笔记小节14_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（14） 14 微分方程概念，一阶方程，可降阶方程，高阶线性方程， P162-P173 主讲 武忠祥 教授第七章 常微分方程 本章内容要点 一. 考试内容概要 （一）常微分方程的基本概念 （二）一阶微分方程 （三）可降阶的高阶方程（数三不要求） （四）高阶线性微分方程 （五）差分方程（仅数三要求）二. 常考题型与典型例题 题型一 微分方程求解 题型二 综合题 题型三 应用题（一）常微分方程的基本概念 1.微分方程 2.微分方程的阶 3.微分方程的解 4.微分方程的通解 5.微分方程的特解 6.初始条件 7.积分曲线（二）一阶微分方程 1）可分离变量的方程 y   f (x)g( y) y(1  x) 【例1】(2006年1,2）微分方程 y   的通解是 ________. (y Cxex) xdy y 2）齐次方程 ( ) dx x 【例2】(1993年1,2）求微分方程 x 2 y   xy  y 2 满足初始条件 y(1)  1 的特解. y y y 【解】原方程为齐次方程 y   ( ) 2  ，令 u  ，则 x x x xu   u  u 2  u, xu   u 2  2u. du 1 1 u  2  dx [ln u  2  ln u]  ln x  C ,  Cx 2 u 2  2u x 2 1 u y  2x  Cx 2 y 由 y(1)  1 ，得 C  1 ，即得所求的特解为 y  2x 2x   x 2，即 y  y 1  x 23）线性方程 y   P (x) y  Q(x)  p(x)dx   p(x)dx  通解 y  e  Q(x)e dx  C     【例3】(2008年2,4）微分方程 ( y  x 2 e x )dx  xdy  0 的通解是 y  x(Cex) ________.4）伯努利方程（仅数学一要求） y   P(x) y  Q(x) y  ( 1) ( y 1  u) 5）全微分方程（仅数学一要求） P(x, y)dx  Q(x, y)dy  0. P Q a) 判定:  y x b) 解法: 1) 偏积分 2) 凑微分 3) 线积分（三）可降阶方程（数三不要求） 1) y   f (x) dP 2) y   f (x, y  ) ( y   P, y   ) dx 【例4】(2000年1）微分方程 xy   3 y   0 的通解为 C ________ . (y C  2) 1 x2dP 3) y   f ( y, y  ) ( y   P, y   P ) dy 【例5】(2002年1,2）微分方程 满足初始条件 yy   y 2  0 1 y  1, y   的特解是 ________ . (y  x1) x0 x0 2（四）高阶线性微分方程1) 线性微分方程的解的结构 齐次方程 y   p(x) y   q(x) y  0 （1） 非齐次方程 y   p(x) y   q(x) y  f (x) （2） 定理1 如果 y (x) 和 y (x) 是齐次方程（1）的两个线性无关的 1 2 的特解，那么 y  C y (x)  C y (x) 1 1 2 2 就是方程（1）的通解. 定理2 如果 y * 是非齐次方程（2）的一个特解， y (x) 和 y (x) 1 2 是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，则 y  C y (x)  C y (x)  y  (x) 1 1 2 2 是非齐次微分方程（2）的通解.定理3 如果 y * (x) ，y * (x) 是非齐次方程（2）的两个特解，则 1 2 y(x)  y * (x)  y * (x) 2 1 是齐次微分方程（1）的解. 定理4 如果 y * (x) ，y * (x) 分别是方程 1 2 y   p(x) y   q(x) y  f (x) 1 y   p(x) y   q(x) y  f (x) 2 的特解，则 y * (x)  y * (x) 1 2 是方程 y    p ( x ) y   q ( x) y  f (x)  f (x) 的一个特解. 1 22) 常系数齐次线性微分方程 y   py   qy  0 特征方程 r 2  pr  q  0 设 是特征方程两个根 r ,r 1 2 1）不等实根： r  r y  C e r 1 x  C e r 2 x 1 2 1 2 2）相等实根： r  r  r y  e rx (C  C x) 1 2 1 2 3）共轭复根： r  i y  e x (C cosx  C sinx) 1,2 1 21 【例6】(2013年3）微分方程 y   y   y  0 的通解为 1 x (y e2 (C C x)) 4 _________ . 1 2 【解】【例7】(1996年3）微分方程 y   2 y   5 y  0 的通解为 y  __________ . (y ex(C cos2xC sin2x)) 1 2 【解】【例8】(2010年2）3阶常系数线性齐次微分方程 (y Ce2x C cosxC sinx) y   2 y   y   2 y  0 的 通解为 y  ____________ . 1 2 3 【解】3) 常系数非齐次线性微分方程 y   py   qy  f (x) 1. f (x)  e x P (x) 令 y   x k Q (x)e x m m   2. f (x)  e x P (1) (x)cosx  P (2) (x)sinx l n   令 y   x k e x R (1) (x)cosx  R (2) (x)sinx . m  max{l,n} m m【例9】(1995年3）微分方程 y   y  2x 的通解为 y  ________ . (y 2xC cosxC sinx) 1 2 【解】【例10】(2007年1,2）二阶常系数非齐次线性微分方程 y   4 y   3 y  2e 2x 的通解为 y  ___________ . (y Ce3x C ex 2e2x) 1 2 【解】4）欧拉方程 （仅数一要求） x n y (n)  a x n1 y (n1)    a xy   a y  f (x) 1 n1 n 令 x  e t , x k y (k)  D(D  1)(D  k  1) y 2 d y dy 【例11】(2004年1）欧拉方程 x 2  4x  2 y  0(x  0) 2 dx dx 的通解为 y  ______ . C C (y  1  2) x x2 【解】