文档内容
专题 11 垂径定理
考点一 利用垂径定理求值 考点二 利用垂径定理求平行弦问题
考点三 利用垂径定理求同心圆问题 考点四 利用垂径定理求解其他问题
考点五 垂径定理的推论 考点六 垂径定理的实际应用
考点一 利用垂径定理求值
例题：（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图，⊙O的直径
CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·三模）已知 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为 ，且
，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2022·湖南长沙·一模）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于
________cm．考点二 利用垂径定理求平行弦问题
例题：（2022·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6
和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，
E， GB =5，EF =4，那么AD =______．
2．（2022·九年级单元测试）设AB、CD是⊙O的两条弦，AB CD．若⊙O的半径为13，AB=24，
CD=10，则AB与CD之间的距离为___________．
考点三 利用垂径定理求同心圆问题
例题：（2022秋·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在
桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底
有水面AB的宽度是（ ）cm.A．6 B． C． D．
【变式训练】
1．（2019秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直
线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，
AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm
2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆 中，大圆的弦 与小圆相交于
C，D两点．
(1)求证： ．
(2)若 ，大圆的半径 ，求小圆的半径r．
考点四 利用垂径定理求解其他问题
例题:（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、 、 ．
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心 的位置，点 坐标为______；
(2)求圆 半径的长度；
(3)若点 的坐标为 ，请通过计算说明点 与圆 的位置关系．
【变式训练】
1．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）已知： 的半径为5，点 在直径 上，过点 作 的
弦 ，过点 作直线 的垂线 ，垂足为点 ．
(1)如图1，当 时，求线段 的长；
(2)当点 是线段 的中点时，求 的长；
(3)如果 ，求线段 的长．
考点五 垂径定理的推论
例题：（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
【变式训练】
1．（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）下列语句中不正确的有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确
定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（2022·黑龙江·大庆市第三十六中学九年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
考点六 垂径定理的实际应用
例题：（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，
水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52
【变式训练】
1．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦 长20厘米，
弓形高 为2厘米，则镜面半径为____________厘米．2．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历
史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且 被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到
水面AB的距离为_______米．
一、选择题
1．（2022秋·九年级统考期中）如图， 的弦 ，M是 的中点，且 ，则 的半径等于
（ ）
A．7 B．4 C．5 D．62．（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期末）如图，在 中， 是直径，连接 ，若
于点 ，则 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）已知 的半径为13cm，弦 ， ，
则弦 之间的距离为（ ）
A．7cm B．17cm C．5cm或12cm D．7cm或17cm
4．（2022秋·天津河西·九年级天津市海河中学校考期末）如图， 是 的弦， 于点 ，若
， ，则弦 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
5．（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，
其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如
图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深 等于1寸，
锯道 长1尺，则圆形木材的半径是（ ）（1尺=10寸）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
二、填空题
6．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，在 中，弦 的长为8cm， ，则 的半径
是_______．7．（2022秋·广东江门·九年级校考期中）如图，半径为5的圆 中，如果弦 的长为8，那么圆心 到
的距离，即 的长等于_______．
8．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，在 中，半径 过弦 的中点E， ，
，则弦 的长为______．
9．（2022秋·北京门头沟·九年级校考期末）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧
形．如图，已知某公园石拱桥的跨度 米，拱高 米，那么桥拱所在圆的半径
___________米．
10．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，平面直角坐标系中，二次函数 的图象与
x轴交于点 ， ，以第一象限内点C为圆心半径为2的圆经过A、B两点，则点C的坐标为__________．三、解答题
11．（2022秋·辽宁大连·九年级大连市第九中学统考期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦
交小圆于C，D两点， ．求 的长．
12．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知：如图， ，在射线 上顺次截取
cm， cm，以 为直径作 交射线 于 、 两点．
(1)求圆心 到 的距离；
(2)求弦 的长．
13．（2022·全国·九年级专题练习）如图， 中两条互相垂直的弦 交于点E．(1) 于点M， ， 的半径长为 ，求 的长．
(2)点G在 上，且 交 于点F，求证： ．
14．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在 中，C，D是直径 上的两点，且
，交 于C、D，点E，G，F，H在 上．
(1)若 ，求 半径；
(2)求证： ；
(3)若C，D分别为 的中点，则 成立吗？请说明理由．
15．（2022春·九年级课时练习）一座桥如图，桥下水面宽度 是20米，高 是4米．
(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
