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高数基础班（13）
13 反常积分举例（敛散性；计算），定积分应用（几何；物理） P150-P161
主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题
常考题型
1. 反常积分敛散性
2. 反常积分计算（一）反常积分的敛散性
【例3】(2015年2）下列反常积分中收敛的是( )
 1  ln x
（A）  dx. （B）  dx.
2 x 2 x
 x
 1
（C）  dx. （D）  dx.
x
2 e
2 x ln x
【解】 1
, 1  x  e,

(x  1)
1
【例4】(2013年2）设函数
f (x)  
1

, x  e.
 x ln 1 x

若反常积分  收敛，则
f (x)dx
1
（B）
（A）  2.
 2.
（D）
（C） 0  2.
 2  0.
【解】1 1
0 1  1
【例5】(2016年2）反常积分  e xdx,  e xdx
2 2
 x 0 x
的敛散性为( )
(A）收敛，收敛. （B）收敛，发散.
（C）发散，收敛. （D）发散，发散.
【解】 1
【例6】(2016年1）反常积分  dx 收敛，则( )
0 x a (1  x) b
（A） a  1,b  1. （B） a  1,b  1.
（C） a  1,a  b  1. （D） a  1,a  b  1.
【解】（二）反常积分的计算
dx
【例7】(2000年,2）    _______ . 
[ ]
2 (x  7) x  2 3
【解1】
【解2】 dx
【例8】(2000年4）计算 I    π 
 
1 e x  e 2x 4e
【解】 ln x
【例9】(2013年,1,3） dx  __________.
(ln2)
1 (1 x) 2
【解】第六章 定积分应用
本节内容要点
一. 考试内容概要
（一）几何应用
（二）物理应用
二. 常考题型与典型例题
题型一 几何应用
题型二 物理应用（一）几何应用
1.平面图形的面积
（1）若平面域 由曲线 y  f (x), y  g(x)( f (x)  g(x)),
D
所围成，则
x  a, x  b (a  b)
b
S   [ f (x)  g(x)]dx
a
（2）若平面域 D 由曲线  (), ,  ( )
所围成，则
1 
S   2 ()d
2 2.旋转体体积
若平面域 D 由曲线 y  f (x), ( f (x)  0),
x  a, x  b (a  b) 所围成，则
1）区域 D 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体积为
b
V   f 2 (x)d x
x
a
2）区域 D 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体积为
b
V  2 xf (x)d x
y
a3. 曲线弧长（数三不 要 求 ）
b
1) C : y  y(x), a  x  b. s   1  y 2 dx
a
x  x(t)

2) C :   t  . s   x 2  y 2 dt
 y  y(t) 

3) C :  (),  . s   2  2 d

4. 旋转体侧面积（数三不要求）
b
S  2 f (x) 1  f 2 (x)dx
a
（二）物理应用（数三不要求）
1.压力； 2.变力做功； 3.引力。常考题型与典型例题
常考题型
1.几何应用
2.物理应用（一） 几何应用
【例1】(2014年,3）设 D 是由曲线 xy  1  0 与直线 y  x  0
及 y  2 围成的有界区域，则 D 的面积为 3
_______. ( ln2)
2
【解】【例2】(2013年,2）设封闭曲线 的极坐标方程为
L
 
r  cos 3(  ), 则 L 所围平面图形的面积是
________.
6 6
【解1】
【解2】
【例3】(2015年2,3）设 A  0, D 是由曲线段 y  Asin x (0  x  )
2

及直线 y  0, x  所围成的平面区域， V ,V 分别表示 绕
D
1 2
2
x 轴与 y 轴旋转所成旋转体的体积.若 V  V , 求 A 的值. [V  2 A2,V  2A,A 8 ]
1 2 1 4 2 
【解】【例4】(2012年，数二）过点 作曲线 的切线，
(0,1) L : y  ln x
切点为 A ，又 与 x 轴交于 B 点，区域 由 与直线
L D L AB
围成.求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. [S  2;V  2 (e2 1)]
3
1
【解1】设切点为 (x , y ), 则切线方程为 y  ln x  (x  x )
0 0 0 x 0
0
【解2】设过点 (0,1) 的线方程为 y  1  kx
2 1
e
S   ln xdx  e 2  2
1 2
2 
e
V   ln 2 xdx   4 (e 2  1)
1 3
x
【例5】(2011年1,2）曲线 y   tan tdt(0  x  ) 的弧长
0 4
s  ______ . [ln(1 2)]
【解】（二） 物理应用
【例6】(2011年2）一容器的内侧是由图中曲
线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由
1 1
x 2  y 2  2 y( y  ) 与 x 2  y 2  1( y  )
2 2
连接而成.
（I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，
至少需要做多少功？
（长度单位：m，重力加速度为gm/s2，水的密度
为103kg/m3）
1 1
9
【解】
V  2 2 x 2 d y  2 2 (1  y 2 )d y  .
1 1 4
1
27
2
W  10 3  2 (1  y 2 )(2  y)g d y  10 3  [2 y  y 2 )](2  y)g d y  g
1
1 8
2【例7】(2002年2）某闸门的形状与大小如图
所示，其中 y 轴为对称轴，闸门的上部为
矩形
,DC=2m,下部由二次抛物线与线段
ABCD
所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使
AB
闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受
的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高
h
压强 p  gh
应为多少
h1
h1  y 2  压力 P  p  A
【解】 P  2  g(h  1  y)d y  2g (h  1) y   gh 2 ,
 
1
1  2 
1
1
 3 5 
1 2 2
P  2  g(h  1  y) y d y  2g (h  1) y2  y2
 
2
0 3 5
 
0
2
h 5
 1 2 
1
 4g h  .  . h  2 h  
 1 2  4
 3 15 
4 h   3
 3 15 