(96)--笔记小节_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高数基础班（5） 5 无穷小量阶的比较举例；函数连续性及常考题型举例 P47-P60 主讲 武忠祥 教授三、无穷小量阶的比较 【例45】(2005年2）当 x  0 时，( x)  kx 2 与 是等价无穷小, 则 (x)  1  x arcsin x  cos x k  ______ . 1  x arcsin x  cos x 【解1】 1  lim 2 x0 kx 1 1  x arcsin x  cos x  lim (有理化) k x0 x 2 [ 1  x arcsin x  cos x] 1 1  x arcsin x  cos x  lim 2 2k x0 x 1 x arcsin x 1  cos x  [lim  lim ] 2 k x 0 x 2 x0 x 2 1 1 3 3  [1  ]  则 k  . 2k 2 4k 4【例45】(2005年2）当 x  0 时，( x)  kx 2 与 是等价无穷小, 则 (x)  1  x arcsin x  cos x k  ______ . 1  x arcsin x  cos x 【解2】 1  lim 2 x0 kx 1 [1  cos x  x arcsin x] 1 2   lim 2 k x0 x 1  x arcsin x  cos x 【解3】 1  lim 2 x0 kx ( 1  x arcsin x  1)  ( cos x  1)  lim 2 x0 kx【例46】(2001年2) 设当 x  0 时， (1 cos x)ln(1 x 2 ) 是比 x sin x n 高阶的无穷小, 而 x sin x n 是比 (e x 2  1) 高阶的无 穷小, 则 正整数 等于 n （A）1. （B）2. （C）3. （D）4 【解】1 【例47】(2014年2）当 x  0  时，若 ln  (1  2x), (1  cos x) 均是比 x 高阶的无穷小，则  的取值范围是 （A） (2,) （B） (1,2) 1 1 （C） ( ,1) （D） (0, ) 2 2 【解】【例48】（2016年2）设   x(cos x  1),  x ln(1  3 x),  3 x  1  1. 1 2 3 当  时，以上3个无穷小量从低阶到高阶的排序是 x  0 （A） , , . （B） , , . 1 2 3 2 3 1 （C） , , . （D） , , . 2 1 3 3 2 1 【解】【例49】(2023年1,2) 当 x  0 时，函数 f (x)  ax  bx 2  ln(1  x) 2 与 g(x)  e x  cos x 是等价无穷小，则 ab  ________ . f (x) ax  bx 2  ln(1  x) 【解1】由题设知 1  lim  lim 2 x0 g(x) x0 e x  cos x 2 x ax  bx 2  [x  (x 2 )] 2  lim 2 x0 x [1  x 2 (x 2 )] [1  (x 2 )] 2 1 (a  1)x  (b  )x 2 (x 2 ) 2  lim 3 x0 2 x 2 则 a  1,b  2. 故 ab  2.【例49】(2023年1,2) 当 x  0 时，函数 f (x)  ax  bx 2  ln(1  x) 与 g(x)  e x 2  cos x 是等价无穷小，则 ab  ________ . 1 3 【解2】 g(x)  e x 2  cos x  (e x 2  1)  (cos x  1) ～ (x 2 )  ( x 2 )  x 2 2 2 a  1 f (x)  bx 2  [ln(1  x)  x] 1 3 b   2 2第三节 函数的连续性 本节内容要点 一. 考试内容概要 (一）连续性的概念 （二）间断点及其分类 （三）连续性的运算与性质 （四）闭区间上连续函数的性质二. 常考题型与典型例题 题型一 讨论函数连续性及间断点的类型 题型二 有关闭区间上连续函数性质的证明题第三节 函数的连续性 考试内容概要 （一）连续性的概念 定义1 若 lim y  lim[ f (x  x)  f (x )]  0. 0 0 x0 x0 则称 y  f (x) 在点 x 处连续. 0 定义2 若 lim f (x)  f (x ) 则称 y  f (x) 在点 x 处连续. 0 0 xx 0 定义3 若 lim f (x)  f (x ) 则称 y  f (x) 在点 x 处左连续. 0 0  xx 0 若 lim f (x)  f (x ) 则称 y  f (x) 在点 x 处右连续. 0 0  xx 0 定理 f ( x) 连续  f ( x) 左连续且右连续 定义4 区间上的连续1  cos x  , x  0, 【例1】(2017年1,2,3）设函数 f (x)   ax  b, x  0. 在 x  0 处连续，则( ) 1 1 （A）ab  . （B）ab   . 2 2 （C） ab  0. （D） ab  2. 【解】 sin 2x  e 2ax  1  , x  0, 【例2】(1994年3)若 f (x)   x  a, x  0 在 (,) 处连续，则 a  _______ . [2] 【解】x 2  1, | x | C,  【例3】(2008年3)设函数 f (x)   2 ，在 , | x | C  | x | (,) 内连续，则 C  _____ . [1] 【解】（二）间断点及其分类 1. 间断点的定义 定义5 若 在 某去心邻域有定义, 但在 x 处不连 f ( x) x 0 0 续, 则称 x 为 的间断点。 f ( x) 0 2. 间断点的分类 1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点 可去间断点: 左极限 = 右极限 跳跃间断点: 左极限  右极限 2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在 无穷间断点 振荡间断点ln | x | 【例4】(2008年2)设函数 f (x)  sin x ，则 f (x) 有（ ） | x  1 | （A）1个可去间断点，1个跳跃间断点 （B）1个可去间断点，1个无穷间断点 （C）2个跳跃间断点 （ D ） 2 个 无 穷 间 断 点 【解】1 e x1 ln1  x 【例5】(2020年2,3）函数 的第二类间断点的个数为( ) f (x)  (e x  1)(x  2) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解】间断点  1, 0, 1, 2. lim f (x)   x1 1 ln(1  x) 1 lim f (x)   lim   x0 2e x0 e x  1 2e lim f (x)    x1 lim f (x)   x2（三）连续性的运算与性质 定理1 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍 为连续函数； 定理2 连续函数的复合仍为连续函数； 定理3 基本初等函数在其定义域内是连续； 定理4 初等函数在其定义区间内是连续； （四）闭区间上连续函数的性质 定理5（有界性定理） 若 在 上连续, 则 在 上有界。 f ( x) [a,b] f ( x) [a,b]定理6（最值定理） 若 在 上连续, 则 在 上必有最大值和 f ( x) [a,b] f ( x) [a,b] 最小值； 定理7（介值定理） 则对 与 若 f ( x) 在 [a,b] 上连续,且 f (a)  f (b), f (a) 之间任一数C,至少存在一个 (a,b), 使得 f ()  C. 在 上可取 推论：若 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 则 f ( x) [a,b] 到介于它在 上最小值与最大值之间的一切值. [a,b] 定理8（零点定理） 若 f ( x) 在 [a,b]上连续, 且 f (a)  f (b)  0 , 则必  (a,b) 使得 f ()  0.常考题型与典型例题 1。讨论函数的连续性及间断点的类型； 2。有关闭区间上连续函数性质的证明题;  (cos x) 1/ x 2 , x  0, 【例6】(1997年2）已知 f (x)   在 x  0 a, x  0 处连续, 则 a  _____. 【解】1 【例7】(2024年2）函数 f (x)  x (1x)(x2) 的第一类间断点的个数是（ ） （A） （B） （C） （D） 3. 2. 1. 0. 【解】 f (x) 有3个间断点, x  0, x  1, x  2. 1 lim f (x)  lim x (1x)(x2)   x0 x0 则 x  0 为第二类间断点.由于 1 1 lim f (x)  lim x (1x)(x2)  lim[1  (x  1)] (1x)(x2)  e x1 x1 x1 则 x  1 为第一类间断点.由于 1 lim f (x)  lim x (1x)(x2)   2     x2 x2 则 x  2 为第二类间断点，故应选C.1 (x 2  x)(ln x )sin 【例8】函数 x f (x)  x 2  1 的可去间断点的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【解】 f (x) 有三个间断点， x  0, x  1. 1 在 x  0 处， lim f (x)   lim x ln x sin x0 x0 x 1 ln x lim x ln x  lim  lim x  0 （无穷小量） x0 x0 1 x0 1  x x 2 则 lim f (x)  0, x  0 为可去间断点. x0 1 x ln x sin x 在 x  1 处, lim f (x)  lim  0 则 x  1 为可去间断点. x1 x1 x  11 (x 2  x)(ln x )sin 【例8】函数 x f (x)  x 2  1 的可去间断点的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【解】 在 x  1 处, 1 x ln x sin ln x x lim f (x)  lim  sin1lim x1 x1 x  1 x1 x  1 ln[1  (x  1)]  sin1lim x1 x  1 x  1  sin1lim  sin1 则 x  1 为可去间断点. x1 x  11  x 【例9】(2024年3)设函数 f (x)  lim , 则 f (x) （ ） n 1  nx 2n （A）在 x  1, x  1 处都连续. （B）在 x  1 处连续，在 x  1 处不连续. （C）在 x  1, x  1 处都不连续. （D）在 x  1 处不连续，在 x  1 处连续. 1  x 【解】当 x  1 时， f (x)  lim  0 n 1  nx 2n 1  x 当 x  1 时， f (x)  lim  1  x n 1  nx 2n【例10】设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, a  c  d  b .试证对任意的 正数 p,q ,至少存在一个 [c,d] ,使 pf (c)  qf (d )  ( p  q) f () 【解】第一章 函数 极限 连续 题型一 复合函数 函 数 题型二 函数性态 题型一 极限的概念、性质及存在准则 极 题型二 求 极 限 限 题型三 无穷小量阶的比较 题型一 讨论连续性及间断点类型 连 续 题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题