笔记小节13_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（13） 13 反常积分举例（敛散性；计算），定积分应用（几何；物理） P150-P161 主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题 常考题型 1. 反常积分敛散性 2. 反常积分计算（一）反常积分的敛散性 【例3】(2015年2）下列反常积分中收敛的是( )  1  ln x （A）  dx. （B）  dx. 2 x 2 x  x  1 （C）  dx. （D）  dx. x 2 e 2 x ln x 【解】 1 , 1  x  e,  (x  1) 1 【例4】(2013年2）设函数 f (x)   1  , x  e.  x ln 1 x  若反常积分  收敛，则 f (x)dx 1 （B） （A）  2.  2. （D） （C） 0  2.  2  0. 【解】1 1 0 1  1 【例5】(2016年2）反常积分  e xdx,  e xdx 2 2  x 0 x 的敛散性为( ) (A）收敛，收敛. （B）收敛，发散. （C）发散，收敛. （D）发散，发散. 【解】 1 【例6】(2016年1）反常积分  dx 收敛，则( ) 0 x a (1  x) b （A） a  1,b  1. （B） a  1,b  1. （C） a  1,a  b  1. （D） a  1,a  b  1. 【解】（二）反常积分的计算 dx 【例7】(2000年,2）    _______ .  [ ] 2 (x  7) x  2 3 【解1】 【解2】 dx 【例8】(2000年4）计算 I    π    1 e x  e 2x 4e 【解】 ln x 【例9】(2013年,1,3） dx  __________. (ln2) 1 (1 x) 2 【解】第六章 定积分应用 本节内容要点 一. 考试内容概要 （一）几何应用 （二）物理应用 二. 常考题型与典型例题 题型一 几何应用 题型二 物理应用（一）几何应用 1.平面图形的面积 （1）若平面域 由曲线 y  f (x), y  g(x)( f (x)  g(x)), D 所围成，则 x  a, x  b (a  b) b S   [ f (x)  g(x)]dx a （2）若平面域 D 由曲线  (), ,  ( ) 所围成，则 1  S   2 ()d 2 2.旋转体体积 若平面域 D 由曲线 y  f (x), ( f (x)  0), x  a, x  b (a  b) 所围成，则 1）区域 D 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体积为 b V   f 2 (x)d x x a 2）区域 D 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体积为 b V  2 xf (x)d x y a3. 曲线弧长（数三不 要 求 ） b 1) C : y  y(x), a  x  b. s   1  y 2 dx a x  x(t)  2) C :   t  . s   x 2  y 2 dt  y  y(t)   3) C :  (),  . s   2  2 d  4. 旋转体侧面积（数三不要求） b S  2 f (x) 1  f 2 (x)dx a （二）物理应用（数三不要求） 1.压力； 2.变力做功； 3.引力。常考题型与典型例题 常考题型 1.几何应用 2.物理应用（一） 几何应用 【例1】(2014年,3）设 D 是由曲线 xy  1  0 与直线 y  x  0 及 y  2 围成的有界区域，则 D 的面积为 3 _______. ( ln2) 2 【解】【例2】(2013年,2）设封闭曲线 的极坐标方程为 L   r  cos 3(  ), 则 L 所围平面图形的面积是 ________. 6 6 【解1】 【解2】 【例3】(2015年2,3）设 A  0, D 是由曲线段 y  Asin x (0  x  ) 2  及直线 y  0, x  所围成的平面区域， V ,V 分别表示 绕 D 1 2 2 x 轴与 y 轴旋转所成旋转体的体积.若 V  V , 求 A 的值. [V  2 A2,V  2A,A 8 ] 1 2 1 4 2  【解】【例4】(2012年，数二）过点 作曲线 的切线， (0,1) L : y  ln x 切点为 A ，又 与 x 轴交于 B 点，区域 由 与直线 L D L AB 围成.求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. [S  2;V  2 (e2 1)] 3 1 【解1】设切点为 (x , y ), 则切线方程为 y  ln x  (x  x ) 0 0 0 x 0 0 【解2】设过点 (0,1) 的线方程为 y  1  kx 2 1 e S   ln xdx  e 2  2 1 2 2  e V   ln 2 xdx   4 (e 2  1) 1 3 x 【例5】(2011年1,2）曲线 y   tan tdt(0  x  ) 的弧长 0 4 s  ______ . [ln(1 2)] 【解】（二） 物理应用 【例6】(2011年2）一容器的内侧是由图中曲 线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 1 1 x 2  y 2  2 y( y  ) 与 x 2  y 2  1( y  ) 2 2 连接而成. （I）求容器的容积； （II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出， 至少需要做多少功？ （长度单位：m，重力加速度为gm/s2，水的密度 为103kg/m3） 1 1 9 【解】 V  2 2 x 2 d y  2 2 (1  y 2 )d y  . 1 1 4 1 27 2 W  10 3  2 (1  y 2 )(2  y)g d y  10 3  [2 y  y 2 )](2  y)g d y  g 1 1 8 2【例7】(2002年2）某闸门的形状与大小如图 所示，其中 y 轴为对称轴，闸门的上部为 矩形 ,DC=2m,下部由二次抛物线与线段 ABCD 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使 AB 闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受 的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高 h 压强 p  gh 应为多少 h1 h1  y 2  压力 P  p  A 【解】 P  2  g(h  1  y)d y  2g (h  1) y   gh 2 ,   1 1  2  1 1  3 5  1 2 2 P  2  g(h  1  y) y d y  2g (h  1) y2  y2   2 0 3 5   0 2 h 5  1 2  1  4g h  .  . h  2 h    1 2  4  3 15  4 h   3  3 15 