(95)--笔记小节_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

高数基础班（4） 4 求极限方法举例（洛必达法则；泰勒公式；夹逼原理；单调有界准 P35-P47 则；定积分定义） 主讲 武忠祥 教授方法4 利用洛必达法则求极限 洛必达法则 若 1) lim f (x)  lim g(x)  0 (); xx xx 0 0 2） f ( x) 和 g( x) 在 x 的某去心邻域内可导,且 g  ( x)  0; 0  f (x) 3） lim 存在（或  );  xx g (x) 0  f (x) f (x) 则 lim  lim .  xx g(x) xx g (x) 0 0 0  注：1）适用类型 ; ; 0  ;   ; 1  ; 0 ; 0 0 . 0     1   0  0     0 2）解题思路 ,    0  0   0     lncos( x  1) 【例30】求极限 lim .  x1 1  sin x 2 lncos( x  1)  tan( x  1) 【解】 lim  lim （洛必达法则）    x1 x1 1  sin x  cos x 2 2 2 2 x  1  lim (tan( x  1) ~ x  1)   x1 cos x 2 2 1  lim （洛必达法则）    x1  sin x 2 2 4   2 【例31】(1988年3）求极限 lim(1  x 2 )tan x. x1 21 【例32】求极限 lim (x  1  x 2 )x . x 1 ln(x 1x 2 ) 【解】 lim (x  1  x 2 )x  lim e x x x 1 ln( x  1  x 2 ) 1  x 2 lim  lim  0 x x x 1 1 lim (x  1  x 2 )x  e 0  1 x【例33】设 f (x) 二阶可导 f (0)  0, f  (0)  1, f  (0)  2 f (x)  x 求极限 lim 2 x0 x f (x)  x f  (x)  1 【解1】 lim  lim （洛必达法则） 2 x0 x x0 2x 1 f  (x)  f  (0)  lim 2 x0 x  f (0)  （导数定义） 2  1 f (x)  x f  (x)  1 f  (x) f  (0) 【注】 lim  lim  lim   1 经典的错误 标准的0分 2 x0 x x0 2x x0 2 2【例33】设 f (x) 二阶可导 f (0)  0, f  (0)  1, f  (0)  2 f (x)  x 求极限 lim 2 x0 x  f (0) 【解2】 f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2 (x 2 ) 2! 即 f (x)  x  x 2 (x 2 ) f (x)  x x 2 (x 2 ) 则 li m  lim  1 2 2 x0 x x0 x方法5 利用泰勒公式求极限 定理（泰勒公式）设 在 处 阶可导，则 f ( x) x  x n 0 (n) f (x ) f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  o(x  x ) n 0 0 0 0 0 n! 几个常用的泰勒公式 2 n x x (1) e x  1  x     (x n ) 2! n! 3 2n1 x x (2) sin x  x     (1) n1 (x 2n ) 3! (2n  1)! 2 2n x x (3) cos x  1     (1) n (x 2n ) 2! (2n)! 2 n x x (4) ln(1  x)  x     (1) n1 (x n ) 2 n ( 1) ( 1)( n  1) (5) (1  x)   1 x  x 2    x n (x n ) 2! n!2 x  cos x  e 2 【例34】求极限 lim . 4 x0 x 2 4 x x 【解1】 cos x  1   (x 4 ) 2! 4! 2 x 2 2  x 1 x e 2  1   ( ) 2 (x 4 ) 2 2! 2 1 2 x   x 4 (x 4 ) cos x  e 2 1 12 lim  lim   x0 x 4 x0 x 4 12 2 2 x x   cos x  e 2  sin x  xe 2 【解2】 lim  lim 4 3 x0 x x0 4x 1 1 2 x  ( x 3 )  ( x 3 ) 1 (x  sin x)  x(1  e 2 ) 1 1 6 2  lim  lim   3 3 4 x0 x 4 x0 x 12ln(1  x)  (ax  bx 2 ) 【例35】(1994年3）设 ,则（ ）. lim  2 2 x0 x 5 （ A ） a  1,b   （ B ） a  0,b  2 2 5 （ C ） a  0,b   （ D ） a  1,b  2 2 1 1 [x  x 2 (x 2 )] (ax  bx 2 ) (1  a)x  (  b)x 2 (x 2 ) 5 【解1】 2 2 2  lim  lim a  1,b   x0 x 2 x0 x 2 2 ln(1  x)  (ax  bx 2 ) ln(1  x)  x 5 【解2】 lim  0 a  1, lim  b  2, b   . 2 x0 x x0 x 2 【解3】代入法 sin 6x  xf (x) 6  f (x) 【例36】(2000年2）若 lim   0, 则 li m x0 x 3  x0 x 2 （A）0 （B）6 （C）36 （D） 3 (6x) 6x  (x 3 )  xf (x)  sin 6x  xf (x) 3! 【解1】 0  lim   lim 3 3 x0 x  x0 x 6  f (x)  lim  36 2 x0 x  sin 6x  xf (x) 6x  xf (x) 6  f (x) 【注】 0  lim   lim  lim 经典的错误 标准的0分 x0 x 3  x0 x 3 x0 x 2 sin 6x  xf (x) 6  f (x) 【例36】(2000年2）若 则 lim   0, lim x0 x 3  x0 x 2 （A）0 （B）6 （C）36 （D）  sin 6x  xf (x) sin 6x  6x  6x  xf (x) 【解2】 0  lim   lim x0 x 3  x0 x 3 sin 6x  6x 6  f (x)  lim  lim 3 2 x0 x x0 x 1  (6x) 3 6  f (x) 6  lim  lim 3 2 x0 x x0 x 6  f (x)  36  lim 2 x0 x sin 6x  xf (x) 6  f (x) 【例36】(2000年2）若 则 lim   0, lim x0 x 3  x0 x 2 （A）0 （B）6 （C）36 （D） 【解3】 【解4】排除法(1  cos x)[x  ln(1  tan x)] 【例37】(2009年2）求极限 lim . 4 x0 sin x 1 x 2 [x  ln(1  tan x)] 1 x  ln(1  tan x) 【解1】原式 2  lim  lim 4 2 x0 x 2 x0 x 1 [x  tan x] [ln(1  tan x)  tan x]  lim 2 2 x0 x 1 1 [ x 3 ] [ tan 2 x] 1 3 2  lim 2 2 x0 x 1 1 1  (0  )  2 2 4(1  cos x)[x  ln(1  tan x)] 【例37】(2009年2）求极限 lim . 4 x0 sin x 1 x 2 [x  ln(1  tan x)] 【解2】原式 2  lim 4 x0 x 1 x  ln(1  tan x)  lim 2 2 x0 x 2 sec x 1  1 1  tan x  lim 2 x0 2x 1 tan x  (1  sec 2 x) 1 tan x  tan 2 x  lim  lim 4 x0 x 4 x0 x 1  4(1  cos x)[x  ln(1  tan x)] 【例37】(2009年2）求极限 lim . 4 x0 sin x 1 x 2 [x  ln(1  tan x)] 【解3】原式 2  lim 4 x0 x 1 x  ln(1  tan x)  lim 2 2 x0 x 1 x  [tan x  tan 2 x (tan 2 x)] 1 2  lim 2 2 x0 x 1 x  tan x 1 tan 2 x  lim  lim 2 2 2 x0 x 4 x0 x 1  x 3 2 1 1 x 1 3  lim  lim  2 2 2 x0 x 4 x0 x 4方法6 利用夹逼原理求极限  1 2 n  【例38】(1995年3） lim       nn 2  n  1 n 2  n  2 n 2  n  n【例39】 lim n 1  2 n  3 n n【例40】 l im n a n  a n    a n , 其中 a  0,(i  1,2,m) 1 2 m i n1 【例41】(2008年4）设 0  a  b ,则 lim(a n  b n )n  n （A） a （B） a 1 （C） b （D） 1 b2 x 【例42】 l im n 1  x n  ( ) n , (x  0). n 2方法7 利用单调有界准则求极限   1 1 【例43】设 x  0, x   x  ， n  1,2,. 求极限 lim x .   1 n1 n n 2 x  n n 【解】由题设知 x  0, 且 n 1  1  1  1  1 1 x    x      ( x ) 2  ( ) 2    2 x   1 n1 2 n x  2 n x 2 n x   n n n 1  1  1 1  x 2 x  x    x    n  0   n1 n n 2  x  2 x n n x 1  1  1  1 或 n1  1   1   1     x 2  x 2  2  1 n n lim x 存在，设 lim x  a. n n n n 1 1  a  a   lim x  1. n 2 a  n方法8 利用定积分定义求极限  1 1 1  【例44】求极限 lim       nn  1 n  2 n  n     1 1 1 1 【解】原式  lim       n n 1 2 n 1  1  1    n n n 1 1   dx 0 1  x 1  ln(1  x)  ln 2 0