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高数基础班（24） 24 曲面积分计算举例；多元积分应用（质量、质心、形心、转到惯量， P277-P292 变力沿曲线做功，场论初步（散度，旋度） 主讲 武忠祥 教授第三节 曲 面 积 分 （一）对面积的面积分（第一类面积分） n 1. 定义  f (x, y, z)dS  lim  f ( ,, )S i i i i 0  i1 2. 性质  f (x, y, z)dS   f (x, y, z)dS   （与积分曲面的方向无关） 3.计算方法 1 . 直接法:  : z  z(x, y), (x, y) D  f (x, y, z)dS   f (x, y, z(x, y)) 1  z 2  z 2 d x y  D2. 利用奇偶性 若曲面 关于 面对称,则  xoy  2  f (x, y, z)dS, f (x, y,z)  f (x, y, z)   f (x, y, z)dS    z0    0, f (x, y,z)   f (x, y, z) 3.利用对称性（二）对坐标的面积分（第二类面积分） n 1. 定义  R(x, y, z)dxdy  lim  R( ,, )(S ) i i i i xy 0  i1 2. 性质  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   （与积分曲面的方向有关） 3. 计算方法 1) 直接法: (1)设曲面： z  z(x, y), (x, y) D xy  R(x, y, z)dxdy    R(x, y, z(x, y))dxdy  D xy(2)设曲面：  : x  x( y, z), ( y, z) D yz  P(x, y, z)dydz   P[x( y, z), y, z]dydz  D yz (3)设曲面：  : y  y(z, x), (z, x) D zx  Q(x, y, z)dzdx   Q[x, y(z, x), z]dzdx  D zx 2) 高斯公式:  P Q R   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy      dV  x y z    外 3) 补面用高斯公式.4.两类面积分的联系  (P cos Q cos Rcos)dS   (Pdydz  Qdzdx  Rdxdy)  常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 曲面积分计算一. 第一类曲面积分的计算 【例1】(2000年）设 为 在 S : x 2  y 2  z 2  a 2 (z  0), S S 1 一卦限中的部分,则有（ ） （A）  x d S  4  x d S （B）  y d S  4  x d S S S S S 1 1 （C）  z d S  4  x d S （D）  xyz d S  4  xyz d S S S 1 S S 1 【解】【例2】(2012年）设   {(x, y, z) | x  y  z  1, x  0, y  0, z  0}, 则  y 2 dS  _______ .  1 1y 3 【解】  y 2 dS  3  y 2 dxdy  3  dy  y 2 dx  0 0 12  D【例3】(1995年）计算曲面积分  其中 为锥面 z d S,   z  x 2  y 2 在柱体 x 2  y 2  2x 内的部分. 【解】 在 平面上的投影区域  xOy D : x 2  y 2  2x. d S  1  z 2  z 2 d  2 d. x y 于是  2cos  z d S   x 2  y 2  2 d  2  2 d 2 d   0  D 2 16 2 /2 32   cos 3d  2. 3 0 9二. 第二类曲面积分的计算 【例4】(1988年）设  为曲面 x 2  y 2  z 2  1 的外侧,计算 曲面积分 I   x 3 d y d z  y 3 d z d x  z 3 d x d y.  【解】由高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，得 I  3  (x 2  y 2  z 2 )d v  2  1 12  3  d sind r 2  r 2 d r  . 0 0 0 5【例5】(2005年）设  是由锥面 z  x 2  y 2 与半球面 z  R 2  x 2  y 2 围成的空间区域，  是  的整个边界的外 侧,则  xdydz  ydzdx  zdxdy  _____ . [(2 2)R3] 【解】【例6】(2008年）设曲面 是 的上侧,则  z  4  x 2  y 2  xydydz  xdzdx  x 2 dxdy  _______ .  【解】设  是曲面 z  0 (x 2  y 2  4) 取下侧， 1      ydxdydz   .      1 1 1 由对称性知  ydxdydz  0  1 故       x 2 d x d y   (x 2  y 2 )dxdy  4 2   x 2 y 24 x 2 y 24 1【例7】(2014年）设 是曲面 的上侧,  z  x 2  y 2 (z  1) 计算面积分 I   (x  1) 3 dydz  ( y  1) 3 dzdx  (z  1)dxdy.  【解】设 S 为平面 z  1 包含在曲面 z  x 2  y 2 之内部分的下侧, I   (x  1) 3 dydz  ( y  1) 3 dzdx  (z  1)dxdy S   (x  1) 3 dydz  ( y  1) 3 dzdx  (z  1)dxdy S   [3(x  1) 2  3( y  1) 2  1]dv  0    (3x 2  3 y 2  7)dv  6  xdv  6  ydv     xdv   ydv  0   2 1 1  (3x 2  3 y 2  7)dv   d d (32  7)dz  4 0 0 2 第四节 多元积分应用 几 何 所 平面板 空间体 曲线 曲面 形 求 体 量 几何度量 质 量 质 心 转动惯量 W   Pdx  Qdy  Rdz 1.变力作功:  AB    Pdydz  Qdzdx  Rdxdy 2.通量: 常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 形心和变力做功的计算【例1】(2010年）设 则   {(x, y, z) | x 2  y 2  z  1},  的形心的竖坐标 z  ________ . 【解】 z   z dV  dV      1  1  dV    d x d y d z   z d z    0 0 2    x 2 y 2z    1  1  z dV    d x d y z d z   z 2 d z    0 0 3    x 2 y 2z 2 z  . 3【例2】(2000年）设有一半径为 的球体， 是此球的表面 R P 0 上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 距离的平方成正 P 0 比（比例常数 ），求球体的重心位置. k  0 【解】 x 2  y 2  z 2  2Rz.  kz(x 2  y 2  z 2 )d v x  0, y  0, z   .  k(x 2  y 2  z 2 )d v    2Rcos 32  (x 2  y 2  z 2 )d v  4  2 d 2 d r 4 sind r  R 5 , 0 0 0 15    2Rcos  z(x 2  y 2  z 2 )d v  4  2 d 2 d r 5 sincosd r 0 0 0   64 8  R 6  2 cos 7sind R 5 , 3 0 3【例3】(1990年）质点 沿着以 P AB 为直径的半圆周,从点 运动到点 A(1,2) 的过程中受到变力 作用(见右图） B(3,4) F 的大小等于点 与原点 之间的距离, F P O 其方向垂直于直线段 且与 y 轴正向 OP,  的夹角小于 .求变力 对质点 所作的功. F P 2 【解1】按题意，变力 F   yi  xj. W    y d x  x d y  AB  x  2  2cos, 3  圆弧 的参数方程是 AB     .  y  3  2sin, 4 4    W   4 2(3  2 sin)sin 2(2  2 cos)cos d  2( 1). 3   4【例3】(1990年）质点 沿着以 P AB 为直径的半圆周,从点 运动到点 A(1,2) 的过程中受到变力 作用(见右图） B(3,4) F 的大小等于点 与原点 之间的距离, F P O 其方向垂直于直线段 且与 y 轴正向 OP,  的夹角小于 .求变力 对 质 点 所作的功. F P 2 【解2】按题意，变力 F   yi  xj. W    y d x  x d y  AB W    y d x  x d y    ydx  xdy    ydx  xdy   AB ABBA BA 1   2dxdy    (1  x)dx  xdx  2 2 3 D第五节 场论初步 1. 方向导数 f f (x  t cos, y  t cos)  f (x , y ) 1) 定义:  lim 0 0 0 0 l t0  t (x ,y ) 0 0 2) 计算: 若 可微,则 z  f (x, y) f f f  cos cos l x y 2. 梯度: 定义:设 在点 有连续一阶偏导数 f ( x, y) P(x , y ) 0 0 gradu  f (x , y )i  f (x , y )j x 0 0 y 0 03. 散度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R} P Q R divA    x y z 4. 旋度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R} i j k    rotA  x y z P Q R常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 梯度、旋度、散度的计算【例1】(1996年)函数 u  ln( x  y 2  z 2 ) 在点 A(1,0,1) 1 [ ] 处沿 A 指向 B(3,2,2) 方向的方向导数为 . 2 【解】【例2】 在椭球面 上求一点,使函数 2x 2  2 y 2  z 2  1 u  x 2  y 2  z 2 在该点沿 l  (1,1,0) 方向的方向导数最大. 1 1 ( , ,0) 【解】 2 2z 【例3】(2012年）grad( xy  ) |  . (1,1,1) (2,1,1) y 【解】【例4】(1989年) 向量场 u(x, y, z)  xy 2 i  ye z j  x ln(1  z 2 )k 在点 P(1,1,0) 处的散度 divu  . (2) 【解】【例5】(2018年）向量场 F( x, y, z)  xyi  yzj  zxk [i k] 的旋度 rotF(1,1,0)  _______ . 【解】