(97)--笔记小节_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高数基础班（6）
6 导数与微分的概念及几何意义，导数公式及求导法则（有理运算； P61-P72
隐函数、反函数、参数方程求导法；对数求导法）
主讲 武忠祥 教授第二章 导数与微分
本章内容要点
一. 考试内容概要
（一）导数与微分的概念
（二）导数公式与求导法则
（三）高阶导数二. 常考题型与典型例题
题型一 导数定义
题型二 复合函数、隐函数、参数方程求导
题型三 高阶导数
题型四 导数应用第二章 导 数 与 微 分
考试内容概要
（一）导数与微分的概念
1. 导数的概念
y f (x  x)  f (x )
定义1(导数) f  ( x )  lim  lim 0 0
0
x0
x
x0
x
f (x)  f (x )
f  (x )  lim 0
0 xx x  x
0
0
y f (x  x)  f (x )
定义2(左导数)
f  ( x )  lim  lim 0 0
 0
x0
 x
x0
 x
y f (x  x)  f (x )
定义3(右导数)
f  (x )  lim  lim 0 0
 0
x0
 x
x0
 x定理1 可导 左右导数都存在且相等

定义4(区间上可导及导函数)
2
 x 3 , x  1,
【例1】(1994年3）设 则 在 处的（ ）.
f (x)  3 f (x) x  1
 x 2 , x  1,
（A）左、右导数都存在
（B）左导数存在但右导数不存在
（C）左导数不存在但右导数存在
（D）左、右导数都不存在【例2】(1990年4,5)设函数 f (x) 对任意 x 均满足等式
f (1  x)  af (x) ,且有 f  (0)  b ,其中 a,b 为非零常数，则（ ）.
（A）f (x) 在 x  1 处不可导;
（B）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  a;
（C）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  b;
（D）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  ab.
【解1】直接法
f (1  x)  f (1)
f  (1)  lim
x0
x
【解2】直接法
f (x)  f (1)
f  (1)  lim
x1 x  1【例2】(1990年4,5)设函数 f (x) 对任意 x 均满足等式
f (1  x)  af (x) ,且有 f  (0)  b ,其中 a,b 为非零常数，则（ ）.
（A）f (x) 在 x  1 处不可导;
（B）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  a;
（C）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  b;
（D）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  ab.
f (1  x) b
【解4】排除法  a, f (x)  Aa x , f (x)  a x
f (x) ln a
【解4】排除法 取 a  1, f (1  x)  f (x)2. 微分的概念
定义5（微分） 如果 可以表示为
y  f (x  x)  f (x )
0 0
y  Ax  o(x) (x  0)
则称函数 在点 处可微, 称 为微分, 记为
f ( x) x Ax
0
d y  Ax
定理2 函数 在点 处可微的充分必要条件是
y  f (x) x
0
在点 处可导, 且有
f ( x) x
0
d y  f  (x )x  f  (x )d x.
0 01
【例3】(1988年1,2,3)若函数 y  f (x) 有 f  (x )  ,则当
0
2
Δ x  0 时,该函数在 x  x 处的微分 d y 是（ ）
0
（A）与 Δ x 等价的无穷小;
（B）与 Δ x 同阶的无穷小;
（C）比 Δ x 低阶的无穷小;
（D）比 Δ x 高阶的无穷小.3. 导数与微分的几何意义
1）导数的几何意义：导数 
f ( x )
0
在几何上表示曲线 y  f (x) y
T
在点 处切线的斜率。
( x , f ( x ))
N
0 0
P o(x)
切线方程
y
M dy
y  f (x )  f  (x )(x  x ). y  f (x)
x
0 0 0
法线方程
）
o
1 x x  x x
y  f (x )   (x  x ). 0 0
0  0
f (x )
0
2）微分的几何意义：微分 dy  f  (x )dx 在几何上表示
0
曲线 的切线上的增量。
y  f (x)
y  f (x  x)  f (x ) y  dy
0 0【例4】(2004年1)曲线 y  ln x 上与直线 x  y  1 垂直的切线 ( y  x  1)
方程为
_____ .4. 连续,可导,可微之间的关系
连续 可导
可微 1
 x 2 sin , x  0,
【例】证明： f (x)  
x
  0, x  0.
处处可导，但  不存在.
lim f (x)
x0
 在 x 处连续
f (x)
的某邻
0
f (x) 在 x
0 域可导

lim f (x) 存在
xx
0
【例33】设 f (x) 二阶可导 f (0)  0, f  (0)  1, f  (0)  2
f (x)  x
求极限
lim
2
x0 x
f (x)  x f  (x)  1 f  (x) f  (0)
【注】
lim  lim  lim   1 经典的错误 标准的0分
2
x0 x x0 2x x0 2 2条件 使用洛必达法则最多可用到
1） f (x)n 阶可导 f
(n1)
(x)
2） f (x)n 阶连续可导 f (n) (x)
f (x)  x
【例33】设 f (x) 二阶可导 f (0)  0, f  (0)  1, f  (0)  2 求极限 lim
2
x0 x
f (x)  x f  (x)  1
【解】
lim  lim （洛必达法则）
2
x0 x x0 2x
1 f  (x)  f  (0)
 lim
2 x0 x

f (0)
 （导数定义）
2
 1【例5】(2020年1）设函数 f ( x) 在区间 (1,1) 内有定义,且 lim f ( x)  0, 则
x0
f ( x)
（A）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导；
x0 x
f ( x)
（B）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导；
2
x0 x
f ( x)
（C）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0 ；
x0 x
f ( x)
（D）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0.
2
x0 x（二）导数公式及求导法则
1. 基本初等函数的导数公式
1） (C)   0 2） (x  )  x 1
3） (a x )   a x ln a 4） (e x )   e x
1 1
5）(log x)   6) (ln x )  
a
x ln a x
7) (sin x)   cos x 8) (cos x)    sin x
9) (tan x)   sec 2 x 10) (cot x)    csc 2 x
11） (sec x)   sec x tan x 12） (csc x)    csc x cot x
1 1
13) (arcsin x)   14) (arccos x)   
1  x 2 1  x 2
1 1
15) (arctan x)   16) (arc cot x)   
1  x 2 1  x 22. 求导法则
(1) 有理运算法则
1) (u  v)   u   v  2) (uv)   u  v  uv 
u u  v  uv 
3) ( )   (v  0)
2
v v
（2）复合函数求导法：
设 可导，则
u (x), y  f (u) y  f [(x)]
dy dy du
   f  (u) (x)
dx du dx
1
【例6】(1995年2)设 y  cos( x 2 )sin 2 ,则 y   _______ .
x【例7】设函数 可导,试证
f (x)
1）若 是奇函数,则  是偶函数;
f (x) f (x)
2）若 是偶函数,则  是奇函数;
f (x) f (x)
3）若 是周期函数,则  也是周期函数.
f (x) f (x)
【例8】（2022年3）已知函数 f (x)  e sin x  e sin x ，则 f  (2)  ________ .（3）隐函数求导法：
dy F
F(x, y)  0   x
dx F
y
【例9】(1993年3)函数 y  y(x) 由方程
y2 ex 2xcos(x2  y2)
[ ]
2ycos(x2  y2)2xy
d y
所确定,则
sin( x 2  y 2 )  e x  xy 2  0  __________ .
d x（4）反函数的导数；
若 y  f ( x) 可导,且 f  (x)  0, 则其反函数 x ( y)
也可导，且
1 dx 1
 ( y)  
f  (x) dy dy
dx
1
【例10】证明 (arcsin x)   .
1  x 2（5）参数方程求导法：
 x (t)
设 是由 确定的函数，则
y  y( x) ( t  )
 ,
 y (t)
1) 若(t) 和 (t) 都可导，且  (t)  0
dy

(t)

dx

(t)
2）若 (t) 和 (t) 二阶可导，且  (t)  0, 则
d
2
y d

(t) 1
 (t)
(t)
 (t)
(t)
 ( ) 
dx
2
dt

(t)

(t)
3
(t) x  t 2  1 d 2 y
【例11】(2020年1,2)设
 ，则  _________ . （ 2)
 y  ln(t  t 2  1) dx 2
t1
【解1】
【解2】（6）对数求导法：
【例12】（2005年2）设 y  (1  sin x) x ，则 d y  _______ .
[dx]
x(x  1)(x  2)
【例13】 设 y  ，求 y  .
(x  3)(x  4)