(394)--专题一求极限的方法和技巧01笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

2026考研 高等数学十七堂课 （重难点解析） 主讲 武 忠 祥专题11 多元函数微分法 专题1 求极限的方法和技巧 专题12 多元函数的极值和最值 专题2 无穷小量阶比较 专题13 计算二重积分的方法和技巧 专题3 导数概念及其应用 专题14 常数项级数的敛散性 专题4 微分中值定理及其应用 专题15 级数求和 专题5 泰勒公式及其应用 专题16 微积分在物理中的应用 专题6 不等式问题 专题17 曲线积分与曲面积分 专题7 方程根的存在性及个数 专题8 计算不定积分和定积分的方法和技巧 专题9 平面域的面积与旋转体的体积 专题10 微分方程有关综合题十七堂课直播课表 专题一 第1次课 求极限的方法和技巧（1） 9月15日19:00 专题一 第2次课 求极限的方法和技巧（2） 9月18日19:00 专题一 第3次课 求极限的方法和技巧（3） 9月23日19:00 专题四 第6次课 微分中值定理及其应用 9月27日19:00 专题五 第7次课 泰勒公式及其应用 10月1日19:00 专题十三 第15次课 计算二重积分的方法和技巧 10月17日19:0026高等数学17堂课 专题1：求极限的题型方法和技巧(1) （P1-14） 主讲 武忠祥数列极限的概念、性质、存在准则(1) n   【例1】(2022年3) 已知 a  n n  (n  1,2,) ，则 a n n n （A）有最大值，有最小值. （B）有最大值，没有最小值. （C）没有最大值，有最小值. （D）没有最大值，没有最小值. 【解】 有最大值. lim a  1, a  2  1, n 1 n 1 有最小值. a  2   1, 2 2 【注】 若 lim a  a, 则  a  有最大值的充要条件是存在 a  a. n n n n 若 lim a  a, 则  a  有最小值的充要条件是存在 a  a. n n n n    【例2】(2022年1,2）设有数列 x ，其中 x 满足   x  ，则（ ） n n n 2 2 （A）若 存在，则 存在. lim cos(sin x ) lim x n n n n （B）若 lim sin(cos x ) 存在，则 lim x 存在. n n n n （C）若 lim cos(sin x ) 存在，则 lim sin x 存在，但 lim x 不一定存在. n n n n n n （D）若 存在，则 lim cos x 存在，但 lim x 不一定存在. lim sin(cos x ) n n n n n n 存在 存在. limcos x lim x 【解1】直接法 n n n n 存在 存在. limsin x lim x n n n n  【解2】排除法 x  (1) n n 2【例3】(2024年2）已知数列   若   发散，则（ ） a (a  0), a n n n     1 1 （A） a   发散. （B） a   发散. n n a a     n n  1   1  （C） e a n   发散. （D） e a n   发散. a a  e n   e n  【解1】排除法 a  (1) n 排除B,C a  2 (1) n 排除A. n n 【解2】排除法 排除 A,B,C a 发散 f (a ) 发散 n n 必要条件 f (x)有反函数 收敛 【解3】直接法 选 D a 收敛 f (a ) n n 充分条件 f (x)严格单调 lim f (a )  AR n f n一. 求极限的常用方法 方法1 利用基本极限求极限 方法2 利用有理运算法则求极限 方法3 利用等价无穷小代换求极限 方法4 利用洛必达法则求极限 方法5 利用泰勒公式求极限 方法6 利用夹逼准则求极限 方法7 利用定积分的定义求极限 方法8 利用单调有界准则求极限 方法9 利用中值定理求极限方法1 利用基本极限求极限 1）常用的基本极限 1 sin x lim  1; lim(1  x) 1 x  e; lim(1  ) x  e; x0 x x0 x x a x  1 lim  ln a; lim n n  1. lim n a  1,(a  0), x0 x n n a n , n  m,  b a x n  a x n1    a x  a  m lim n n1 1 0   0, n  m, x b x m  b x m1    b x  b  m m1 1 0 , n  m.    0, x  1,   0, x  0,  , x  1, lim x n    n 1, x  1 lim e nx    , x  0  n    不存在， x  1.  1, x  0.2)“ 1  ”型极限常用结论 若若 lim(x)  0, lim(x)  , 且 lim(x)(x)  A 则 lim(1 (x)) (x)  e A 可以归纳为以下三步: 1)写标准形式 原式  lim[1 (x)] (x) ; 2)求极限 lim(x)(x)  A; 3)写结果 原式  e A .n 2n1 n n 【例1】 lim (n 2026  1) _________ . n (n  1) n n n  n n n 【解】原式  lim (n 2026  1) n (n  1) n 1 n 2026  1  lim  1 1 n (1  ) n n n ln2026  ex  1 1   xa x  (x  1)bx  【例2】已知 a  0,b  0, 则 lim    __________ . x  2x  1    x  1 1   xa x  (x  1)bx  2x  1  【解】原式  lim 1    x  2x  1    1 1 xa x  (x  1)bx  2x  1 lim  x x 2x  1 1 1 x a x  1 x  1 bx  1 1 1  lim   lim   lna  lnb  ln ab x 2x  1 1 x 2x  1 1 2 2 x x 原式  e ln ab  ab( x  a) (xa) ( x  b) (xb) 【例3】 lim  _______ . x ( x  a  b) (2xab) (x  a) xa (x  b) xb 【解】原式  lim  x (x  a  b) xa (x  a  b) xb 1 1  lim  b a x (1  ) xa (1  ) xb x  a x  b 1 1    e (ab) b a e elim （n 2 n!  n n)n n 【例4】 lim （ 1  n 2 n!  n n) n  __________ . n 【解】由于 1  n 2 n!  n 2 n n  n n ,且 lim n n  1, 则 lim n 2 n!  1, 本题所求极限为 1  . n n ln(n!) lnn lim （n 2 n!  n n)n  lim(e n 2  e n )n n n ln(n!) ln n ln(n!)   lim e n [  ]n  lim[  ln n] 2 n n n n n 1 1 2 n 1  lim [ln  ln    ln ]   ln xdx  1 n n n n n 0 1 则 原式  e 1  . e[(nx) n  1] n1 【例5】极限 lim  __________ . x (x  1)(x 2  2)(x n  n) n1 1 (n n  ) 2 n(n1) n x 【解】原式  lim  n 2 1 2 n x (1  )(1  )(1  ) 2 n x x x(x  1)(2x  1)(3x  1)(4x  1)(5x  1) 【例6】已知 lim  0, 则（ ） x (2x  1)  5! （A） 5 ! ,   5 . （B） ,  5. 5 2 1 5 （C） ,   5 . （D） ,  4. 5 5 2 2 【解】(x  1)(2x  1)(3x  1)(4x  1)(5x  1)  ax  b 【例7】已知 lim  16, 则（ ） x0 x （A） a  1,b  1. （B）a  2,b  1. （C） a  5,b  1. （D） a  1,b  1. 【解】x 2n1  ax 2  bx 【例8】设函数 ，问 取何值时， f (x)  lim a, b n x 2n  1 f (x) 在 (,) 上连续.  0, x  1,  ax 2  bx, x  1,   , x  1,  lim x n   x, x  1,  n 1, x  1   【解】  1  a  b f (x)   , x  1,   不存在， x  1.  2  1  a  b , x  1.   2  1  a  b f (1  0)  1  f (1)  a  b  1 2  1  a  b f (1  0)  a  b  f (1)  a  0,b  1 2 1  a  b f (1  0)  a  b  f (1)  2 a  b  1 1  a  b f (1  0)  1  f (1)  2x 2 e n(x1)  ax  b 【例9】设函数 f (x)  lim 连续，问常数 a, b 必须满足什么条件？ n e n(x1)  1  ax  b, x  1,  0, x  0,  1  a  b  【解】 f (x)   , x  1, lim e nx    , x  0 2  n   x 2 , x  1.  1, x  0. f (1  0)  a  b 1  a  b f (1)  2 f (1  0)  1. 则 a  b  1方法2 利用有理运算法则求极限 若 那么: lim f (x)  A, lim g(x)  B. lim[ f (x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x) lim[ f (x)  g(x)]  lim f (x)  lim g(x)  f (x) lim f (x) A lim    (B  0)  g(x)  lim g(x) B推论：1)若 则 lim f (x)  A  0, lim f (x)g(x)  Alim g(x) (即:极限非零的因子极限可先求出来) f (x) 2)若 存在， lim lim g( x)  0  lim f ( x)  0; g(x) f (x) 3)若 lim  A  0,lim f (x)  0  lim g(x)  0; g(x) 【注】 存在+不存在= 不存在 不存在+不存在= 不一定1 【例1】(2018年3）已知实数 a,b 满足 lim [(ax  b)e x  x]  2, 求 a,b. x 1 1 1 【解】 2  lim [(ax  b)e x  x]  lim be x  lim (axe x  x) x x x 1  b  lim x(ae x  1) x 1  b  lim x(e x  1) (a  1) x 1  b  lim x  x x  b  1 故 a  b  1.1 【例1】(2018年3）已知实数 a,b 满足 lim [(ax  b)e x  x]  2, 求 a,b. x 1 【解2】 2  lim [(ax  b)e x  x] x 1 1  lim [(ax  b)(1  ( ))  x] x x x  lim [(ax  b  a)  x] x 故 a  b  1.x  sin x  f (x) x 3 【例2】已知 lim 存在,则 lim  ( ) 4 x0 x x0 f (x) (B)36 (C)6 (D) (A)  36  6 x  sin x  f (x) 【解1】直接法 lim  0 3 x0 x 3 1 f (x) x  lim  0 lim  6 6 x0 x 3 x0 f (x) x  sin x  f (x) x  sin x  f (x) 【解2】直接法 lim  A  A  4 4 x0 x x x  sin x  f (x)  (A )x 3 xx  sin x  f (x) x 3 【例2】已知 lim 存在,则 lim  ( ) 4 x0 x x0 f (x) (B)36 (C)6 (D) (A)  36  6 【解3】排除法 f (x)  sin x  x 3 3 x x 3 x lim  lim  lim  6 x0 f (x) x0 sin x  x 1 x0  x 3 63 1 x 【例3】当 x  0 时， f (x)arctan x  arcsin x (x 3 ) 则 lim(1  )sin x  _________ . x0 1  f (x) f (x)arctan x  arctan x arcsin x  arctan x 【解】 0  lim  lim 3 3 x0 x x0 x f (x)  1 arctan x  arcsin x lim  lim 2 3 x0 x x0 x 1 1 ( x 3 )  ( x 3 ) (arctan x  x)  (arcsin x  x) 1 3 6  lim  lim   x0 x 3 x0 x 3 2 x 3 1 x 2 lim   lim  2 x0 1  f (x) sin x x0 1  f (x) 3 1 x lim(1  )sin x  e 2 x0 1  f (x)方法3 利用等价无穷小代换求极限 1.等价无穷小代换的原则 1）乘、除关系可以换； 若 ~ , ~  , 则 1 1     lim  lim 1  lim 1  lim     1 1 2）加、减关系在一定条件下可以换；  (1) 若 ~ , ~  , 且 lim 1  A  1. 则   ~   . 1 1 1 1  1  (2) 若 ~ , ~  , 且 lim 1  A  1. 则   ~   . 1 1 1 1  1常用等价无穷小 当 x  0 时, 1) x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1  x) ~ e x  1;  (1  x)   1 ~ x, 1  cos  x ~ x 2 a x  1 ~ x lna, 2 3 3 x 2 x x 2) x  sin x ~ tan x  x ~ x  ln(1  x) ~ 6 3 2 x 3 x 3 arcsin x  x ~ x  arctan x ~ 6 3 f ( x) 3) 设 f (x) 和 g(x) 在 x  0 的某邻域内连续，且 lim  1, x0 g( x) x x 则   f (t)dt ~ g(t)dt 0 0arctan x  x 【例1】(2000年2） lim  ______ . x0 ln(1  2x 3 ) 1  x 3 1 3 【解】原式  lim   3 x0 2x 6arctan x  sin x 【例2】(2007年2） lim  __________ 3 x0 x (arctan x  x)  (sin x  x) 【解】原式  lim 3 x0 x 1 1 ( x 3 )  ( x 3 ) 3 6  lim 3 x0 x 1   6arctan x  tan x 【例3】 lim  ______ . x0 sin x  sin(sin x) (arctan x  x)  (tan x  x) 【解】原式  lim 1 x0 3 sin x 6 1 1 ( x 3 )  ( x 3 ) 3 3  lim 1 x0 3 x 6  4tan ax  a sin x 【例4】 lim  ______ . x0 x(1  cos ax) (tan ax  ax)  a(sin x  x) tanax  ax a(sin x  x) 【解】原式  lim  lim  lim 1 1 1 x0 x0 x0 2 2 2 2 2 2 x( a x ) x( a x ) x( a x ) 2 2 2 1 1 ( a 3 x 3 )  a( x 3 ) 3 6  lim 1 x0 2 3 a x 2 2 1  a  3 3a 2  ln(1  e x )   【例5】已知 存在，求 I  lim  a[x] I,a.  1  x0  ln(1  e x )    2  2 ln(1  e x ) e x 1   【解】 lim  a[x]  lim  a  lim e x  a  a x0   1  x0  1 x0   ln(1  e x )   e x  2  2   2   ln(1  e x )   ln(1  e x )   x lim  a[x]  lim   0  2  1  1 x0  x0   1    ln(1  e x )    ln(1  e x )    x  a  2, I  2(1  x)(1  x)(1  n x) 【例6】计算 lim x1 (1  x) n (1  x)[1  1  (x  1)][1  n 1  (x  1)] 【解】原式  lim x1 (1  x) n 1 1 (1  x)[ (1  x)][ (1  x)] 2 n  lim x1 (1  x) n 1 (1  x) n n! 1  lim  x1 (1  x) n n!m 1 x  n 1  x  1 【例7】计算 lim x0 x n 1  x[m 1 x  1] n 1  x  1 【解1】原式  lim  lim x0 x x0 x   x x m n  lim  lim x0 x x0 x     m nm 1 x  n 1  x  1 【例7】计算 lim x0 x 【解2】由于当 x  1 时， ln x  ln[1  (x  1)] ～ x  1 ln( m 1 xn 1  x) 原式  lim x0 x 1 ln(1 x) 1 ln(1  x)  lim  lim m x0 x n x0 x     m n1  cos x cos 2x n cos nx 【例】计算 lim 2 x0 x  ln[cos x cos 2x n cos nx] 【解】原式  lim 2 x0 x 1 1  [lncos x  ln cos 2x    ln cos nx] 2 n  lim 2 x0 x 1  cos x 1 1  cos 2x 1 1  cos nx  lim  lim    lim 2 2 2 x0 x 2 x0 x n x0 x 1  [1  2    n] 2 n(n  1)  41 (1  tan x  x)sin2x  1 【例8】 lim  ______ . 2 x0 x (1  ax 2 ) sin x  1 【例】(24年1） lim  6, 则 a  _________ . 3 ln(1tanxx) x0 x e sin2x  1 【解1】原式  lim 2 x0 x 1 (tan x  x) 【解2】原式  lim sin 2x 【注】当 x  0 时， (1  x)   1 ~x. 推广可得: 2 x0 x 若 (x)  0,(x)(x)  0, 1 3 x 1 3  lim  3 则 ( 1   ( x)) (x)  1 ~ (x)(x) x0 2x 6(2  sin x 2 ) x  2 sin x 【例9】 lim  ______ . 3 x0 x (2  sin x 2 ) x  2 x 2 x  2 sin x 【解1】原式  lim  lim 3 3 x0 x x0 x 1 2 x [(1  sin x 2 ) x  1] 2 sin x [2 xsin x  1] 2  lim  lim 3 3 x0 x x0 x 1 1 x 3 x 3  ln 2 2 6  lim  lim 3 3 x0 x x0 x 1 ln 2   2 6(2  sin x 2 ) x  2 sin x 【例9】 lim  ______ . 3 x0 x e xln(2sin x 2 )  e ln2sin x 【解2】原式  lim 3 x0 x e  [x ln(2  sin x 2 )  ln 2sin x]  lim 3 x0 x 1 x ln(1  sin x 2 )  (x  sin x)ln 2 2  lim 3 x0 x 1 ln 2 2 3 x sin x x 2 6  lim  lim 3 3 x0 x x0 x 1 ln 2   2 6x  x x 【例10】求极限 lim x1 1  x  ln x  x[e (x1)lnx  1]  (x  1)ln x ln x 【解1】原式  lim  lim  lim  2 x1 ln[1  (x  1)] (x  1) x1 1 x1 1  (x  1) 2 (x  1) 2 2  x[(1  (x  1)) (x1)  1] 【解2】原式  lim x1 ln[1  (x  1)] (x  1)  (x  1) 2  lim 1 x1  (x  1) 2 2  2【例11】设 f (x) 在 x  a 的某邻域内可导，且 f (a)  0.   1 1   求极限 lim  . xa  (x  a) f (a)  x f (x)dx    a x  f (t)dt  (x  a) f (a) 【解1】原式 x x  lim a  f (t)dt ～  f (a)dt  (x  a) f (a) x xa (x  a) f (a)  f (t)dt a a a x  f (t)dt  (x  a) f (a)  lim a xa (x  a) 2 f 2 (a) f (x)  f (a) (洛必达法则)  lim xa 2 ( x  a) f 2 (a)  f (a)  （导数定义） 2 2 f (a)【例11】设 f (x) 在 x  a 的某邻域内可导，且 f (a)  0.   1 1   求极限 lim  . xa  (x  a) f (a)  x f (x)dx    a x  f (t)dt  (x  a) f (a) 【解2】原式  lim a x xa (x  a) f (a)  f (t)dt a x  f (t)dt  (x  a) f (a) (积分中值定理)  lim a xa (x  a) 2 f (a) f () x  f (t)dt  (x  a) f (a)  lim a xa (x  a) 2 f 2 (a)【例11】设 f (x) 在 x  a 的某邻域内可导，且 f (a)  0.   1 1   求极限 lim  . xa  (x  a) f (a)  x f (x)dx    a x  f (t)dt  (x  a) f (a) 【解】 原式  lim a x xa (x  a) f (a)  f (t)dt a 1 f (x)  f (a)  lim x f (a) xa  f (t)dt  (x  a) f (x) a  1 f (x)  lim 经典错误 f (a) xa 2 f (x)  (x  a) f  (x)  f (a)  2 2 f (a)【例12】设 f (x) 在 x  a 的某邻域内二阶可导，且 f  (a)  0.  1 1  求极限 lim  .   xa(x  a) f  (a) f (x)  f (a) [ f (x)  f (a)]  (x  a) f  (a) 【解1】原式  lim xa (x  a) f  (a)[ f (x)  f (a)] [ f (x)  f (a)]  (x  a) f  (a)  lim f (x)  f (a) ～ f  (a)(x  a) xa (x  a) 2 f 2 (a) f  (x)  f  (a)  lim (洛必达法则) xa 2(x  a) f 2 (a)  f (a)  （导数定义） 2 2 f (a)【例12】设 f (x) 在 x  a 的某邻域内二阶可导，且 f  (a)  0.  1 1  求极限 lim  .   xa(x  a) f  (a) f (x)  f (a) [ f (x)  f (a)]  (x  a) f  (a) 【解2】原式  lim xa (x  a) f  (a)[ f (x)  f (a)] [ f (x)  f (a)]  (x  a) f  (a)  lim (拉格朗日中值定理) xa (x  a) 2 f  (a) f  () [ f (x)  f (a)]  (x  a) f  (a)  lim xa (x  a) 2 f 2 (a)【例12】设 f (x) 在 x  a 的某邻域内二阶可导，且 f  (a)  0.  1 1  求极限 lim  .   xa(x  a) f  (a) f (x)  f (a) [ f (x)  f (a)]  (x  a) f  (a) 【解】 原式  lim xa (x  a) f  (a)[ f (x)  f (a)] 1 f  (x)  f  (a)  lim f  (a) xa [ f (x)  f (a)] (x  a) f  (x)  1 f (x)  lim 经典错误 f  (a) xa 2 f  (x)  (x  a) f  (x)  f (a)  2 2 f (a) ln(e x  x)  【例13】求极限 lim 3 x 3  x 2  x  1  x 2  x  1   x x   x 2  x  1 x  【解】原式  lim  3 x 3  x 2  x  1  x 2  x  1  ln(1  ) x x  x e   1 1 1 1 1   lim x 3 1     1     2 3 2 x  x x x x x   1 1 1   1 1   lim x 3 1     1  lim x 1    1     2 3 2 x  x x x  x  x x  1 1 1 1  1 1 1   lim x (   )  lim x (  )     x 3 x x 2 x 3  x 2 x x 2  1 1 1     3 2 6 1 1  【例14】求极限 lim   x0 ln(1  x 2 ) sin 2 x  sin 2 x  ln(1  x 2 ) 【解】原式  lim x0 sin 2 x ln(1  x 2 ) sin 2 x  ln(1  x 2 )  lim 4 x0 x [sin 2 x  x 2 ]  [ln(1  x 2 )  x 2 ]  lim 4 x0 x 1  x 4 (sin x  x)(sin x  x) 2  lim  lim 4 4 x0 x x0 x 1 1 1     3 2 6x e 【例15】求极限 lim . 2 x x  1  1    x  x e 【解】原式  lim 1 x x 2 ln(1 ) e x 1 xx 2 ln(1 )  lim e x x 1 1 1 1 1 1 lim[x  x 2 ln(1  )]  lim x 2 [  ln(1  )]  lim x 2 (  )  x x x x x x 2 x 2 2 1 原式  e2【例16】设常数  5 ， k 为何值时极限 I  lim [(x   8x 4  2) k  x] x 存在并求此极限. 1 【解】 k  1, k  ,  1 I  lim [(x   8x 4  2)  x] x 4 1 8x 2  lim x[(1   )  1]   x x x 8 4 1 8x 2 1 8x 5 2x  ,  5,  lim x[ (  )]  lim (  )   5   x  x x  x x  x   0,  5.【例17】设函数 f (x) 一阶连续可导，且 f (0)  0, f  (0)  0, 2 x  f (t)dt 则 lim 0  _______ . x x0 2  x f (t)dt 0 2 x  f (t)dt 2 2xf (x ) 【解1】 0 lim  lim x x x0 x 2  f (t)dt x0 2x f (t)dt  x 2 f (x) 0 0 2  2 2 f (x ) 4xf (x )  lim  lim x0 2  x f (t)dt  xf (x) x0 3 f (x)  xf  (x) 0 4 f  (x 2 ) 4 f  (0)  lim   1 x0 3 f (x) 3 f  (0)  f  (0)  f  (x) x【例17】设函数 f (x) 一阶连续可导，且 f (0)  0, f  (0)  0, 2 x  f (t)dt 则 lim 0  _______ . x x0 2  x f (t)dt 0 f (x) 【解2】由 f (0)  0, f  (0)  0 知， lim  1 f ( x)  若 li m  1 x0 xf (0) x0 g( x) 2 x x x  f (t)dt ～  tf  (0)dt  f  (0) 则  x  x f (t)dt ~ g(t)dt 0 0 2 0 0 x 2 x 2 x 4  f (t)dt ～  tf  (0)dt  f  (0) 0 0 2 4 x  f (0) 2 原式  lim  1 2 x0 x x 2  f  (0) 2【例17】设函数 f (x) 一阶连续可导，且 f (0)  0, f  (0)  0, 2 x  f (t)dt 则 lim 0  _______ . x x0 2  x f (t)dt 0 x 2 f (t) f (c) 2 x  [t  ]dt  tdt 【解3】原式  lim 0 t  lim c 0  b f (t)g(t)dt  f ()  b g(t)dt x0 x 2  x [t  f (t) ]dt x0 x 2 f (  x tdt a a 0 t  0 4 x f  (0) 2  lim  1 2 x0 x x 2 f  (0) 2【例17】设函数 f (x) 一阶连续可导，且 f (0)  0, f  (0)  0, 2 x  f (t)dt 则 lim 0  _______ . x x0 2  x f (t)dt 0 【解4】令 f (x)  xf  (0) x 2 x 2 1  f (t)dt  tf  (0)dt x 4 f  (0) lim 0  lim 0  lim 2  1 x0 x 2  x f (t)dt x0 x 2  x tf  (0)dt x0 x 2  1 x 2 f  (0) 0 0 2祝同学们 考研路上一路顺利！