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高数基础班（20）
20 常数项级数（定义、性质、敛散性的判别法及举例） P223-P232
主讲 武忠祥 教授第十章 无 穷 级 数
（数二不要求）
第一节 常数项级数
第二节 幂 级 数
第三节 傅里叶级数
（数三不要求）第一节 常数项级数
本节内容要点
一. 考试内容概要
(一）级数的概念与性质
（二）级数的审敛准则
二. 常考题型与典型例题
常数项级数敛散性的判定考试内容概要
(一）概念与性质
1. 级数的概念

 u  u  u    u   无穷级数
n 1 2 n
n1
n

s  u 部分和
n i
i1


u  lim s
n n
n
n1【例1】判定下列级数敛散性
 
1
（1）  ln(1  ); （2）  aq n (a  0).
n
n1 n0
1 1 1
【解】（1） s  ln(1  )  ln(1  )    ln(1  )
n
1 2 n
3 n  1
 ln 2  ln    ln
2 n
3 n  1
 ln(2    )  ln(n  1)
2 n
由于 lim s  lim ln(n  1)  
n
n n

1

则级数 ln(1  ) 发散.
n
n1（2） s  a  aq  aq 2    aq n1
n
a(1  q n )
 , q  1,

 1  q

 na, q  1.
lim s
n
n2. 级数的性质
 
1）若  u 收敛于 s, 则  ku 也收敛，且其和为
ks.
n n
n1 n1
  
2）若  u 和  v 分别收敛于 s,. 则  (u  v )
n n n n
n1 n1 n1
收敛于 s .
【注】 收敛±发散=发散； 发散±发散=不确定3) 在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性.
4) 收敛级数加括号仍收敛且和不变.
【注】1）加括号收敛  原级数收敛；

2）加括号发散  原级数发散；
5)(级数收敛必要条件）

 u 收敛   l im u  0
n n
n
n1（二）级数的审敛准则


(1)正项级数 ( u , u  0)
n n
n1


基本定理： u 收敛  s 上有界
n n
n1
1)比较判别法：设 u  v , 则
n n
 
 v 收敛   u 收敛
n n
n1 n1



u 发散   v 发散
n
n
n1
n1u
2)比较法极限形式：设
lim n  l (0  l  )
n v
 n 
①若 0  l  , 则  u 与  v 同敛散.
n n
n1 n1
 
 
②若 ,则  v 收敛  收敛,  u 发散  发散.
l  0  u  v
n n
n n
n1
n1
n1
n1
   
③若 l   ,则  v 发散  u 发散.  u 收敛   v 收敛,
n n n n
n1 n1 n1 n1
两个常用级数

1

1) p  1 时收敛，当 p  1 时发散;
p
n
n1

2)  aq n (a  0,q  0) q  1 时收敛，当 q  1 时发散.
n1
收敛,   1,
u 
3)比值法: 设 lim n1   ,则  u 
n 发散,   1,
n u
n1

n

不一定,   1,

收敛,   1,

4)根值法: 设 limn u   ,则  u 
发散,   1,
n n
n
n1 

不一定,   1,5)积分判别法: 设 是 上单调减,非负的连续函数，且
f ( x) [1,) a  f (n)
n


则  a 与  f ( x)dx 同敛散.
n
1
n1

1
【例2】证明级数  当 p  1 时收敛，当 p  1 时发散.
p
n
n1

1
【例3】判定级数  的敛散性.
nln n
n2
(2)交错级数 (  (1) n1 u ,u  0)
n n
n1
莱不尼兹准则: 若 (1) u 单调减; (2) lim u  0
n n
n

则  (1) n1 u 收敛.
n
n1

【注】  (1) n1 u 收敛.    u 单调减且 lim u  0
n n n
n
n1
 (1) n1 1
【例】  收敛，但 u  并不递减.
n(1) n n n(1) n
2 2
n1(3)任意项级数
1)绝对收敛与条件收敛概念
  
(1) 若  a 收敛，则  a 必收敛，此时称  a 绝对收敛
n n n
n1 n1 n1
  
（2）若  收敛， 发散，则称  条件收敛
a a a
n n n
n1 n1 n1
2)绝对收敛和条件收敛的基本结论
 
①绝对收敛的级数一定收敛,即  | u | 收敛   u 收敛.
n n
n1 n1
②条件收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级
数一定发散.即:
  u 条件收敛    u n  | u n | 和   u n  | u n | 发散.
n
2
2
n1 n1
n1常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
【解2】排除法
常数项级数敛散性判定
【例4】(2015年3）下列级数中发散的是( )
 
n 1 1
（A）  . （B）  ln(1  ).
n
3 n n
n1 n1
 (1) n  1  n!

（C） . （D） 
.
ln n n n
n2
n1
【解1】直接法 
【例5】(2013年3）设 为正项数列,下列选项正确的是( )
a
n

（A）若 a  a , 则  (1) n1 a 收敛；
n n1 n
n1

（B）若  (1) n1 a 收敛,则 a  a ;
n n n1
n1

（C）若  a 收敛,则存在常数 p  1, 使 lim n p a 存在；
n n
n
n1

（D）若存在常数 p  1, 使 lim n p a 存在, 则  a 收敛 .
n n
n
n1
【解1】直接法
【解2】排除法【例4】(09年1）设有两个数列 {a },{b }, 若 lim a  0, 则（ ）
n n n
n
 
（A）当  收敛时， 收敛.
b a b
n n n
n1 n1
 
（B）当  发散时， 发散.
b a b
n n n
n1 n1
 
（C）当  b 收敛时，  a 2 b 2 收敛;
n n n
n1 n1
 
（D）当  b 发散时， a 2 b 2 发散.
n n n
n1 n1
【解1】直接法
【解2】排除法【例5】(2011年3）设 是数列，则下列命题正确的是( )
{u }
n
 
 
（A）若 u 收敛，则 (u  u ) 收敛.
n 2n1 2n
n1 n1
 
（B）若  (u  u ) 收敛，则  u 收敛.
2n1 2n n
n1 n1
 
（C）若  u 收敛，则  (u  u ) 收敛.
n 2n1 2n
n1 n1
 
 
（D）若 (u  u ) 收敛，则 u 收敛.
2n1 2n n
n1 n1
【解1】直接法
【解2】排除法【例1】(2019年1) 设 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
u
n
 u  1
A.  n . B.  (1) n .
n u
n1 n1 n
 
u
C.  (1  n ). D.  (u 2  u 2 ).
n1 n
u
n1 n1 n1
【解1】直接法 选 D
S  u 2  u 2
n n1 1
1
【解2】排除法 u  1  排除A B.
n
n
1 u 1
u   1  n  排除 C.
n
n u n
n1 
v
【例2】(2019年3) 若  nu 绝对收敛， n 条件收敛，则
n
n
n1 n1


A.  u v 条件收敛 B.  u v 绝对收敛
n n
n n
n1
n1
 
C.  (u  v ) 收敛 D.  (u  v ) 发散
n n n n
n1 n1
【解1】直接法 选 B
v
u v  nu  n
n n n
n
(1) n
【解2】排除法 排除 A C.
u  ,v  (1) n .
n 3 n
n
(1) n (1) n
排除 D.
u  ,v  .
n 3 n
n ln n