笔记小节20_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（20） 20 常数项级数（定义、性质、敛散性的判别法及举例） P223-P232 主讲 武忠祥 教授第十章 无 穷 级 数 （数二不要求） 第一节 常数项级数 第二节 幂 级 数 第三节 傅里叶级数 （数三不要求）第一节 常数项级数 本节内容要点 一. 考试内容概要 (一）级数的概念与性质 （二）级数的审敛准则 二. 常考题型与典型例题 常数项级数敛散性的判定考试内容概要 (一）概念与性质 1. 级数的概念   u  u  u    u   无穷级数 n 1 2 n n1 n  s  u 部分和 n i i1   u  lim s n n n n1【例1】判定下列级数敛散性   1 （1）  ln(1  ); （2）  aq n (a  0). n n1 n0 1 1 1 【解】（1） s  ln(1  )  ln(1  )    ln(1  ) n 1 2 n 3 n  1  ln 2  ln    ln 2 n 3 n  1  ln(2    )  ln(n  1) 2 n 由于 lim s  lim ln(n  1)   n n n  1  则级数 ln(1  ) 发散. n n1（2） s  a  aq  aq 2    aq n1 n a(1  q n )  , q  1,   1  q   na, q  1. lim s n n2. 级数的性质   1）若  u 收敛于 s, 则  ku 也收敛，且其和为 ks. n n n1 n1    2）若  u 和  v 分别收敛于 s,. 则  (u  v ) n n n n n1 n1 n1 收敛于 s . 【注】 收敛±发散=发散； 发散±发散=不确定3) 在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性. 4) 收敛级数加括号仍收敛且和不变. 【注】1）加括号收敛  原级数收敛；  2）加括号发散  原级数发散； 5)(级数收敛必要条件）   u 收敛   l im u  0 n n n n1（二）级数的审敛准则   (1)正项级数 ( u , u  0) n n n1   基本定理： u 收敛  s 上有界 n n n1 1)比较判别法：设 u  v , 则 n n    v 收敛   u 收敛 n n n1 n1    u 发散   v 发散 n n n1 n1u 2)比较法极限形式：设 lim n  l (0  l  ) n v  n  ①若 0  l  , 则  u 与  v 同敛散. n n n1 n1     ②若 ,则  v 收敛  收敛,  u 发散  发散. l  0  u  v n n n n n1 n1 n1 n1     ③若 l   ,则  v 发散  u 发散.  u 收敛   v 收敛, n n n n n1 n1 n1 n1 两个常用级数  1  1) p  1 时收敛，当 p  1 时发散; p n n1  2)  aq n (a  0,q  0) q  1 时收敛，当 q  1 时发散. n1 收敛,   1, u  3)比值法: 设 lim n1   ,则  u  n 发散,   1, n u n1  n  不一定,   1,  收敛,   1,  4)根值法: 设 limn u   ,则  u  发散,   1, n n n n1   不一定,   1,5)积分判别法: 设 是 上单调减,非负的连续函数，且 f ( x) [1,) a  f (n) n   则  a 与  f ( x)dx 同敛散. n 1 n1  1 【例2】证明级数  当 p  1 时收敛，当 p  1 时发散. p n n1  1 【例3】判定级数  的敛散性. nln n n2 (2)交错级数 (  (1) n1 u ,u  0) n n n1 莱不尼兹准则: 若 (1) u 单调减; (2) lim u  0 n n n  则  (1) n1 u 收敛. n n1  【注】  (1) n1 u 收敛.    u 单调减且 lim u  0 n n n n n1  (1) n1 1 【例】  收敛，但 u  并不递减. n(1) n n n(1) n 2 2 n1(3)任意项级数 1)绝对收敛与条件收敛概念    (1) 若  a 收敛，则  a 必收敛，此时称  a 绝对收敛 n n n n1 n1 n1    （2）若  收敛， 发散，则称  条件收敛 a a a n n n n1 n1 n1 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论   ①绝对收敛的级数一定收敛,即  | u | 收敛   u 收敛. n n n1 n1 ②条件收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级 数一定发散.即:   u 条件收敛    u n  | u n | 和   u n  | u n | 发散. n 2 2 n1 n1 n1常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 【解2】排除法 常数项级数敛散性判定 【例4】(2015年3）下列级数中发散的是( )   n 1 1 （A）  . （B）  ln(1  ). n 3 n n n1 n1  (1) n  1  n!  （C） . （D）  . ln n n n n2 n1 【解1】直接法  【例5】(2013年3）设 为正项数列,下列选项正确的是( ) a n  （A）若 a  a , 则  (1) n1 a 收敛； n n1 n n1  （B）若  (1) n1 a 收敛,则 a  a ; n n n1 n1  （C）若  a 收敛,则存在常数 p  1, 使 lim n p a 存在； n n n n1  （D）若存在常数 p  1, 使 lim n p a 存在, 则  a 收敛 . n n n n1 【解1】直接法 【解2】排除法【例4】(09年1）设有两个数列 {a },{b }, 若 lim a  0, 则（ ） n n n n   （A）当  收敛时， 收敛. b a b n n n n1 n1   （B）当  发散时， 发散. b a b n n n n1 n1   （C）当  b 收敛时，  a 2 b 2 收敛; n n n n1 n1   （D）当  b 发散时， a 2 b 2 发散. n n n n1 n1 【解1】直接法 【解2】排除法【例5】(2011年3）设 是数列，则下列命题正确的是( ) {u } n     （A）若 u 收敛，则 (u  u ) 收敛. n 2n1 2n n1 n1   （B）若  (u  u ) 收敛，则  u 收敛. 2n1 2n n n1 n1   （C）若  u 收敛，则  (u  u ) 收敛. n 2n1 2n n1 n1     （D）若 (u  u ) 收敛，则 u 收敛. 2n1 2n n n1 n1 【解1】直接法 【解2】排除法【例1】(2019年1) 设 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ） u n  u  1 A.  n . B.  (1) n . n u n1 n1 n   u C.  (1  n ). D.  (u 2  u 2 ). n1 n u n1 n1 n1 【解1】直接法 选 D S  u 2  u 2 n n1 1 1 【解2】排除法 u  1  排除A B. n n 1 u 1 u   1  n  排除 C. n n u n n1  v 【例2】(2019年3) 若  nu 绝对收敛， n 条件收敛，则 n n n1 n1   A.  u v 条件收敛 B.  u v 绝对收敛 n n n n n1 n1   C.  (u  v ) 收敛 D.  (u  v ) 发散 n n n n n1 n1 【解1】直接法 选 B v u v  nu  n n n n n (1) n 【解2】排除法 排除 A C. u  ,v  (1) n . n 3 n n (1) n (1) n 排除 D. u  ,v  . n 3 n n ln n