笔记小节12_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（12） 12 定积分举例（定积分概念；定积分计算；变上限积分；）反常积分 P131-P149 主讲 武忠祥 教授常考题型与典型例题 常考题型 1.定积分的概念、性质及几何意义 2.定积分计算 3.变上限积分（一）定积分的概念、性质及几何意义 1 2 n 【例1】 lim(     )  _______ . n n 2  1 2 n 2  2 2 n 2  n 2 【解】1 1 1 【例2】(2012年2） lim n(     )  _______ .  ( ) n 1  n 2 2 2  n 2 n 2  n 2 4 【解】1 1 2 n 【例3】(2016年2,3） lim (sin  2sin    nsin )  _______ . (sin1cos1) 2 n n n n n 【解】n k k 【例4】(2017年1,2,3） lim  ln(1  )  _______ . 1 [ ] 2 n n n 4 k1 【解】【例5】(2007年1,2,3）如图，连续函数 y  f (x) 在区间 [3,2], [2,3] 上的图形分 别是直径为1的上、下半圆周，在区间 [2,0], [0,2] 的图形分别是直径为 2的下、 x 上半圆周. 设 F(x)   f (t)d t ,则下列结论正确的是（ ）.【解2】 0 3 5 （A） F(3)   F(2) （B） F(3)  F(2) 4 4 3 5 （C） （D） F(3)  F(2) F(3)   F(2) 4 4 【解1】【例6】(1997年1,2）设在区间 [a,b] 上 f (x)  0, f  (x)  0, b f  (x)  0 .令 S   f (x)d x, S  f (b)(b  a), 1 2 a 1 S  [ f (a)  f (b)](b  a) ，则（ ）. (B) 3 2 （A） S  S  S （B） S  S  S 2 1 3 1 2 3 （C） S  S  S （D） S  S  S 2 3 1 3 1 2 【解】  【例7】(2011年1,2,3）设 I   4 lnsin x d x, J   4 lncot x d x,  0 0 K   4 lncos x d x, 则 的大小关系为（ ） I, J , K 0 （A） I  J  K （B）I  K  J （C） J  I  K （D）K  J  I 【解】【例8】(2017年2）设二阶可导函数 满足 f (x) f (1)  f (1)  1, f (0)  1, 且 f  (x)  0, 则（ ） (B) 1 1 （A）  f (x)dx  0. （B）  f (x)dx  0. 1 1 0 1 0 1 （C）  f (x)dx   f (x)dx. （D）  f (x)dx   f (x)dx. 1 0 1 0 【解1】 【解2】【例9】(1991年1,2）设函数 在 上连续， 内可导， f (x) [0,1] (0,1) 1 且 3  f ( x)d x  f (0) ,证明在 (0,1) 内存在一点 c,使 f  (c)  0. 2 3 【解】（二）定积分的计算 π  【例10】(2001年2） 2 (x 3  sin 2 x)cos 2 xdx  ______ . ( ) 8 π  2 【解】 【例11】(2017年3） (sin 3 x  2  x 2 )dx  ______ . 3 [ ]  2 【解】1  【例 12】(2000年,1）  2x  x 2 dx  ______ . ( ) 4 0 【解1】 【解2】 【例13】  x sin 2 xdx  ____________ . 2 ( ) 4 0 【解】xdx 1 【例14】(2005年2）计算   . ( ) 0 (2  x 2 ) 1  x 2 4 【解】2 【例15】(2010年1）  x cos x d x  ____________ . (4) 0 【解】1 【例16】 计算  x arcsin xdx.  ( ) 0 8 【解1】 【解2】x sin t  【例17】(1995年3）设 f (x)   dt, 计算  f (x)dx. 0  t 0 【解1】 【解2】（三）变上限定积分 【例18】设 连续，试求下列函数的导数 f (x) 2 x x (1)  f (t)dt; (2)  (x  t) f (t)dt; x e 0 2 (3)  x cos( x  t) 2 dt (4)  f ( x  t)dt. 1 0 【解】2 x 【例19】(2015年2,3）设函数 f (x) 连续， (x)   xf (t)dt. 0 若 (1)  1, (1)  5, 则 f (1)  _______ . (2) 【解】d x 【例20】(1998年1）设 f ( x) 连续, 则  tf ( x 2  t 2 )dt  dx 0 （A） x f ( x 2 ) （B)  xf ( x 2 ) （C) 2 x f ( x 2 ) （D)  2xf (x 2 ) 【解1】 【解2】x 2 , 0  x  1, 【例21】(1993年3）已知 f (x)   设 1, 1  x  2, 【解2】 x F(x)   f (t)d t (0  x  2) ，则 为（ ）． F(x) (D) 1 1 1 1  x 3 , 0  x  1,  x 3  , 0  x  1, （Ａ） （B）   3 3 3  x, 1  x  2   x, 1  x  2 1 1 1  x 3 , 0  x  1,  x 3  , 0  x  1, （C）  （D） 3  3 3  x  1, 1  x  2  x  1, 1  x  2 【解1】x 【例22】(1988年3）设 x  1, 求  (1 | t |)dt. 1 【解】【例23】(2013年2） sin x, 0  x  , x 设函数 f (x)   F(x)   f (t)dt, 则  2,   x  2, 0 （A） 是函数 的跳跃间断点； x  F(x) （B） 是函数 的可去间断点； x  F(x) （C） 在 处连续但不可导； F(x) x  （D） 在 处可导. F(x) x  【解】【例24】(1998年2）确定常数 的值,使 a,b,c ax  sin x lim  c （ c  0 ）. 1 (a 1,b0,c  ) x0 x ln(1  t 3 ) 2  d t b t 【解】x  x  te t dt 【例25】(2017年2,3）求极限 lim 0 . 2 [ ] x0  x 3 3 【解1】 【解2】【例26】(2020,数一,数二) 当 x  0  时,下列无穷小量中最高阶的是( ) x x 2 A.  (e t  1)dt B.  ln(1  t 3 )dt 0 0 sin x 1cos x C.  sin t 2 dt D.  sin 3 tdt 0 0 【解1】【例26】(2020,数一,数二) 当 x  0  时,下列无穷小量中最高阶的是( ) x 2 x A.  (e t  1)dt B.  ln(1  t 3 )dt 0 0 sin x 1cos x C.  2 D.  3 sin t dt sin tdt 0 0 f (x) 【解2】 设 f ( x) 和 g( x) 在 x  0 的某邻域内连续,且 lim  1, x0 g(x) x x 则   f (t)dt ~ g(t)dt 0 0【例26】(2020,数一,数二) 当 x  0  时,下列无穷小量中最高阶的是( ) x 2 x A.  (e t  1)dt B.  ln(1  t 3 )dt 0 0 sin x 1cos x C.  2 D.  3 sin t dt sin tdt 0 0 【解3】 (x)  f (t)dt 0【例27】(2010,数三）设可导函数 y  y(x) 由方程 xy x d y  e t 2 d t   x sin t 2 d t 确定，则  ________ . [1] d x 0 0 x0 【解】第二节 反常积分 本节内容要点 一. 考试内容概要 （一）无穷区间上的反常积分 （二）无界函数的反常积分 二. 常考题型与典型例题 题型一 反常积分的敛散性 题型二 反常积分的计算（一）无穷区间上的反常积分  t 定义1  f (x)dx  lim  f (x)dx a t a b b 定义2  f (x)dx  lim  f (x)dx.  t t  0  定义3  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx   0定理1(比较判别法) 设 f (x), g(x) 在 [a,) 上连续，且 0  f (x)  g(x) ，则   1） g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛 a a   2） f (x)dx 发散   g(x)dx 发散 a a 定理2( 比较判别法的极限形式) f (x) 设 f ( x), g( x) 在 [a,) 非负连续，lim   ,则 x g(x)   1）当  0 时， f (x)dx 与  g(x)dx 同敛散; a a   2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛; a a   3）当   时， g(x)dx 发散   f (x)dx 发散. a a P  1 收敛  1 常用结论：  dx  (a  0) a x P P  1 发散【例1】判别下列反常积分的敛散性  x  x （1）  dx. （2）  dx. 1 1  x 2 1 1  x 2 【解1】 【解2】（二）无界函数的反常积分 定义1 设点 a 为函数 f (x) 的瑕点 b b  f (x)dx  lim  f (x)dx a ta  t 定义2 设点 为函数 f (x) 的瑕点 b b t  f (x)dx  lim  f (x)dx. a tb  a 定义3 设点 c 为函数 f (x) 的瑕点 (a  c  b) b c b  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx a a c定理1 (比较判别法) 设 f (x), g(x) 在 (a,b] 上连续，且 0  f (x)  g(x) ，则 b b 1） g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛； a a b b 2） f (x)dx 发散   g(x)dx 发散. a a 定理2 (比较判别法的极限形式) f (x) 设 f ( x), g( x) 在 (a,b] 非负连续，lim   ,则 xa  g(x) b b 1）当  0 时， f (x)dx 与  g(x)dx 同敛散; a a b b 2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛; a a b b 3）当   时， g(x)dx 发散   f (x)dx 发散. a a 1 1 P  1 收敛 b b 常用结论：  dx,  dx  a (x  a) P a (b  x) P P  1 发散【例2】判别下列反常积分的敛散性 dx 1  0 x  x 2 【解】