笔记小节05_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（5）
5 无穷小量阶的比较举例；函数连续性及常考题型举例 P47-P60
主讲 武忠祥 教授三、无穷小量阶的比较
【例45】(2005年2）当 x  0 时，( x)  kx 2 与
是等价无穷小, 则
(x)  1  x arcsin x  cos x k  ______ .
1  x arcsin x  cos x
【解1】
1  lim
2
x0 kx
1 1  x arcsin x  cos x
 lim (有理化)
k x0 x 2 [ 1  x arcsin x  cos x]
1 1  x arcsin x  cos x
 lim
2
2k x0 x
1 x arcsin x 1  cos x
 [lim  lim ]
2 k x 0 x
2
x0 x
2
1 1 3 3
 [1  ]  则 k  .
2k 2 4k 4【例45】(2005年2）当 x  0 时，( x)  kx 2 与
是等价无穷小, 则
(x)  1  x arcsin x  cos x k  ______ .
1  x arcsin x  cos x
【解2】
1  lim
2
x0 kx
1
[1  cos x  x arcsin x]
1 2 
 lim
2
k x0 x
1  x arcsin x  cos x
【解3】 1  lim
2
x0 kx
( 1  x arcsin x  1)  ( cos x  1)
 lim
2
x0 kx【例46】(2001年2) 设当 x  0 时， (1 cos x)ln(1 x 2 ) 是比
x sin x n 高阶的无穷小, 而 x sin x n 是比 (e x 2  1) 高阶的无
穷小, 则 正整数 等于
n
（A）1. （B）2. （C）3. （D）4
【解】1
【例47】(2014年2）当 x  0  时，若 ln  (1  2x), (1  cos x)
均是比 x 高阶的无穷小，则  的取值范围是
（A） (2,) （B） (1,2)
1 1
（C） ( ,1) （D） (0, )
2 2
【解】【例48】（2016年2）设
  x(cos x  1),  x ln(1  3 x),  3 x  1  1.
1 2 3
当  时，以上3个无穷小量从低阶到高阶的排序是
x  0
（A） , , . （B） , , .
1 2 3 2 3 1
（C） , , . （D） , , .
2 1 3 3 2 1
【解】【例49】(2023年1,2) 当
x  0 时，函数 f (x)  ax  bx 2  ln(1  x)
2
与 g(x)  e x  cos x 是等价无穷小，则 ab  ________ .
f (x) ax  bx 2  ln(1  x)
【解1】由题设知 1  lim  lim
2
x0 g(x) x0 e x  cos x
2
x
ax  bx 2  [x  (x 2 )]
2
 lim
2
x0 x
[1  x 2 (x 2 )] [1  (x 2 )]
2
1
(a  1)x  (b  )x 2 (x 2 )
2
 lim
3
x0
2
x
2
则 a  1,b  2. 故 ab  2.【例49】(2023年1,2) 当
x  0 时，函数 f (x)  ax  bx 2  ln(1  x)
与 g(x)  e x 2  cos x 是等价无穷小，则 ab  ________ .
1 3
【解2】 g(x)  e x 2  cos x  (e x 2  1)  (cos x  1) ～ (x 2 )  ( x 2 )  x 2
2 2
a  1
f (x)  bx 2  [ln(1  x)  x]
1 3
b  
2 2第三节 函数的连续性
本节内容要点
一. 考试内容概要
(一）连续性的概念
（二）间断点及其分类
（三）连续性的运算与性质
（四）闭区间上连续函数的性质二. 常考题型与典型例题
题型一 讨论函数连续性及间断点的类型
题型二 有关闭区间上连续函数性质的证明题第三节 函数的连续性
考试内容概要
（一）连续性的概念
定义1 若 lim y  lim[ f (x  x)  f (x )]  0.
0 0
x0 x0
则称 y  f (x) 在点 x 处连续.
0
定义2 若 lim f (x)  f (x ) 则称 y  f (x) 在点 x 处连续.
0 0
xx
0
定义3 若 lim f (x)  f (x ) 则称 y  f (x) 在点 x 处左连续.
0 0

xx
0
若 lim f (x)  f (x ) 则称 y  f (x) 在点 x 处右连续.
0 0

xx
0
定理 f ( x) 连续  f ( x) 左连续且右连续
定义4 区间上的连续1  cos x
 , x  0,
【例1】(2017年1,2,3）设函数 f (x)   ax

b, x  0.
在 x  0 处连续，则( )
1 1
（A）ab  . （B）ab   .
2 2
（C） ab  0. （D） ab  2.
【解】 sin 2x  e 2ax  1

, x  0,
【例2】(1994年3)若
f (x)  
x
  a, x  0
在 (,) 处连续，则 a  _______ .
[2]
【解】x 2  1, | x | C,

【例3】(2008年3)设函数 f (x)   2 ，在
, | x | C

| x |
(,) 内连续，则 C  _____ . [1]
【解】（二）间断点及其分类
1. 间断点的定义
定义5 若 在 某去心邻域有定义, 但在 x 处不连
f ( x) x
0
0
续, 则称 x 为 的间断点。
f ( x)
0
2. 间断点的分类
1）第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点
可去间断点: 左极限 = 右极限
跳跃间断点: 左极限  右极限
2）第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在
无穷间断点 振荡间断点ln | x |
【例4】(2008年2)设函数 f (x)  sin x ，则 f (x) 有（ ）
| x  1 |
（A）1个可去间断点，1个跳跃间断点
（B）1个可去间断点，1个无穷间断点
（C）2个跳跃间断点 （ D ） 2 个 无 穷 间 断 点
【解】1
e x1 ln1  x
【例5】(2020年2,3）函数 的第二类间断点的个数为( )
f (x) 
(e x  1)(x  2)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解】间断点  1, 0, 1, 2.
lim f (x)  
x1
1 ln(1  x) 1
lim f (x)   lim  
x0 2e x0 e x  1 2e
lim f (x)  

x1
lim f (x)  
x2（三）连续性的运算与性质
定理1 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍
为连续函数；
定理2 连续函数的复合仍为连续函数；
定理3 基本初等函数在其定义域内是连续；
定理4 初等函数在其定义区间内是连续；
（四）闭区间上连续函数的性质
定理5（有界性定理）
若 在 上连续, 则 在 上有界。
f ( x) [a,b] f ( x) [a,b]定理6（最值定理）
若 在 上连续, 则 在 上必有最大值和
f ( x) [a,b] f ( x) [a,b]
最小值；
定理7（介值定理）
则对 与
若 f ( x) 在 [a,b] 上连续,且 f (a)  f (b), f (a)
之间任一数C,至少存在一个 (a,b), 使得 f ()  C.
在 上可取
推论：若 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 则 f ( x) [a,b]
到介于它在 上最小值与最大值之间的一切值.
[a,b]
定理8（零点定理）
若 f ( x) 在 [a,b]上连续, 且 f (a)  f (b)  0 , 则必  (a,b)
使得
f ()  0.常考题型与典型例题
1。讨论函数的连续性及间断点的类型；
2。有关闭区间上连续函数性质的证明题;
 (cos x) 1/ x 2 , x  0,
【例6】(1997年2）已知 f (x)   在 x  0
a, x  0
处连续, 则
a  _____.
【解】1
【例7】(2024年2）函数 f (x)  x (1x)(x2) 的第一类间断点的个数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 2. 1. 0.
【解】 f (x) 有3个间断点, x  0, x  1, x  2.
1
lim f (x)  lim x (1x)(x2)  
x0 x0
则 x  0 为第二类间断点.由于
1
1
lim f (x)  lim x
(1x)(x2)
 lim[1  (x  1)] (1x)(x2)
 e
x1 x1
x1
则 x  1 为第一类间断点.由于
1
lim f (x)  lim x
(1x)(x2)

 2  
 
x2 x2
则 x  2 为第二类间断点，故应选C.1
(x 2  x)(ln x )sin
【例8】函数 x
f (x) 
x 2  1
的可去间断点的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【解】 f (x) 有三个间断点， x  0, x  1.
1
在 x  0 处， lim f (x)   lim x ln x sin
x0 x0 x
1
ln x
lim x ln x  lim  lim x  0 （无穷小量）
x0 x0 1 x0 1

x x 2
则 lim f (x)  0, x  0 为可去间断点.
x0
1
x ln x sin
x
在 x  1 处, lim f (x)  lim  0 则 x  1 为可去间断点.
x1 x1 x  11
(x 2  x)(ln x )sin
【例8】函数 x
f (x) 
x 2  1
的可去间断点的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【解】
在 x  1 处,
1
x ln x sin
ln x
x
lim f (x)  lim  sin1lim
x1 x1 x  1 x1 x  1
ln[1  (x  1)]
 sin1lim
x1 x  1
x  1
 sin1lim  sin1 则 x  1 为可去间断点.
x1 x  11  x
【例9】(2024年3)设函数 f (x)  lim , 则 f (x) （ ）
n 1  nx 2n
（A）在 x  1, x  1 处都连续.
（B）在 x  1 处连续，在 x  1 处不连续.
（C）在 x  1, x  1 处都不连续.
（D）在 x  1 处不连续，在 x  1 处连续.
1  x
【解】当 x  1 时， f (x)  lim  0
n 1  nx 2n
1  x
当
x  1 时， f (x)  lim  1  x
n 1  nx 2n【例10】设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, a  c  d  b .试证对任意的
正数 p,q ,至少存在一个 [c,d] ,使
pf (c)  qf (d )  ( p  q) f ()
【解】第一章 函数 极限 连续
题型一 复合函数
函
数
题型二 函数性态
题型一 极限的概念、性质及存在准则
极
题型二 求 极 限
限
题型三 无穷小量阶的比较
题型一 讨论连续性及间断点类型
连
续
题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题