(106)--笔记小节_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

高数基础班（15）
15 差分方程；微分方程举例（方程求解；综合题；应用题） P173-PP185
主讲 武忠祥 教授（五）差分方程（仅数三要求）
1.一阶常系数线性齐次差分方程 y  ay  0,
t1 t
通解为 y (t)  C  (a) t ,
c
2.一阶常系数线性非齐次差分方程 y  ay  f (t),
t1 t
通 解 为 y  y (t)  y * .
t c t
1) f (t)  P (t),
m

（1）若 a  1, 令 y  Q (t);
t m
（2）若 a  1, 令 y   tQ (t);
t m
2） f (t)  d t  P (t) (d  0)
m
（1）若 a  d  0, 令 y   d t  Q (t);
t m
（2）若 a  d  0, 令 y   td t  Q (t);
t m【例12】(1997)差分方程 y  y  t2 t 的通解为
_________ .
t1 t
【解】齐次方程通解为 y (t)  C 1 t  C
c
令 y   2 t (at  b)
t
代入原方程得 2 t1 [a(t  1)  b)  2 t (at  b)  t2 t
解得
a  1,b  2,
原方程通解为 y  C  (t  2)2 t
t【例13】(1998）差分方程 2 y  10 y  5t  0 的通解为 ______ .
t1 t
【解】 齐次差分方程为 y  5 y  0
t1 t
其通解为 y (t)  C(5) t .
c

设原方程的特解为 y  at  b
t
代入原方程得 2a(t  1)  2b  10at  10b  5t
即
12at  2a  12b  5t
5 5
比较系数知 a  ,b  
12 72
5  1 
则 
y   t  
t
12  6 
5  1 
原差分方程的通解为 y  C(5) t   t  .
t
12  6 【例14】(2001）某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基
础上再追加2百万元,若以 表示第 年的工资总额（单位：百
W t
t
万元),则 满足的差分方程是
_________ .
W
t
【解】
W  1.2 W  2
t t1【例15】(2017）差分方程 y  2 y  2 t 的通解为 _________ .
t1 t
【解】齐次方程通解为 y (t)  C  2 t
c
令 y   at2 t
t
代入原方程得 a(t  1)2 t1  2at2 t  2 t
1
a  ,
2
1
原方程通解为 y  C2 t  t2 t
t
2常考题型与典型例题
常考题型 (一） 方程求解
(二） 综合题
(三） 应用题(一） 方程求解
【例16】(2014年1）微分方程 xy   y(ln x  ln y)  0 满足条件
y(1)  e 3 的解为 y  ________ .
y y
【解】由 xy   y(ln x  ln y)  0 得, y   ln
x x
y u(ln u  1)
令 代入上式得
u  u  
x x
du dx

u(ln u  1) x
ln ln u  1  ln x  C,
y
即
ln u  1  Cx, ln  1  Cx,
x
y
由 y(1)  e 3 得 C  2, 则 ln  1  2x, y  xe 2x1 .
x【例17】(2012年2）微分方程 ydx  (x  3 y 2 )dy  0 满足条件
y  1 的解为 y  ______ . (y  x)
x1
【解1】
【解2】【例18】(2017年1）微分方程 y   2 y   3 y  0 的通解为
y  __________ . [ex(C cos 2xC sin 2x)]
1 2
【解】【例19】(2017年2）微分方程 y   4 y   8 y  e 2x (1  cos 2x)
的特解可设为 y   （ ）
（A） Ae 2x  e 2x (B cos 2x  C sin 2x),
[C]
（B） Axe 2x  e 2x (Bcos 2x  C sin 2x),
（C） Ae 2x  xe 2x (Bcos 2x  C sin 2x),
（D） Axe 2x  xe 2x (Bcos 2x  C sin 2x),
【解】【例20】(2015年2,3）设函数 y  y(x) 是微分方程 y   y   2 y  0
的解，且在 处取得极值 则 y  y(x)  ________ .
x  0 3,
[2ex e2x]
【解】1 1
【例21】(2015年1）设 y  e 2x  (x  )e x 是二阶常系数非齐
2 3
次线性微分方程 y   ay   by  ce x 的一个特解，则( )
（A） a  3,b  2,c  1. （B） a  3,b  2,c  1.
（C） a  3,b  2,c  1. （D） a  3,b  2,c  1.
1 1
【解】由 y  e 2x  (x  )e x 是方程 y   ay   by  ce x 的一个特
2 3
解可知， y  e 2x , y  e x 是齐次方程的两个线性无关的解，
1 2
y   xe x 是非齐次方程的一个解.
齐次方程的特征方程为 (r  1)(r  2)  0
即 r 2  3r  2  0 则 a  3,b  2
将 y  xe x 代入方程 y   3 y   2 y  ce x
得 c  1. 故应选（A）.【例22】(2009年1）若二阶常系数线性齐次微分方程
y   ay   by  0 的通解为 y  (C  C x)e x，则非齐次方程
1 2
y   ay   by  x 满足条件 y(0)  2, y  (0)  0 的解为 _________.
【解】 由 y   ay   by  0 的通解为 y  (C  C x)e x 知， r  1
1 2
是齐次方程的特征方程的二重根，则齐次方程的特征方程为
(r  1) 2  0, 即 r 2  2r  1  0. 则 a  2,b  1 ，非齐次方程为
y   2 y   y  x
设非齐次方程的特解为 . y   ax  b, 代入方程得 a  1,b  2.
则其通解为 y  (C  C x)e x  x  2
1 2
由 y(0)  2, y  (0)  0 知 C  0,C  1
1 2
故 y  x(1  e x )  2【例23】(2013年1,2）已知 y  e 3x  xe 2x , y  e x  xe 2x ,
1 2
y   xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,
3
则该方程的通解为
y  _____________ .
(y C e3x C ex xe2x)
1 2
【解】(二）综 合 题
【例24】(1994年3）设 y  f (x) 是微分方程 y   y   e sin x  0
的解，且 f  (x )  0 ，则 f (x) 在（ ）.
0
（A） 的某个邻域内单调增加
x
0
（B） x 的某个邻域内单调减少
0
（C） 处取得极小值
x
0
（D） 处取得极大值
x
0
【解】【例25】(2002年2）设 y  y(x) 是二阶常系数微分方程
y   py   qy  e 3x 满足初始条件 y(0)  y  (0)  0 的特解,则当
ln(1  x 2 )
x  0 时,函数 的极限（ ）
y(x)
（A）不存在; （B）等于1; （C）等于2; （D）等于3
【解】由 y   py   qy  e 3x 知 y  (x) 连续且 y  (0)  1
ln(1  x 2 ) x 2
lim  lim
x0 y(x) x0 y(x)
2x 2 2
 lim  lim   2
  
x0 y (x) x0 y (x) y (0)
故应选（C）.【例26】（2018年2,3）设函数 满足
f (x)
f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0),
且 f (0)  2, 则 f (1)  _________ .
【解】由
f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0)
f (x  x)  f (x) (x)
知
 2xf (x) 
x x
f  (x)  2xf (x)
2
f (x)  Ce x
又 f (0)  2, 则 C  2, f (x)  2e x 2 , f (1)  2e.【例27】(1995年4）已知连续函数 满足条件
f (x)
 t 
3x
f (x)   f  dt  e 2x,求 f (x).
0  3
 t 
3x
【解】等式 f (x)   f  dt  e 2x 两端对 x 求导数得
0  3
f  (x)  3 f (x)  2e 2x
f  (x)  3 f (x)  2e 2x .
   
f (x)  e  P(x)dx  Q(x)e  P(x)dx dx  C  e 3x  2e 2x  e 3x dx  C
 
 e 3x 2  e x dx  C  e 3x (C  2e x )  Ce 3x  2e 2x .
由 f (0)  1 ,可得 C  3 ,于是
f (x)  3e 3x  2e 2x .【例28】(2016年3）设函数 连续，且满足
f (x)
x x
 f (x  t)dt   (x  t) f (t)dt  e x  1 ，求 f (x) 的表达式.
0 0
x x
【解】令 u  x  t, 则  f (x  t)dt   f (u)du
0 0
x x x
 f (u)du  x  f (t)dt   t f (t)dt  e x  1
0 0 0
x
两端求导得 f (x)   f (t)dt  e x ，且 f (0)  1.
0
f  (x)  f (x)  e x
x
e
 dx  dx
f (x)  e [  e x e dx  C]  Ce x 
2
1 e x  e x
由 f (0)  1 ,得 C   ,所以 f (x)   .
2 2（三） 应 用 题【例29】(2015年1,3）设函数 在定义域 上的导数大于零.
f (x)
I
若对于任意的 x  I, 曲线 y  f (x) 在点 (x , f (x )) 处的切线
0 0 0
与直线 x  x 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4, 且 f (0)  2,
0
求 的表达式.
f (x)
【解】曲线 y  f (x) 在点 (x , f (x )) 处的切线方程为
0 0
f (x )
y  f (x )  f  (x )(x  x ) ， 令 y  0 得，x  x  0 .
0 0 0 0 f  (x )
0
切线、直线 x  x 及 x 轴所围区域的面积
0
1 f (x )
S  0  f (x )  4
 0
2 f (x )
0
1 f 2 (x ) 1
即 0  4, 记 y  f (x ), 则 y 2  4 y 
0
2 f  (x ) 2
0
8 8
解方程得   x  C 由 y(0)  2 知， C  4, 则 y  .
y 4  x【例30】(2006年3）在 坐标平面上,连续曲线 过点
xOy L M(1,0),
其上任意点 处的切线斜率与直线 的斜率之
P(x, y)(x  0) OP
差等于 ax （常数 a  0 ）.
（I）求 的方程；
L
8
（II）当 与直线 所围成平面图形的面积为
L y  ax
3
时，确定 a 的值.
1
【解】（I）依题意得 y   y  ax ，求得其通解为
x
1  1 
 dx  dx
y  e x   axe x dx  C   ax 2  Cx.
 
 
将 x  1, y  0 代入上式得 C  a ,从而 L 的方程为 y  ax 2  ax
（II） L 与直线 y  ax 的交点坐标为 (0,0) 和 (2,2a)
4
2 2
S(a)   (ax  ax 2  ax)dx   (2ax  ax 2 )dx  a a  2
0 0 3【例31】(2009年2）设非负函数 y  y(x) (x  0) 满足微分方程
xy   y   2  0. 当曲线 y  y( x) 过原点时, 其与直线 x  1 及
y  0 围成的平面区域 D 的面积为2，求 D 绕 y 轴旋转所得
旋转体的体积.
1 2
【解】记 y   p ,则 y   p ,代入微分方程得 p   p  
x x
1  1 
 dx 1   dx  2 
y   p  e x    e x dx  C   x   dx  C   2  C x.
 
1 2 1 1
x  x 
 
1
y  2x  C x 2  C (x  0).
1 2
2
1
由已知 y(0)  0 ,有 lim y  0 ,于是 C  0, y  2x  C x 2
2 1
 2
x0
 1  1
1
由于 2    2x  C x 2 dx  1  C
1 1
0 2  6
所以 C  6 ,故 y  2x  3x 2 .
1故所求体积为
17
1 1
V  2 xy(x)dx  2 (2x 2  3x 3 )dx  .
0 0 6