笔记小节23_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（23）
23 三重积分、线面积分的概念、计算方法及举例（曲线积分） P264-P277
主讲 武忠祥 教授第十二章 多元积分学及其应用
第一节 三重积分
第二节 曲线积分
第三节 曲面积分
第四节 多元积分应用
第五节 场论初步第一节 三 重 积 分
n
1. 定义  f (x, y, z)dV  lim  f (  , )v
k, k k k
0
 k1
2. 性质
3. 计算
1) 直角坐标
i) 先一后二;
z (x,y)

f (x, y, z)dv
 d 2
f (x, y, z)dz
z (x,y)
1
 D
xy
ii) 先二后一;
c

f (x, y, z)dv
 2
dz

f (x, y, z)dxdy
c
1
 D
z2) 柱坐标
x  r cos, 0  r  ,

 y  r sin, 0  2,


z  z,    z  .
 
dv rdrd dz
 f ( x, y, z)dv  f (r cos  , r sin  , z)rdrddz
 3) 球坐标
x  r sincos, 0  r  ,

 y  r sinsin, 0 ,

 z  r cos, 0  2.
 2   
dv r sin drd d
 f (x, y, z)dv  f (r sincos,r sinsin,r cos)r 2 sindrdd
 4) 利奇偶性 若积分域  关于 xoy 坐标面对称
 2  f (x, y, z)dV f (x, y,z)  f (x, y, z).

 f (x, y, z)dV  

z0
   0 f (x, y,z)   f (x, y, z).
5)利用变量的对称性常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
三重积分计算【例1】(1988年）设有空间区域  : x 2  y 2  z 2  R 2 , z  0;
1
及 则（ ）
 : x 2  y 2  z 2  R 2 , x  0, y  0, z  0,
2
（A） x d v  4  x d v （B）  y d v  4  y d v
   
1 2 1 2
（C）  z d v  4  z d v （D）  xyz d v  4  xyz d v
   
1 2 1 2
【解】【例2】(2009年）设   {(x, y, z) | x 2  y 2  z 2  1} ，则
4
 z 2 d x d y d z  ________ . [ ]
15

【解1】【例2】(2009年）设   {(x, y, z) | x 2  y 2  z 2  1} ，则
4
 z 2 d x d y d z  ________ . [ ]
15

【解2】【例3】(2015年）设  是由平面 x  y  z  1 与三个坐标
平面成的空间区域，则  (x  2 y  3z)dxdydz  ___________ .

【解1】由变量的对称性知
 xdxdydz   zdxdydz,
 
 2 ydxdydz   2zdxdydz,
 
则  (x  2 y  3z)dxdydz  6  zdxdydz
 
1 1x 1x y
 6  dx  dy  zdz
0 0 0
1 1x
 3  dx  (1  x  y) 2 dy
0 0
1
1
  (1  x) 3 dx 
0 4【解2】由变量的对称性知
 (x  2 y  3z)dxdydz  6  zdxdydz
 
1
 6  dz  zd x d y (先二后一)
0
D
z
1 1
1
 6  z  (1  z) 2 dz 
0 2 4【例4】(1989年）计算三重积分  (x  z)d v ，其中 

是由曲面 z  x 2  y 2 与 z  1  x 2  y 2 所围成的区域.
【解1】由  关于 yOz 坐标面对称， x 是 x 的奇函数,则
 x d v  0.

利用球面坐标计算

2 1
 z d v   d 4 d r cos r 2 sind r
0 0 0


1 1 
4
 2 sin 2   .
2 4 8
0

所以
 (x  z)d v  .
8
【例4】(1989年）计算三重积分  (x  z)d v ，其中 

是由曲面 z  x 2  y 2 与 z  1  x 2  y 2 所围成的区域.
【解2】
【解3】
【解4】第二节 曲 线 积 分
（一）对弧长的线积分（第一类线积分）
n
1. 定义  f (x, y)ds  lim  f ( , )s
i i i
L 0
i1
2.性质  f (x, y)ds   f (x, y )d s （与路径方向无关）
 
L(AB) L(BA)
3.计算方法：
1. 直接法
x  x(t)
1) 若  t  
C : 
 y  y(t)

则
 f (x, y)ds   f (x(t), y(t)) x 2 (t)  y 2 (t)dt
C 
2) 若
C : y  y( x), a  x  b
b
则  f (x, y)ds   f (x, y(x)) 1  y 2 (x)dx
C a3) 若 C : ()  

则  f (x, y)ds   f (()cos,()sin) 2 ()  2 ()d
C 
2. 利用奇偶性
i) 若积分曲线关于 轴对称, 则.
y
 2  f (x, y)ds, f ( x, y)  f (x, y)
 f (x, y)ds   C
x0
C  0, f ( x, y)   f (x, y)
ii)若积分曲线关于 轴对称,则
x
  2  f (x, y)ds, f (x, y)  f (x, y)
 f (x, y)ds   C
y0
C   0, f (x, y)   f (x, y)3.利用对称性
若积分曲线关于直线 y  x 对称,则
 f (x, y)ds  f ( y, x)ds
C C
特别的
 f (x)ds   f ( y)ds
C C
设空间曲线 的方程为：
L
x  x(t), y  y(t), z  z(t) ( t  )
则

 f (x, y, z)ds   f (x(t), y(t), z(t)) x 2 (t)  y 2 (t)  z 2 (t)dt
L (二）对坐标的线积分（第二类线积分）
1. 定义  P(x, y)dx  Q(x, y)dy
L
n

 lim [P( , )x  Q( , )y ]
i i i i i i
0
i1
2. 性质  Pdx  Qdy   Pdx  Qdy
 
L(AB) L(BA)
（与积分路径方向有关）
3. 计算方法 (平面)
x  x(t)
1)直接法 设 L :  , t [,], 则
 y  y(t)

 Pdx  Qdy   [P( x(t), y(t))x  (t)  Q( x(t), y(t)) y  (t)]dt
L  Q P 
2)格林公式  Pdx  Qdy     d
L 
x y

D
3)补线用格林公式
4)利用线积分与路径无关
P Q
i) 判定: （区域 单连通）
 D
y x
ii)计算:
a) 改换路径;
(x ,y )
b) 利用原函数  2 2 Pdx  Qdy  F(x , y )  F(x , y )
2 2 1 1
(x ,y )
1 1
Pdx  Qdy  dF(x, y)
求原函数方法:①偏积分;②凑微分.
4.两类线积分的联系:
 Pdx  Qdy   (P cos Q cos)ds
L L5.计算方法（空间）
1)直接法 设 L : x  x(t), y  y(t), z  z(t), t [,]
 P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz
L

  {P[x(t), y(t), z(t)]x  (t)  Q[x(t), y(t), z(t)]y  (t) 



R[x(t), y(t), z(t)]z (t) dt
2)斯托克斯公式  P(x, y, z)dx  Q(x, y, z)dy  R(x, y, z)dz
L
cos cos cos
  
  dS
x y z

P Q R
 R Q   P R   Q P 
    dydz    dzdx    dxdy
 y z   z x   x y 
常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
曲线积分计算一.第一类曲线积分的计算
【例1】(1989年）设平面曲线 L 为下半圆 y   1  x 2 ,
则曲线积分  (x 2  y 2 )d s  ________ . []
L
【解】【例1】(1989年）设平面曲线 L 为下半圆 y   1  x 2 ,
则曲线积分  x d s  ________ . [0]
L
【解】【例1】(1989年）设平面曲线 L 为下半圆 y   1  x 2 ,
则曲线积分  yd s  ________ . [2]
L
【解】2 2
x y
【例2】(1998年）设 L 为椭圆   1 ，其周长记为 a
4 3
则  (2xy  3x 2  4 y 2 )d s  __________ . [12a]
L
【解】【例3】(2009年）已知曲线 ，则
L : y  x 2 (0  x  2)
 x d s  ____ . [ 13 ]
6
L
【解】二. 第二类曲线积分的计算
【例4】(2004年）设 L 为正向圆周 x 2  y 2  2 在第一象限
中的部分，则曲线积分 x d y  2 y d x  _________ . [ 3 ]
2
L
【解】【例5】(2010年）已知曲线 的方程为 y  1 | x | (x [1,1]),
L
起点是 (1,0) ，终点为
(1,0)
，则曲线积分
 xy d x  x 2 d y  ______ .
L
【解1】
,其中
L  L  L L : y  1  x (1  x  0)
1 2 1
L : y  1  x (0  x  1)
2
 xy d x  x 2 d y
L
1
1
0 0
  [x(1  x)  x 2 ]d x   (2x 2  x)d x 
1 1 6
 xy d x  x 2 d y 
L
2
1
1 1
 [x(1  x)  x 2 ]d x   (x  2x 2 )d x  
0 0 6
 xy d x  x 2 d y  0
L【例5】(2010年）已知曲线 的方程为 y  1 | x | (x [1,1]),
L
起点是 (1,0) ，终点为
(1,0)
，则曲线积分
 xy d x  x 2 d y  ______ .
L
【解2】补线用格林公式【例6】(99年）求 I   (e x sin y  b(x  y))d x  (e x cos y  ax)d y
L
其中 a,b 为正的常数， L 为从点 A(2a,0) 沿曲线 y  2ax  x 2
到点 的弧.
O(0,0)
【解1】 添加从点 O(0,0) 沿 y  0 到点 A(2a,0) 的有向直线段 L
1
I   (e x sin y  b(x  y))d x  (e x cos y  ax)d y
LL
1
  (e x sin y  b(x  y))d x  (e x cos y  ax)d y.
L
1

I   ( b  a ) d  a 2 (b  a),
1
2
D
2a
I   (bx)d x  2a 2 b.
2
0
   
从而 I  I  I  a 2 (b  a)  2a 2 b    2a 2 b  a 3 .
1 2
2  2  2【解2】 I   (e x sin y  b(x  y)d x  (e x cos y  ax)d y
L
  e x sin y d x  e x cos y d y   b(x  y)d x  ax d y.
L L
前一积分与路径无关,所以
(0,0)
 e x sin y d x  e x cos y d y  e x sin y  0.
L (2a,0)
x  a  a cos t,
对后一积分，取得参数方程：

 y  a sin t,
 b(x  y)d x  ax d y
L

  (a 2 bsin t  a 2 bsin t cos t  a 2 bsin 2 t  a 3 cos t  a 3 cos 2 t)d t
0
1 1
 2a 2 b  a 2 b  a 3 ,
2 2【例7】(2008年）计算曲线积分  sin 2x d x  2(x 2  1) yd y
L
其中 L 是曲线 y  sin x 上从点 (0,0) 到点 (,0) 的一段.
【解1】

 sin 2x d x  2(x 2  1) y d y   [sin 2x  2(x 2  1)sin x  cos x]d x
L 0
  
  x 2 dsin 2 x  x 2 sin x  2  x sin 2 x d x
0 0 0


 (2)  sin 2 x d x
2 0
 1  2
 2 2 sin 2 xdx  (2)   
0 2 2 2【解2】取 L 为 x 轴上从点 (,0) 到点 (0,0) 的一段，
1
 sin 2x d x  2(x 2  1) y d y
L
  sin 2x d x  2(x 2  1) y d y   sin 2x d x  2(x 2  1) y d y
LL L
1 1

0  sin x 1
    4 x y d x d y   sin 2x d x   d x  4xy d y  cos 2x
 0 0 2
D 0

 2  x sin 2 x d x
0


 (2)  sin 2 x d x
2 0
 1  2
 2 2 sin 2 xdx  (2)   
0 2 2 2【例8】(2014年）设 L 是柱面 x 2  y 2  1 与平面 y  z  0
的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分
 z d x  y d z  ________ .
L
【解1】直接法 参数方程
x  cos t, y  sin t, z   sin t
2
I   (sin 2 t  sin t cos t)dt
0

1 
 4  2 sin 2 tdt  4   
0 2 2【例8】(2014年）设 L 是柱面 x 2  y 2  1 与平面 y  z  0
的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分
 z d x  y d z  ________ .
L
【解2】 利用斯托克斯公式
 z d x  y d z   (1  0)dydz  (1  0)dzdx  (0  0)dxdy
L

  dzdx


  dzdx
D
zx【例8】(2014年）设 L 是柱面 x 2  y 2  1 与平面 y  z  0
的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分
 z d x  y d z  ________ .
L
【解3】 化为平面线积分
 z d x  y d z   ( ydx  ydy) (C : x 2  y 2  1)
L C
  dxdy （格林公式）
x
2
y
21
 