笔记小节17_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（17） 17 多元函数微分法及举例（复合函数微分法；隐函数微分法） P195-P206 主讲 武忠祥 教授第二节 多元函数微分法 本节内容要点 一. 考试内容概要 (一）复合函数微分法 （二）隐函数微分法 二. 常考题型与典型例题 题型一 复合函数的偏导数与全微分 题型二 隐函数的偏导数与全微分考试内容概要 （一）复合函数的微分法 定理4 设 在点 处有对 及对 u  u( x, y), v  v( x, y) (x, y) x y 的偏导数, 函数 在对应点 处有连续偏 z  f (u,v) (u,v) 导数,则 在点 处的两个偏导数 z  f [u(x, y),v(x, y)] (x, y) 存在, 且有 z z u z v z z u z v   ,   x u x v x y u y v y 全微分形式的不变性 设函数 z  f (u,v), u  u( x, y) 及 v  v( x, y) 都有连续的 一阶偏导数,则复合函数 的全微分 z  f [u(x, y),v(x, y)] z z z z d z  d x  d y  du  dv. x y u v（二）隐函数的微分法 1）由方程 F(x, y)  0 确定的隐函数 y  y( x)  F y    x .  F y 2）由方程 确定的隐函数 F( x, y, z)  0 z  z( x, y) 若 在点 的某一邻域内有连续 F(x, y, z) P(x , y , z ) 0 0 0 偏导数,且 则方程 F(x , y , z )  0, F  (x , y , z )  0. 0 0 0 z 0 0 0 在点 的某邻域可唯一确定一个 F(x, y, z)  0 (x , y , z ) 0 0 0 有连续偏导数的函数 z  z(x, y), 并有  z F  z F   x ,   y . x F  y F  z z常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 复合函数及隐函数的偏导数与全微分的计算一.复合函数偏导数与全微分 sin t xy 【例1】(2011年1）设函数 ，则 F(x, y)   d t 0 1  t 2 2 F  _______ . x 2 x0 y2 F ysin xy 【解1】  x 1  x 2 y 2 2 F y 2 cos( xy)(1  x 2 y 2 )  2xy 3 sin xy  x 2 (1  x 2 y 2 ) 2 2 F 故  4. x 2 x0 y2sin t xy 【例1】(2011年1）设函数 ，则 F(x, y)   d t 0 1  t 2 2 F  _______ . x 2 x0 y2 F ysin xy 2sin 2x 【解2】  F (x,2)  x 1  x 2 y 2 x 1  4x 2 2 F 2sin 2x  F (0,2)  lim x 2 x0 xx x0 x(1  4x 2 ) y2 4x  lim  4 x0 x(1  4x 2 )x x 【例2】(2011年3）设 z  (1 ) y , 则 dz  _________ . [(12ln2)(dx dy)] y (1,1) 【解1】 【解2】【例3】(2007年,1)设 f (u,v) 为二元可微函数， z  f (x y , y x ) ， z 则 [yxy1f  yx ln yf ]  _________ . 1 2 x 【解1】 【解2】【例4】(2024,数一）设函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且 df  3du  4dv, (1,1) 2 d y 令 y  f (cos x,1  x 2 ), 则  ____________ . 2 dx x0 【解1】由 df  3du  4dv, f  (1,1)  3, f  (1,1)  4. u v (1,1) dy  f  (u,v)( sin x)  f  (u,v)(2x) u v dx 2 d y  d   d   f  (u,v) ( sin x)  f  (u,v)( cos x)  f  (u,v) (2x)  2 f  (u,v)     2 u v v dx dx  dx  2 d y   f  (1,1)  2 f  (1,1)  5 2 u v dx x0 【解2】令 f (u,v)  3u  4v y  f (cos x,1  x 2 )  3cos x  4(1  x 2 )【例5】(2019年3) 设函数 具有2阶连续偏导数,函数 f (u,v) 2 g 2 g 2 g g(x, y)  xy  f (x  y, x  y), 求   . [13f  f ] x 2 xy y 2 11 22 【解】【例6】(2009年2)设 z  f (x  y, x  y, xy) ,其中 f 具有二阶 2 z 连续偏导数，求 与 . d z xy z z 【解】  f   f   yf   f   f   xf  x 1 2 3 y 1 2 3 z z d z  d x  d y  ( f   f   yf  )d x  ( f   f   xf  )d y x y 1 2 3 1 2 3 2 z  f   f   xf   f   f   xf   f   y( f   f   xf  ) xy 11 12 13 21 22 23 3 31 32 33  f   (x  y) f   f   (x  y) f   xyf   f  11 13 22 23 33 3【例7】(2011年1,2) 设函数 z  f (xy, yg(x)) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x) 可导且在 x  1 处取得极值 2 z g(1)  1. 求 . xy x1 y1 【解1】由 知 z  f (xy, yg(x)) z  yf   yg  (x) f  , x 1 2 2 z  f  y[xf   g(x) f  ] g  (x) f   yg  (x)[xf   g(x) f  ]. xy 1 11 12 2 21 22 由题意 g(1)  1, g  (1)  0, 在上式中令 x  1, y  1 得 2 z  f  (1,1)  f  (1,1)  f  (1,1). xy 1 11 12 x1 y1【例7】(2011年1,2) 设函数 z  f (xy, yg(x)) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x) 可导且在 x  1 处取得极值 2 z g(1)  1. 求 . xy x1 y1 【解2】由 知 z  f (xy, yg(x)) z  yf   yg  (x) f  , x 1 2 由题意 g(1)  1, g  (1)  0, 在上式中令 x  1 得 z (1, y)  yf  ( y, y) x 1 z (1, y)  f  ( y, y)  y[ f  ( y, y)  f  ( y, y)] xy 1 11 12 2 z  f  (1,1)  f  (1,1)  f  (1,1). xy 1 11 12 x1 y1【例8】(2014年1,2）设函数 具有二阶连续导数， f (u) 2 z 2 z z  f (e x cos y) 满足   (4z  e x cos y)e 2x . x 2 y 2 若 f (0)  0, f  (0)  0, 求 f (u) 的表达式。 【解】令 e x cos y  u, 则 z z  f  (u)e x cos y,   f  (u)e x sin y, x y 2 z  f  (u)e 2x cos 2 y  f  (u)e x cos y x 2 2 z  f  (u)e 2x sin 2 y  f  (u)e x cos y y 2 f  (u)  4 f (u)  u f  (u)  4 f (u)  u f (u)  C e 2u  C e 2u f   au  b, 1 21 a   ,b  0. 4 1 f (u)  C e 2u  C e 2u  u 1 2 4 f (0)  0, f  (0)  0 1 1 C  ,C   , 1 2 16 16 1 f (u)  (e 2u  e 2u  4u) 16二、隐函数的偏导数与全微分 【例9】(2015年2，3）若函数 z  z(x, y) 由方程 e x2y3z  xyz  1 确定，则 dz  ________ . (0,0) 【解1】由 知 x  0, y  0 z  0 方程 e x2y3z  xyz  1 两端微分得 e x2y3z (dx  2dy  3dz)  yzdx  xzdy  xydz  0 将 x  0, y  0, z  0 代入上式得 dx  2dy  3dz  0 1 则 dz   (dx  2dy). (0,0) 3【例9】(2015年2，3）若函数 z  z(x, y) 由方程 e x2y3z  xyz  1 确定，则 dz  ________ . (0,0) 【解2】由 知 x  0, y  0 z  0 dz  z (0,0)dx  z (0,0)dy (0,0) x y 在 e x2y3z  xyz  1 中令 y  0 得， e x3z  1, 两边对 x 求导得 e x3z (1  3z )  0, x 1 z (0,0)   x 3 2 同理可得 z (0,0)   y 3 1 则 dz   (dx  2dy). (0,0) 3【例10】(2024,数三）设函数 z  z(x, y) 由方程 z  e x  y ln(1  z 2 )  0 确定,求 2 z 2 z (  ) . x 2 y 2 (0,0) 【解】由 z  e x  y ln(1  z 2 )  0 可知 z(0,0)  1 ，且 z 2 yz z z  e x   0,  1. x 1  z 2 x x (0,0) z 2 z 2 z 上式中令 y  0 得  e x  0 ，  e x  0,  1. x x 2 x 2 (0,0) 等式 z  e x  y ln(1  z 2 )  0 两端对 y 求偏导得 2 z 2 z (  )  1  2ln 2 z 2 yz z z  ln(1  z 2 )   0,  ln 2. x 2 y 2 (0,0) y 1  z 2 y y (0,0) 2 z 2z z 2z z   2z z  2 z    y    0,  2ln 2. y 2 1  z 2 y 1  z 2 y y  1  z 2 y  y 2 (0,0) y z  【例11】(2010年1,2）设函数 z  z(x, y) 由方程 F ,   0  x x  z z 确定，其中 为可微函数,且 F   0 ，则 x  y （ ）． F 2 x y （ A ） x （B ） z （ C ）  x （D）  z y z 1  F  F F z x 2 1 x 2 2 z x 1 【解】   ,   , x 1 y 1 F F 2 2 x x y z y  F  F F z z 1 2 1 x x x x  y     z x y 1 1 F F 2 2 x x 故应选（B）.【例12】(2001年3）设 u  f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数， 又函数 y  y(x) 及 z  z(x) 分别由下列两式确定： xz sin t d u e xy  xy  2 和 e x   d t, 求 . 0 t d x d u f f d y f d z 【解1】    . (1) d x x y d x z d x 由 e xy  xy  2 两边对 x 求导，得  d y   d y  d y y e xy  y  x    y  x   0,   .  d x   d x  d x x xz sin t 又由 e x   d t 两边对 x 求导，得 0 t sin( x  z)  d z  d z e x (x  z) e x   1  ,  1  . x  z  d x  d x sin( x  z) d u f y f  e x (x  z)  f    1  .   d x x x y  sin( x  z) z【例12】(2001年3）设 u  f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数， 又函数 y  y(x) 及 z  z(x) 分别由下列两式确定： xz sin t d u e xy  xy  2 和 e x   d t, 求 . 0 t d x f f f 【解2】 d u  dx  dy  dz (1) x y z 等式 e xy  xy  2 两端微分得 y e xy ( ydx  xdy)  ( ydx  xdy)  0, dy   dx x xz sin t 等式 e x   d t 两端微分得 0 t sin( x  z) e x (x  z) e x dx  (dx  dz) dz  (1  )dx. x  z sin( x  z) f y f  e x (x  z)  f du  [   1  ]dx   x x y  sin( x  z) z【例13】(2008年3）设 z  z(x, y) 是由方程 x 2  y 2  z  (x  y  z) 所确定的函数,其中 具有二阶导数，且   1. （I）求 d z 1  z z  u （II）记 u(x, y)    ，求 x  y  x y  x 【解1】（I）设 ，则 F(x, y, z)  x 2  y 2  z (x  y  z) z F  2x  z F  2 y    x    y  x F  1  y F  1  z z z z 1 d z  d x  d y  [(2x  )d x  (2 y  )d y]. x y 1  2 （II）由于 ，所以 u(x, y)  1  u  2  z  2(2x  1)  1     . x (1  ). 2  x  (1  ) 3【例13】(2008年3）设 z  z(x, y) 是由方程 x 2  y 2  z  (x  y  z) 所确定的函数,其中 具有二阶导数，且   1. （I）求 d z 1  z z  u （II）记 u(x, y)    ，求 x  y  x y  x 【解2】（I）对等式 x 2  y 2  z  (x  y  z) 两端求微分，得 2x d x  2 y d y  d z   (d x  d y  d z). 解出 d z ，得 2x  2 y  d z  d x  d y. 1  1  （II）同解1 .