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高数基础班（12）
12 定积分举例（定积分概念；定积分计算；变上限积分；）反常积分 P131-P149
主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题
常考题型
1.定积分的概念、性质及几何意义
2.定积分计算
3.变上限积分（一）定积分的概念、性质及几何意义
1 2 n
【例1】 lim(     )  _______ .
n n 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2
【解】1 1 1
【例2】(2012年2） lim n(     )  _______ . 
( )
n 1  n 2 2 2  n 2 n 2  n 2 4
【解】1 1 2 n
【例3】(2016年2,3）
lim (sin  2sin    nsin )  _______ .
(sin1cos1)
2
n n n n n
【解】n
k k
【例4】(2017年1,2,3） lim  ln(1  )  _______ . 1
[ ]
2
n n n 4
k1
【解】【例5】(2007年1,2,3）如图，连续函数
y  f (x) 在区间 [3,2], [2,3] 上的图形分
别是直径为1的上、下半圆周，在区间
[2,0], [0,2] 的图形分别是直径为 2的下、
x
上半圆周. 设 F(x)   f (t)d t ,则下列结论正确的是（ ）.【解2】
0
3 5
（A） F(3)   F(2) （B） F(3)  F(2)
4 4
3 5
（C） （D）
F(3)  F(2) F(3)   F(2)
4 4
【解1】【例6】(1997年1,2）设在区间 [a,b] 上 f (x)  0, f  (x)  0,
b
f  (x)  0 .令 S   f (x)d x, S  f (b)(b  a),
1 2
a
1
S  [ f (a)  f (b)](b  a) ，则（ ）.
(B)
3
2
（A） S  S  S （B） S  S  S
2 1 3
1 2 3
（C） S  S  S （D） S  S  S
2 3 1
3 1 2
【解】 
【例7】(2011年1,2,3）设
I   4 lnsin x d x, J   4 lncot x d x,
 0 0
K   4 lncos x d x, 则 的大小关系为（ ）
I, J , K
0
（A） I  J  K （B）I  K  J
（C） J  I  K （D）K  J  I
【解】【例8】(2017年2）设二阶可导函数 满足
f (x)
f (1)  f (1)  1, f (0)  1, 且 f  (x)  0, 则（ ） (B)
1 1
（A）  f (x)dx  0. （B）  f (x)dx  0.
1 1
0 1 0 1
（C）  f (x)dx   f (x)dx. （D）  f (x)dx   f (x)dx.
1 0 1 0
【解1】
【解2】【例9】(1991年1,2）设函数 在 上连续， 内可导，
f (x) [0,1] (0,1)
1
且 3  f ( x)d x  f (0) ,证明在 (0,1) 内存在一点 c,使 f  (c)  0.
2
3
【解】（二）定积分的计算
π

【例10】(2001年2） 2 (x 3  sin 2 x)cos 2 xdx  ______ . ( )
8
π

2
【解】
【例11】(2017年3） (sin 3 x  2  x 2 )dx  ______ . 3
[ ]
 2
【解】1 
【例 12】(2000年,1）  2x  x 2 dx  ______ . ( )
4
0
【解1】
【解2】
【例13】  x sin 2 xdx  ____________ . 2
( )
4
0
【解】xdx
1
【例14】(2005年2）计算
 
.
( )
0 (2  x 2 ) 1  x 2 4
【解】2
【例15】(2010年1）
 x cos x d x  ____________ .
(4)
0
【解】1
【例16】 计算

x arcsin xdx. 
( )
0 8
【解1】
【解2】x sin t 
【例17】(1995年3）设 f (x)   dt, 计算  f (x)dx.
0  t 0
【解1】
【解2】（三）变上限定积分
【例18】设 连续，试求下列函数的导数
f (x)
2
x x
(1)  f (t)dt; (2)  (x  t) f (t)dt;
x
e 0
2
(3)  x cos( x  t) 2 dt (4)  f ( x  t)dt.
1
0
【解】2
x
【例19】(2015年2,3）设函数 f (x) 连续， (x)   xf (t)dt.
0
若 (1)  1, (1)  5, 则 f (1)  _______ .
(2)
【解】d
x
【例20】(1998年1）设 f ( x) 连续, 则  tf ( x 2  t 2 )dt 
dx 0
（A） x f ( x 2 ) （B)  xf ( x 2 )
（C) 2 x f ( x 2 ) （D)  2xf (x 2 )
【解1】
【解2】x 2 , 0  x  1,
【例21】(1993年3）已知 f (x)   设
1, 1  x  2, 【解2】
x
F(x)   f (t)d t (0  x  2) ，则 为（ ）．
F(x)
(D)
1
1 1 1
 x 3 , 0  x  1,  x 3  , 0  x  1,
（Ａ） （B）
 
3 3 3
 x, 1  x  2  x, 1  x  2
1
1 1
 x 3 , 0  x  1,  x 3  , 0  x  1,
（C）  （D）
3 
3 3
 x  1, 1  x  2  x  1, 1  x  2
【解1】x
【例22】(1988年3）设 x  1, 求  (1 | t |)dt.
1
【解】【例23】(2013年2）
sin x, 0  x  ,
x
设函数 f (x)   F(x)   f (t)dt, 则
 2,   x  2, 0
（A） 是函数 的跳跃间断点；
x  F(x)
（B） 是函数 的可去间断点；
x  F(x)
（C） 在 处连续但不可导；
F(x) x 
（D） 在 处可导.
F(x) x 
【解】【例24】(1998年2）确定常数 的值,使
a,b,c
ax  sin x
lim  c （ c  0 ）. 1
(a 1,b0,c  )
x0 x ln(1  t 3 ) 2

d t
b t
【解】x
 x  te t dt
【例25】(2017年2,3）求极限 lim 0 . 2
[ ]
x0  x 3 3
【解1】
【解2】【例26】(2020,数一,数二) 当 x  0  时,下列无穷小量中最高阶的是( )
x x
2
A.  (e t  1)dt B.  ln(1  t 3 )dt
0 0
sin x 1cos x
C.  sin t 2 dt D.  sin 3 tdt
0 0
【解1】【例26】(2020,数一,数二) 当 x  0  时,下列无穷小量中最高阶的是( )
x 2 x
A.  (e t  1)dt B.  ln(1  t 3 )dt
0 0
sin x 1cos x
C.  2 D.  3
sin t dt sin tdt
0 0
f (x)
【解2】 设 f ( x) 和 g( x) 在 x  0 的某邻域内连续,且 lim  1,
x0 g(x)
x x
则  
f (t)dt ~ g(t)dt
0 0【例26】(2020,数一,数二) 当 x  0  时,下列无穷小量中最高阶的是( )
x 2 x
A.  (e t  1)dt B.  ln(1  t 3 )dt
0 0
sin x 1cos x
C.  2 D.  3
sin t dt sin tdt
0 0
【解3】
(x)

f (t)dt
0【例27】(2010,数三）设可导函数 y  y(x) 由方程
xy x d y
 e t 2 d t   x sin t 2 d t 确定，则  ________ . [1]
d x
0 0
x0
【解】第二节 反常积分
本节内容要点
一. 考试内容概要
（一）无穷区间上的反常积分
（二）无界函数的反常积分
二. 常考题型与典型例题
题型一 反常积分的敛散性
题型二 反常积分的计算（一）无穷区间上的反常积分
 t
定义1  f (x)dx  lim  f (x)dx
a t a
b b
定义2  f (x)dx  lim  f (x)dx.
 t t
 0 
定义3  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
  0定理1(比较判别法)
设 f (x), g(x) 在 [a,) 上连续，且 0  f (x)  g(x) ，则


1）
g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛
a
a
 
2） f (x)dx 发散   g(x)dx 发散
a a
定理2( 比较判别法的极限形式)
f (x)
设 f ( x), g( x) 在 [a,) 非负连续，lim   ,则
x g(x)
 
1）当  0 时， f (x)dx 与  g(x)dx 同敛散;
a a
 
2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛;
a a
 
3）当   时， g(x)dx 发散   f (x)dx 发散.
a a
P  1 收敛
 1
常用结论：
 dx  (a  0)
a x P P  1 发散【例1】判别下列反常积分的敛散性
 x  x
（1）  dx. （2）  dx.
1 1  x 2 1 1  x 2
【解1】
【解2】（二）无界函数的反常积分
定义1 设点 a 为函数 f (x) 的瑕点
b b
 f (x)dx  lim  f (x)dx
a ta  t
定义2 设点 为函数 f (x) 的瑕点
b
b t
 f (x)dx  lim  f (x)dx.
a tb  a
定义3 设点 c 为函数 f (x) 的瑕点 (a  c  b)
b c b
 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
a a c定理1 (比较判别法)
设 f (x), g(x) 在 (a,b] 上连续，且 0  f (x)  g(x) ，则
b b
1） g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛；
a a
b b
2） f (x)dx 发散   g(x)dx 发散.
a a
定理2 (比较判别法的极限形式)
f (x)
设 f ( x), g( x) 在 (a,b] 非负连续，lim   ,则
xa
 g(x)
b b
1）当  0 时， f (x)dx 与  g(x)dx 同敛散;
a a
b b
2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛;
a a
b b
3）当   时， g(x)dx 发散   f (x)dx 发散.
a a
1 1 P  1 收敛
b b
常用结论：  dx,  dx 
a (x  a) P a (b  x) P P  1 发散【例2】判别下列反常积分的敛散性
dx
1

0 x  x 2
【解】