文档内容
专题 11 垂径定理
考点一 利用垂径定理求值 考点二 利用垂径定理求平行弦问题
考点三 利用垂径定理求同心圆问题 考点四 利用垂径定理求解其他问题
考点五 垂径定理的推论 考点六 垂径定理的实际应用
考点一 利用垂径定理求值
例题：（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图，⊙O的直径
CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，先计算OM= ，根据垂径定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理计算AM，
根据垂径定理，得到AB=2AM，判断选择即可．
【详解】
连接OA，
∵⊙O的直径CD=20， AB⊥CD， OM：OC=3：5，∴AO=OC=10，OM= ，AM=MB，
∴AM= =8，
∴AB=2AM=16，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·三模）已知 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为 ，且
，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】
【分析】
先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第
二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；
【详解】
连接AC，AO，
∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM= AB= ×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= =3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC= cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中，AC= cm．
故选C．
【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关
键．
2．（2022·湖南长沙·一模）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于
________cm．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将OC求出．
【详解】
解：如图，连结OA，则由垂径定理可得：OC⊥AB，且AC=BC= AB=4cm，
在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，
由勾股定理可得OC= =3cm，
故答案为3．
【点睛】
本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．
考点二 利用垂径定理求平行弦问题
例题：（2022·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6
和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________．
【答案】 或 ##7或1
【分析】如图， ， ，过 点作 于 ，交 于 点，连 ，根据
垂径定理得 ，由于 ， ，则 ，根据垂径定理得
，然后利用勾股定理可计算出 ，再进行讨论即可求解．
【详解】解：如图， ， ，
过 点作 于 ，交 于 点，连 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
同理可得 ，
当圆心 在 与 之间时， 与 的距离 ；
当圆心 不在 与 之间时， 与 的距离 ．
故答案为7或1．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，
E， GB =5，EF =4，那么AD =______．
【答案】
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在 OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， △
则EH=FH= EF=2，∵GB=5，
∴OF=OB= ，
在 OHF中，勾股定理，得
△
OH= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
∴AD=OH= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
2．（2022·九年级单元测试）设AB、CD是⊙O的两条弦，AB CD．若⊙O的半径为13，AB=24，
CD=10，则AB与CD之间的距离为___________．
【答案】17或7##7或17
【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
∵AB CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，由垂径定理可知AF= AB= ×24=12，CE= CD= ×10=5，
在Rt CEO中，OE= =12；
△
同理，OF= =5，
故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；
②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；
故答案为：17或7．
【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
考点三 利用垂径定理求同心圆问题
例题：（2022秋·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在
桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底
有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运
用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，
∴AC= ，
∴AB=2AC= .
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
【变式训练】
1．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直
线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，
AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方
程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT OAE中 ，
△
在RT OCE中， ，
△
则
解得：r=134．故答案为：134．
【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于
C，D两点．
(1)求证： ．
(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为
【分析】（1）过O作 于点E，由垂径定理可知E为 和 的中点，则可证得结论；
（2）连接 ，由条件可求得 的长，则可求得 和 的长，在 中，利用勾股定理可求
得 的长，在 中可求得 的长；
【详解】（1）证明：过O作 于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接 ，如图2，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得 ，
在 中，由勾股定理可得
∴ ，即小圆的半径r为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，
注意辅助线的作法．
考点四 利用垂径定理求解其他问题
例题:（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点
、 、 ．
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心 的位置，点 坐标为______；
(2)求圆 半径的长度；
(3)若点 的坐标为 ，请通过计算说明点 与圆 的位置关系．
【答案】(1)作图见解析，(2)
(3)点 在圆 外
【分析】（1）根据垂径定理，连接 ， ，作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线 ，直线 与直
线 的交点即为点 ；
（2）由（1）可得，设直线 与线段 的交点为 ，连接 ，在 中，运用勾股定理即可求得圆
半径的长度；
（3）根据 ， ，求得 ，由圆 半径的长度为 ，可得点 在圆 外．
【详解】（1）解：如图1，连接 ， ，作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线 ，直线 与直线
的交点即为点 ，
则 ．
（2）解：如图2，由（1）可得，设直线 与线段 的交点为 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故圆 半径的长度为 ．（3）解：∵圆心 ， ，
∴ ，
∵圆 半径的长度 ，
又∵ ，
∴点 在圆 外．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握圆的基本概念与性质是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）已知： 的半径为5，点 在直径 上，过点 作 的
弦 ，过点 作直线 的垂线 ，垂足为点 ．
(1)如图1，当 时，求线段 的长；
(2)当点 是线段 的中点时，求 的长；
(3)如果 ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）连接 ，利用垂径定理和勾股定理解答即可；
（2）连接 ，利用垂径定理和线段垂直平分线的性质得到 为等边三角形， 利用等边三角形的性
质和直角三角形的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分∶①当点F在线段 上时，连接 ，设 ，则，证明 得 ，即可求得结论；②当点F在线段 的延长线
上时，连接 ，同理解答即可．
【详解】（1）解：连接 ，如图，
∵ 的半径为5，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
∴ ；
（2）解：连接 ，如图，
∵点F是线段 的中点时，
∴ 经过点圆心O， ， 垂直平分 ，
∴
∵ ，AB是直径，
∴ 是 的垂直平分线， ，
∴ ，
∴ ．
∴ 为等边三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①当点F在线段 上时，连接 ，如图，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，AB是直径，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ (不合题意，舍去)或 ，
∴ ；
②当点F在线段 的延长线上时，连接 ，如图，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，AB是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ （不合题意，舍去）或 ，
综上，如果 ，线段 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性
质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，连接圆的半径、利用勾股定理解答是解决问题的关键．
考点五 垂径定理的推论
例题：（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【详解】
A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设
是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确
性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
【变式训练】
1．（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）下列语句中不正确的有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确
定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B【解析】
【分析】
根据垂径定理及圆的有关概念和对称性对每个语句分别进行判断即可.
【详解】
因为能够完全重合的弧是等弧,故①不正确；
垂直于弦的直径平分弦说法正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；
平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；
半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；
不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，
∴不正确的语句有4个，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆的有关概念及垂径定理，正确理解题意是解题的关键.
2．（2022·黑龙江·大庆市第三十六中学九年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D
进行判断．
【详解】
解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；
C、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；
D、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
考点六 垂径定理的实际应用
例题：（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，
水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作 于D，交圆于C，设圆的半径为r，而
再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】
解：如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作 于D，交圆于C，
则
设圆的半径为r，而解得：
圆柱形容器的截面直径为52cm．
故选D
【点睛】
本题考查的是垂径定理的实际应用，作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 长20厘米，
弓形高 为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
【答案】26
【解析】
【分析】
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
【详解】
解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10cm，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
2．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历
史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且 被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到
水面AB的距离为_______米．
【答案】3
【解析】
【分析】
过O作OD⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD=BD= AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理
求出OD的长即可．
【详解】
解：过O作OD⊥AB于D，连接OA，如图所示：
则AD=BD= AB=4（米），在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD= （米），
即圆心O到水面AB的距离为3米，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
一、选择题
1．（2022秋·九年级统考期中）如图， 的弦 ，M是 的中点，且 ，则 的半径等于
（ ）
A．7 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】连接 ，根据M是 的中点，得到 ，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ 的弦 ，M是 的中点，
∴ ， ，
连接 ，
在 中， ，即： 的半径等于5；
故选C．
【点睛】本题考查垂径定理的逆定理．熟练掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是解题的关键．
2．（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期末）如图，在 中， 是直径，连接 ，若
于点 ，则 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据垂径定理求出 ，根据勾股定理列式求出 ，根据三角形中位线定理求出结果即可．
【详解】解： ， 为 的半径， ，
，
在 中， ，
，即 ，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
是解题的关键．
3．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）已知 的半径为13cm，弦 ， ，
则弦 之间的距离为（ ）
A．7cm B．17cm C．5cm或12cm D．7cm或17cm
【答案】D
【分析】过点O作 于点E，延长交 于点F，连接 ，由 得到 ，利用垂径定理得到 ，利用勾股定理求出 ，再分当 在圆心同侧时，当
在圆心两侧时求出答案．
【详解】解：过点O作 于点E，延长交 于点F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
当 在圆心同侧时，如图，
，
当 时在圆心两侧时，如图，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握圆的垂径定理是解题的关键，解题中注意分类讨论．
4．（2022秋·天津河西·九年级天津市海河中学校考期末）如图， 是 的弦， 于点 ，若
， ，则弦 的长为（ ）A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得 ，根据垂径定理可得
，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据垂径定理求值，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，难度不大．
5．（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，
其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如
图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深 等于1寸，
锯道 长1尺，则圆形木材的半径是（ ）（1尺=10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【答案】B【分析】连接 、 ，由垂径定理得 寸，连接 ，设圆的半径为 寸，再在
中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．
【详解】解：连接 、 ，如图：
由题意得： 为 的中点，
则 、 、 三点共线， ，
（寸 ，
设圆的半径为 寸，则 寸．
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ．
圆材半径为13寸．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是
解题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，在 中，弦 的长为8cm， ，则 的半径
是_______．
【答案】5cm##5厘米
【分析】设 的半径为rcm，则 ，利用垂径定理得到 ，再利用勾股定理得到方程
，解方程即可得到答案．【详解】解：设 的半径为rcm，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径为5cm，
故答案为：5cm．
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
7．（2022秋·广东江门·九年级校考期中）如图，半径为5的圆 中，如果弦 的长为8，那么圆心 到
的距离，即 的长等于_______．
【答案】3
【分析】连接 ，先根据垂径定理可得 ，再利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
则 ，
，弦 的长为8，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．8．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，在 中，半径 过弦 的中点E， ，
，则弦 的长为______．
【答案】
【分析】连接 ，先由垂径定理得 ， ， ，再由勾股定理求出 ，即
可求解；
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵半径 过弦 的中点E，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
9．（2022秋·北京门头沟·九年级校考期末）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧
形．如图，已知某公园石拱桥的跨度 米，拱高 米，那么桥拱所在圆的半径
___________米．【答案】10
【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．
【详解】解：连接 ， ， ，
可得： ， ，
∵ ，拱高 米，
∴ ，
设 ，则 ，
根据题意可得： ，
即 ，
解得： ，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是 米．
故答案为：10
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．
10．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，二次函数 的图象与
x轴交于点 ， ，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为__________．
【答案】
【分析】过点C分别作 于点D， 轴于点E，先根据二次函数 求出A、B两点
的坐标，再进一步求出线段 的长，利用垂径定理与勾股定理求出 的长，即点C的纵坐标，再证明
的长，即点C的横坐标．【详解】解：过点C作 于点D， 轴于点E，连接 ，如图所示，
∵二次函数 的图象与x轴交于点A，B，
∴由 得， ， ，
∴A、B两点的坐标分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴点C的纵坐标为 ，
∵ 轴， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点及垂径定理的应用，掌握点到x轴，y轴的距离的含义是解题的
关键．
三、解答题11．（2022秋·辽宁大连·九年级大连市第九中学统考期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦
交小圆于C，D两点， ．求 的长．
【答案】
【分析】过点 作 ，由垂径定理可知 ， ，故可得出结论．
【详解】证明：过点 作 ，
，
，
又 在 中，
，
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，解题的关键是利用垂径定理求解．
12．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知：如图， ，在射线 上顺次截取
cm， cm，以 为直径作 交射线 于 、 两点．(1)求圆心 到 的距离；
(2)求弦 的长．
【答案】(1)4cm
(2)6cm
【分析】（1）过 点作 于 ，如图，根据含 度的直角三角形三边的关系求出 即可；
（2）连接 ，如图，根据垂径定理得到 ，然后利用勾股定理计算出 即可．
【详解】（1）解：过 点作 于 ，如图，
，
，
，
在 中， ，
，
即圆心 到 的距离为4cm；
（2）解：连接 ，如图，
，
，在 中，
，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形、垂径定理、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、
定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 中两条互相垂直的弦 交于点E．
(1) 于点M， ， 的半径长为 ，求 的长．
(2)点G在 上，且 交 于点F，求证： ．
【答案】(1)OM的长为4
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，由垂径定理和勾股定理可得答案；
（2）连接 ，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
， 过圆心， ，
，由勾股定理得， ，
即 的长为4；
（2）如图，连接AC，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了垂径定理及勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这
条弦，并且平分弦所对的两条弧．
14．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在 中，C，D是直径 上的两点，且
，交 于C、D，点E，G，F，H在 上．
(1)若 ，求 半径；
(2)求证： ；(3)若C，D分别为 的中点，则 成立吗？请说明理由．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)成立，证明见解析
【分析】（1）连接 ，利用勾股定理即可求得；
（2）通过证得 ，得到 ，即可根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
（3）根据含30度角的直角三角形的性质求得 ，同理 ，进一步得到 ，
即可根据圆心角、弧、弦的关系得到 ．
【详解】（1）如图1，连接 ，
设 半径为r，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 半径为5；
（2）如图1，在（1）基础上连接 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（3） 成立，理由如下：
∵C，D分别为 的中点，
∴ ，
∴
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形全等的判断和性质，勾股定理的应用等，作出辅助性
构建直角三角形是解题的关键．
15．（2022春·九年级课时练习）一座桥如图，桥下水面宽度 是20米，高 是4米．
(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
【答案】(1)①抛物线解析式为： ；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过 多少米；
(2)①圆的半径为 米；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过 米．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；
②根据题意得出 时，求出x的值即可；
（2）①构造直角三角形利用 ，求出即可；
②在 中，由题可知， ， ，根据勾股定理知： ，求
出即可．
【详解】（1）解：①设抛物线解析式为： ，
∵桥下水面宽度 是20米，高 是4米，
∴A ，B ，D ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
②∵要使高为3米的船通过，
∴ ，则 ，
解得： ，
∴ 米；
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过 米；
（2）解：①设圆半径r米，圆心为W，∵ ，
∴ ，
解得： ；即圆的半径为 米；
②在 中，由题可知， ， ，
根据勾股定理知： ，
即 ，
所以 ，
此时宽度 米．
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过 米．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、垂径定理以及勾股定理的应用等知识，利用图象上的点得
出解析式是解决问题关键．
