笔记小节16_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（16） 16 多元微分学的概念及关系（重极限、连续、偏导数及全微分） P186-P195 主讲 武忠祥 教授第八章 多元函数微分学 第一节 多元函数的基本概念 第二节 多元函数微分法 第三节 多元函数的极值与最值第一节 重极限 连续 偏导数 全微分 本节内容要点 一. 考试内容概要 （一）多元函数的极限 （二）多元函数的连续性 （三）偏导数 （四）全微分 （五）连续、可导、可微的关系二. 常考题型与典型例题 讨论连续性、可导性、可微性考试内容概要 （一）多元函数的极限 lim f ( x, y)  A (x,y)(x ,y ) 0 0 注 1） (x, y)  (x , y ) 是以“任意方式” 0 0 2）（ 1）局部有界性 (2)保号性 (3) 有理运算 （4）极限与无穷小的关系 （5）夹逼性2 xy 【例1】求极限 lim . x0 x 2  y 2 y0xy 【例2】证明极限 不存在. lim x0 x 2  y 2 y0（二）多元函数的连续性 1）连续的概念 lim f (x, y)  f (x , y ) 0 0 (x,y)(x ,y ) 0 0 2）连续函数的性质 性质1 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零） 仍为连续函数； 性质2 多元连续函数的复合函数也是连续函数； 性质3 多元初等函数在其定义区域内连续； 性质4（最大值定理） 有界闭区域 上的连续函数在区域 上必能取得 D D 最大值与最小值。性质5（介值定理） 有界闭区域 上的连续函数在区域 上必能取得介于最大 D D 值与最小值之间的任何值。（三）偏导数 1）偏导数的定义 f (x  x, y )  f (x , y ) d f (x , y )  lim 0 0 0 0  f (x, y ) x 0 0 x0 x dx 0 xx 0 f (x , y  y)  f (x , y ) d f (x , y )  lim 0 0 0 0  f (x , y) y 0 0 y0 y dy 0 yy 0 【例3】（2023年3）已知函数 f (x, y)  ln( y  x sin y ), 则（ ） f f f f A. 不存在， 存在. B. 存在， 不存在. x y x y (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) f f f f C. , 均存在. D. , 均不存在. x y x y (0,1) (0,1) (0,1) (0,1)z 2）二元函数偏导数的几何意义 M 0 T T x y y 0 y O x 0 (x , y ) 0 0 x3）高阶偏导数   z  2 z   z   2 z 定义5     f      f  x  x  x 2 xx y  x  xy xy   z   2 z   z   2 z     f      f  yx yy x  y  yx y  y  y 2 2 z 定理1 如果函数 z  f (x, y) 的两个二阶混合偏导数 xy  2 z 及 在区域 内连续，则 在该区域内 D yx 2 z  2 z  xy yx（四）全微分 定义5 若 z  f (x  x, y  y)  f (x , y ) 0 0 0 0 则称函数 在点 处可微，  Ax  By  o(), z  f (x, y) (x , y ) 0 0 dz  Ax  By 定理2（可微的必要条件）如果 z  f (x, y) 在点 (x , y ) 处可微， 0 0 z z 则在点 处 必定存在，且 (x , y ) , 0 0 x y z z d z  d x  d y x y 用定义判定可微性 a) f (x , y ) 与 f ( x , y ) 是否都存在? x 0 0 y 0 0 z  [ f (x , y )x  f (x y )y] 是否为零? x 0 0 y 0, 0 b) lim (x,y)(0,0) (x) 2  (y) 2z z 定理3（可微的充分条件）如果 的偏导数 z  f (x, y) , x y 在点 (x , y ) 处连续,则函数 z  f (x, y) 在点 (x , y ) 处可微. 0 0 0 0（五）连续、可偏导及可微之间的关系 一元函数 多元函数 连续 可导 可偏导 连续 可微 可微 偏导数连续常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 连续、偏导数、全微分的概念及其之间的关系  xy  , (x, y)  (0,0), 【例4】(1997年1）二元函数 f (x, y)   x 2  y 2  0, (x, y)  (0,0) 在点 处（ ） (0,0) （A）连续、偏导数存在 （B）连续、偏导数不存在 （C）不连续、偏导数存在 （D）不连续、偏导数不存在【例5】(1994年，1,2）二元函数 f (x, y) 在点 (x , y ) 处两个偏 0 0 导数 f  (x , y ), f  (x , y ) 存在，是 f ( x, y) 在该点连续的（ ） 0 0 0 y 0 0 （A）充分而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件【例6】(2012年，3）设连续函数 z  f (x, y) 满足 f (x, y)  2x  y  2 lim  0 ，则 dz  . x0 x 2  ( y  1) 2 (0,1) y1 f (x, y)  2x  y  2 【解1】由 lim  0 得，f (0,1)  1 ，且 x0 x 2  ( y  1) 2 y1 [ f (x, y)  f (0,1)]  [2x  ( y  1)] lim  0 x0 x 2  ( y  1) 2 y1 即 z  f (x, y)  f (0,1)  2x  ( y  1) () 则 dz  2dx  dy (0,1) 【解2】【例7】证明以下几个经典的反例 （1） f (x, y)  x  y 在 (0,0) 点连续,但不可导(也不可微);  xy  , (x, y)  (0,0) （2） f (x, y)   x 2  y 2 在 (0,0) 点可导,但不连续;   0, (x, y)  (0,0)  xy  , (x, y)  (0,0) （3） f (x, y)   x 2  y 2 在 点可导,但不可微; (0,0)   0, (x, y)  (0,0)  1 (x 2  y 2 )sin , (x, y)  (0,0) （4） f (x, y)   x 2  y 2   0, (x, y)  (0,0) 在 点可微,但偏导数不连续; (0,0)（1） f (x, y)  x  y 在 (0,0) 点连续,但不可导(也不可微); xy  , (x, y)  (0,0) （2） f (x, y)   x 2  y 2 在 (0,0) 点可导,但不连续;   0, (x, y)  (0,0) xy  , (x, y)  (0,0) （3） f (x, y)   x 2  y 2 在 点可导,但不可微; (0,0)   0, (x, y)  (0,0) 用定义判定可微性 a) f (x , y ) 与 f ( x , y ) 是否都存在? x 0 0 y 0 0 z  [ f (x , y )x  f (x y )y] 是否为零? x 0 0 y 0, 0 b) lim (x,y)(0,0) (x) 2  (y) 2 1 (x 2  y 2 )sin , (x, y)  (0,0) （4） f (x, y)   x 2  y 2   0, (x, y)  (0,0) 在 点可微,但偏导数不连续; (0,0)【例8】(2017年2）设 f (x, y) 具有一阶偏导数,且对任意的 f (x, y) f (x, y) (x, y) 都有  0,  0, 则( ) x y （A） f (0,0)  f (1,1). （B） f (0,0)  f (1,1). (D) （C） f (0,1)  f (1,0). （D） f (0,1)  f (1,0). 【解1】 【解2】