1  lim ex1  2 0  0 x1  x  1 x1  1 x 2  1 1 x  1 1 lim ex1  lim ex1   x1  x  1 x1  1 x 2  1 1 所以， lim ex1 不存在，但不是 , 应选 (D). x1 x  1 1  1 【例4】(2021年3) 已知 lim  a arctan  (1  x )x  存在，求 a 的值. e1e a x0 x   【解】（二）极限性质 1）有界性   1) (数列) 如果数列 收敛，那么数列   一定有界. x x n n 2）(函数）若 存在，则 在 某去心邻域 lim f (x) f (x) x 0 xx 0 有界(即局部有界).2）保号性 1)(数列) 设 lim x  A n n （1）如果 A  0 （或 A  0 ），则存在 N  0, 当 n  N 时， x  0 （或 x  0 ）； n n （2）如果存在 N  0, 当 n  N 时， x  0 （或 x  0 则 A  0 （或 A  0), n n 2)(函数）设 lim f ( x)  A xx 0  （1) 如果 A  0 （或 A  0), 则存在   0 ,当 x U(x ,) 0 时， f (x)  0 （或 f (x)  0 ）.  （2）如果存在   0, 当 x U(x ,) 时, f (x)  0 0 （或 f (x)  0 ）, 那么 A  0（或 A  0).f (x)  f (a) 【例5】(1995年3)设 lim  1 ，则在点 x  a 处（ ） xa (x  a) 2 （A） f (x) 的导数存在，且 f  (a)  0 （B） f (x) 取得极大值 （C） 取得极小值 (D) 的导数不存在. f (x) f (x) 【解1】直接法 应选 (B) f (x)  f (a) 由 及极限的保号性可知，在点 x  a lim  1  0 xa (x  a) 2 f (x)  f (a)  0 (x  a) 2 即 f ( x )  f (a)  0f (x)  f (a) 【例5】(1995年3)设 lim  1 ，则在点 x  a 处（ ） xa (x  a) 2 （A） f (x) 的导数存在，且 f  (a)  0 （B） f (x) 取得极大值 （C） f (x) 取得极小值 (D) f (x) 的导数不存在. 【解2】排除法 应选 (B) 令 f (x)  (x  a) 2,显然 f (x) 符合题设条件，但在点 x  a 处, f (x) 可导,且 f  (a)  0, 并取得极大值, 则选项(A)(C)(D)都不正确, 故应选 (B).3）极限值与无穷小之间的关系; 其中 lim f ( x)  A  f ( x)  A ( x) lim(x)  0. （三）极限存在准则 1）夹逼准则 若存在 当 时， N, n  N x  y  z , n n n lim x  lim z  a, 则 lim y  a. n n n n n n 2）单调有界准则 单调有界数列必有极限. 单调增、有上界的数列必有极限； 单调减、有下界的数列必有极限； n n n  【例6】求极限 lim     .   nn 2  1 n 2  2 n 2  n 【解】由于 n 2  n n n  n 2         n 2  n n 2  1 n 2  2 n 2  n n 2  1 2 2 n n 又 lim  lim  1 n n 2  n n n 2  1  n n n  由夹逼原理知 lim      1.   nn 2  1 n 2  2 n 2  n1 【例7】求极限 lim x[ ].  x x0 1 1 1 【解】由于  1  [ ]  x x x 上式两端同乘以 x 得 1 1  x  x[ ]  1 x 1 由夹逼原理知 lim x[ ]  1 x0  xn 2 【例8】求极限 lim . n n! 【解1】由于 2 n 2 2 2   2 4 0    n! 1 2 3   n n 4 又 lim  0, n n n 2 由夹逼原理知 lim  0 n n!n 2 【例8】求极限 lim . n n! n 2 2 【解2】令 x  , 则 x  x  n n! n1 n n  1 x 2 n1   1 x n  1 n n 2 则数列  x  单调减，又 x   0, 即  x  下有界,由单 n n n! n   调有界准则知数列 x 收 敛 ， 设 l im x  a, n n n 2 等式 x  x  两端取极限得 a  a  0 n1 n n  1 则 a  0.（四）无穷小量 1）无穷小量的概念 若函数 f (x) 当 x  x （或 x   ）时的 0 极限为零，则称 f (x) 为 x  x （或 x   ）时的无穷小量. 0 设 2) 无穷小的比较 ( x)  0, ( x)  0 ( x) （1）高阶： 若 lim  0 ； 记为 ( x)  (( x)); ( x) ( x) （2）低阶： 若 lim  ; ( x) (x) （3）同阶：若 lim  C  0; (x) (x) （4）等价：若 ；记为 lim  1 ( x) ~ ( x); (x) (x) （5）无穷小的阶: 若 ，称 是 lim  C  0 ( x) [(x)] k 的 阶无穷小. ( x) k 【例9】(2013年2）设 cos x  1  x sin(x), 其中 (x)  , 2 则当 x  0 时，(x) 是( ) （A）比 高阶的无穷小量； （B）比 低阶的无穷小量； x x （C）与 同阶但不等价的无穷小量； （D）与 等价的无穷小量. x x 【解】由于 cos x  1  x sin(x), 则 1  x 2 sin(x) cos x  1 1 2 lim  lim  lim   2 2 x0 x x0 x x0 x 2  lim sin(x)  0, 又 (x)  , 则 lim(x)  0, 2 x0 x0 (x) sin(x) 1 lim  lim   x0 x x0 x 23) 无穷小的性质 （1）有限个无穷小的和仍是无穷小. （2）有限个无穷小的积仍是无穷小. （3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.（五）无穷大量 1）无穷大量的概念 若函数 f (x) 当 x  x （或 x   ）时趋 0 向于无穷，则称 f (x) 为 x  x （或 x   ）时的无穷大量. 0 即：若对任意给定的 ,总存在 ,当 M  0   0 0 | x  x |  时，恒有 | f (x) | M . 02）常用的一些无穷大量的比较 （1）当 时 x   ln  x  x   a x 其中  0, 0,a  1. （2）当 n   时 ln  n  n   a n  n! n n 其中  0, 0,a  1. x 【例10】（2010年3）设 f (x)  ln 10 x, g(x)  x, h(x)  e10 则当 充分大时，有（ ). x （A） g(x)  h(x)  f (x) （B） h(x)  g(x)  f (x) （C） f (x)  g(x)  h(x) （D） g(x)  f (x)  h(x)3）无穷大量的性质 （1）两个无穷大量的积仍为无穷大量； （2）无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量.4）无穷大量与无界变量的关系：   1)数列 是无穷大量： x n 当 时，恒有 M  0,N  0, n  N x  M . n   2)数列 是无界变量： x n 使 M  0,N  0, x  M . N 无穷大量  无界变量 为奇数， n, n 【例11】数列 是无界变量但不是无穷大量. x   n ， 为偶数 0 n .【例12】（1991年5）设数列的通项为 n 2  n 若 为奇数 , n ,  n x   则当 n 时， x 是（ ） n 1 n  若 为偶数 , n , n (A)无穷大量 （B）无穷小量 (C)有界变量 （D）无界变量 【解】应选（D） n 2  n 1 当 为奇数时 n x   n  n n n 1 lim x  lim(n  )   n n n n 1 1 当 n 为偶数时 x  lim x  lim  0 n n n n n n5）无穷大量与无穷小量的关系 1 在同一极限过程中, 如果 是无穷大, 则 f ( x) f (x) 是无穷小；反之, 如果 f ( x)是无穷小, 且 f (x)  0, 则 1 是无穷大； f (x) 1 【例13】 f (x)  0, 是 x  x 时的无穷小量，但 无意义. 0 f (x)