笔记小节15_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（15） 15 差分方程；微分方程举例（方程求解；综合题；应用题） P173-PP185 主讲 武忠祥 教授（五）差分方程（仅数三要求） 1.一阶常系数线性齐次差分方程 y  ay  0, t1 t 通解为 y (t)  C  (a) t , c 2.一阶常系数线性非齐次差分方程 y  ay  f (t), t1 t 通 解 为 y  y (t)  y * . t c t 1) f (t)  P (t), m  （1）若 a  1, 令 y  Q (t); t m （2）若 a  1, 令 y   tQ (t); t m 2） f (t)  d t  P (t) (d  0) m （1）若 a  d  0, 令 y   d t  Q (t); t m （2）若 a  d  0, 令 y   td t  Q (t); t m【例12】(1997)差分方程 y  y  t2 t 的通解为 _________ . t1 t 【解】齐次方程通解为 y (t)  C 1 t  C c 令 y   2 t (at  b) t 代入原方程得 2 t1 [a(t  1)  b)  2 t (at  b)  t2 t 解得 a  1,b  2, 原方程通解为 y  C  (t  2)2 t t【例13】(1998）差分方程 2 y  10 y  5t  0 的通解为 ______ . t1 t 【解】 齐次差分方程为 y  5 y  0 t1 t 其通解为 y (t)  C(5) t . c  设原方程的特解为 y  at  b t 代入原方程得 2a(t  1)  2b  10at  10b  5t 即 12at  2a  12b  5t 5 5 比较系数知 a  ,b   12 72 5  1  则  y   t   t 12  6  5  1  原差分方程的通解为 y  C(5) t   t  . t 12  6 【例14】(2001）某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基 础上再追加2百万元,若以 表示第 年的工资总额（单位：百 W t t 万元),则 满足的差分方程是 _________ . W t 【解】 W  1.2 W  2 t t1【例15】(2017）差分方程 y  2 y  2 t 的通解为 _________ . t1 t 【解】齐次方程通解为 y (t)  C  2 t c 令 y   at2 t t 代入原方程得 a(t  1)2 t1  2at2 t  2 t 1 a  , 2 1 原方程通解为 y  C2 t  t2 t t 2常考题型与典型例题 常考题型 (一） 方程求解 (二） 综合题 (三） 应用题(一） 方程求解 【例16】(2014年1）微分方程 xy   y(ln x  ln y)  0 满足条件 y(1)  e 3 的解为 y  ________ . y y 【解】由 xy   y(ln x  ln y)  0 得, y   ln x x y u(ln u  1) 令 代入上式得 u  u   x x du dx  u(ln u  1) x ln ln u  1  ln x  C, y 即 ln u  1  Cx, ln  1  Cx, x y 由 y(1)  e 3 得 C  2, 则 ln  1  2x, y  xe 2x1 . x【例17】(2012年2）微分方程 ydx  (x  3 y 2 )dy  0 满足条件 y  1 的解为 y  ______ . (y  x) x1 【解1】 【解2】【例18】(2017年1）微分方程 y   2 y   3 y  0 的通解为 y  __________ . [ex(C cos 2xC sin 2x)] 1 2 【解】【例19】(2017年2）微分方程 y   4 y   8 y  e 2x (1  cos 2x) 的特解可设为 y   （ ） （A） Ae 2x  e 2x (B cos 2x  C sin 2x), [C] （B） Axe 2x  e 2x (Bcos 2x  C sin 2x), （C） Ae 2x  xe 2x (Bcos 2x  C sin 2x), （D） Axe 2x  xe 2x (Bcos 2x  C sin 2x), 【解】【例20】(2015年2,3）设函数 y  y(x) 是微分方程 y   y   2 y  0 的解，且在 处取得极值 则 y  y(x)  ________ . x  0 3, [2ex e2x] 【解】1 1 【例21】(2015年1）设 y  e 2x  (x  )e x 是二阶常系数非齐 2 3 次线性微分方程 y   ay   by  ce x 的一个特解，则( ) （A） a  3,b  2,c  1. （B） a  3,b  2,c  1. （C） a  3,b  2,c  1. （D） a  3,b  2,c  1. 1 1 【解】由 y  e 2x  (x  )e x 是方程 y   ay   by  ce x 的一个特 2 3 解可知， y  e 2x , y  e x 是齐次方程的两个线性无关的解， 1 2 y   xe x 是非齐次方程的一个解. 齐次方程的特征方程为 (r  1)(r  2)  0 即 r 2  3r  2  0 则 a  3,b  2 将 y  xe x 代入方程 y   3 y   2 y  ce x 得 c  1. 故应选（A）.【例22】(2009年1）若二阶常系数线性齐次微分方程 y   ay   by  0 的通解为 y  (C  C x)e x，则非齐次方程 1 2 y   ay   by  x 满足条件 y(0)  2, y  (0)  0 的解为 _________. 【解】 由 y   ay   by  0 的通解为 y  (C  C x)e x 知， r  1 1 2 是齐次方程的特征方程的二重根，则齐次方程的特征方程为 (r  1) 2  0, 即 r 2  2r  1  0. 则 a  2,b  1 ，非齐次方程为 y   2 y   y  x 设非齐次方程的特解为 . y   ax  b, 代入方程得 a  1,b  2. 则其通解为 y  (C  C x)e x  x  2 1 2 由 y(0)  2, y  (0)  0 知 C  0,C  1 1 2 故 y  x(1  e x )  2【例23】(2013年1,2）已知 y  e 3x  xe 2x , y  e x  xe 2x , 1 2 y   xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解, 3 则该方程的通解为 y  _____________ . (y C e3x C ex xe2x) 1 2 【解】(二）综 合 题 【例24】(1994年3）设 y  f (x) 是微分方程 y   y   e sin x  0 的解，且 f  (x )  0 ，则 f (x) 在（ ）. 0 （A） 的某个邻域内单调增加 x 0 （B） x 的某个邻域内单调减少 0 （C） 处取得极小值 x 0 （D） 处取得极大值 x 0 【解】【例25】(2002年2）设 y  y(x) 是二阶常系数微分方程 y   py   qy  e 3x 满足初始条件 y(0)  y  (0)  0 的特解,则当 ln(1  x 2 ) x  0 时,函数 的极限（ ） y(x) （A）不存在; （B）等于1; （C）等于2; （D）等于3 【解】由 y   py   qy  e 3x 知 y  (x) 连续且 y  (0)  1 ln(1  x 2 ) x 2 lim  lim x0 y(x) x0 y(x) 2x 2 2  lim  lim   2    x0 y (x) x0 y (x) y (0) 故应选（C）.【例26】（2018年2,3）设函数 满足 f (x) f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0), 且 f (0)  2, 则 f (1)  _________ . 【解】由 f (x  x)  f (x)  2xf (x)x (x) (x  0) f (x  x)  f (x) (x) 知  2xf (x)  x x f  (x)  2xf (x) 2 f (x)  Ce x 又 f (0)  2, 则 C  2, f (x)  2e x 2 , f (1)  2e.【例27】(1995年4）已知连续函数 满足条件 f (x)  t  3x f (x)   f  dt  e 2x,求 f (x). 0  3  t  3x 【解】等式 f (x)   f  dt  e 2x 两端对 x 求导数得 0  3 f  (x)  3 f (x)  2e 2x f  (x)  3 f (x)  2e 2x .     f (x)  e  P(x)dx  Q(x)e  P(x)dx dx  C  e 3x  2e 2x  e 3x dx  C    e 3x 2  e x dx  C  e 3x (C  2e x )  Ce 3x  2e 2x . 由 f (0)  1 ,可得 C  3 ,于是 f (x)  3e 3x  2e 2x .【例28】(2016年3）设函数 连续，且满足 f (x) x x  f (x  t)dt   (x  t) f (t)dt  e x  1 ，求 f (x) 的表达式. 0 0 x x 【解】令 u  x  t, 则  f (x  t)dt   f (u)du 0 0 x x x  f (u)du  x  f (t)dt   t f (t)dt  e x  1 0 0 0 x 两端求导得 f (x)   f (t)dt  e x ，且 f (0)  1. 0 f  (x)  f (x)  e x x e  dx  dx f (x)  e [  e x e dx  C]  Ce x  2 1 e x  e x 由 f (0)  1 ,得 C   ,所以 f (x)   . 2 2（三） 应 用 题【例29】(2015年1,3）设函数 在定义域 上的导数大于零. f (x) I 若对于任意的 x  I, 曲线 y  f (x) 在点 (x , f (x )) 处的切线 0 0 0 与直线 x  x 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4, 且 f (0)  2, 0 求 的表达式. f (x) 【解】曲线 y  f (x) 在点 (x , f (x )) 处的切线方程为 0 0 f (x ) y  f (x )  f  (x )(x  x ) ， 令 y  0 得，x  x  0 . 0 0 0 0 f  (x ) 0 切线、直线 x  x 及 x 轴所围区域的面积 0 1 f (x ) S  0  f (x )  4  0 2 f (x ) 0 1 f 2 (x ) 1 即 0  4, 记 y  f (x ), 则 y 2  4 y  0 2 f  (x ) 2 0 8 8 解方程得   x  C 由 y(0)  2 知， C  4, 则 y  . y 4  x【例30】(2006年3）在 坐标平面上,连续曲线 过点 xOy L M(1,0), 其上任意点 处的切线斜率与直线 的斜率之 P(x, y)(x  0) OP 差等于 ax （常数 a  0 ）. （I）求 的方程； L 8 （II）当 与直线 所围成平面图形的面积为 L y  ax 3 时，确定 a 的值. 1 【解】（I）依题意得 y   y  ax ，求得其通解为 x 1  1   dx  dx y  e x   axe x dx  C   ax 2  Cx.     将 x  1, y  0 代入上式得 C  a ,从而 L 的方程为 y  ax 2  ax （II） L 与直线 y  ax 的交点坐标为 (0,0) 和 (2,2a) 4 2 2 S(a)   (ax  ax 2  ax)dx   (2ax  ax 2 )dx  a a  2 0 0 3【例31】(2009年2）设非负函数 y  y(x) (x  0) 满足微分方程 xy   y   2  0. 当曲线 y  y( x) 过原点时, 其与直线 x  1 及 y  0 围成的平面区域 D 的面积为2，求 D 绕 y 轴旋转所得 旋转体的体积. 1 2 【解】记 y   p ,则 y   p ,代入微分方程得 p   p   x x 1  1   dx 1   dx  2  y   p  e x    e x dx  C   x   dx  C   2  C x.   1 2 1 1 x  x    1 y  2x  C x 2  C (x  0). 1 2 2 1 由已知 y(0)  0 ,有 lim y  0 ,于是 C  0, y  2x  C x 2 2 1  2 x0  1  1 1 由于 2    2x  C x 2 dx  1  C 1 1 0 2  6 所以 C  6 ,故 y  2x  3x 2 . 1故所求体积为 17 1 1 V  2 xy(x)dx  2 (2x 2  3x 3 )dx  . 0 0 6