笔记小节04_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（4）
4 求极限方法举例（洛必达法则；泰勒公式；夹逼原理；单调有界准 P35-P47
则；定积分定义）
主讲 武忠祥 教授方法4 利用洛必达法则求极限
洛必达法则
若 1)
lim f (x)  lim g(x)  0 ();
xx xx
0 0
2） f ( x) 和 g( x) 在 x 的某去心邻域内可导,且 g  ( x)  0;
0

f (x)
3） lim 存在（或  );

xx g (x)
0

f (x) f (x)
则
lim  lim .

xx g(x) xx g (x)
0 0
0 
注：1）适用类型 ; ; 0  ;   ; 1  ; 0 ; 0 0 .
0 
  
1
 
0  0     0
2）解题思路
,  

0  0
  0

  
lncos( x  1)
【例30】求极限
lim .

x1
1  sin x
2
lncos( x  1)  tan( x  1)
【解】
lim  lim （洛必达法则）
  
x1 x1
1  sin x  cos x
2 2 2
2 x  1
 lim (tan( x  1) ~ x  1)


x1
cos x
2
2 1
 lim （洛必达法则）
  
x1
 sin x
2 2
4
 
2
【例31】(1988年3）求极限
lim(1  x 2 )tan x.
x1 21
【例32】求极限
lim (x  1  x 2 )x .
x
1 ln(x 1x 2 )
【解】
lim (x  1  x 2 )x  lim e x
x x
1
ln( x  1  x 2 )
1  x 2
lim  lim  0
x x x 1
1
lim (x  1  x 2 )x  e 0  1
x【例33】设 f (x) 二阶可导 f (0)  0, f  (0)  1, f  (0)  2
f (x)  x
求极限
lim
2
x0 x
f (x)  x f  (x)  1
【解1】
lim  lim （洛必达法则）
2
x0 x x0 2x
1 f  (x)  f  (0)
 lim
2 x0 x

f (0)
 （导数定义）
2
 1
f (x)  x f  (x)  1 f  (x) f  (0)
【注】
lim  lim  lim   1 经典的错误 标准的0分
2
x0 x x0 2x x0 2 2【例33】设 f (x) 二阶可导 f (0)  0, f  (0)  1, f  (0)  2
f (x)  x
求极限
lim
2
x0 x

f (0)
【解2】 f (x)  f (0)  f  (0)x  x 2 (x 2 )
2!
即 f (x)  x  x 2 (x 2 )
f (x)  x x 2 (x 2 )
则 li m  lim  1
2 2
x0 x x0 x方法5 利用泰勒公式求极限
定理（泰勒公式）设 在 处 阶可导，则
f ( x) x  x n
0
(n)
f (x )
f (x)  f (x )  f  (x )(x  x )    0 (x  x ) n  o(x  x ) n
0 0 0 0 0
n!
几个常用的泰勒公式
2 n
x x
(1) e x  1  x     (x n )
2! n!
3 2n1
x x
(2) sin x  x     (1) n1 (x 2n )
3! (2n  1)!
2 2n
x x
(3) cos x  1     (1) n (x 2n )
2! (2n)!
2 n
x x
(4) ln(1  x)  x     (1) n1 (x n )
2 n
( 1) ( 1)( n  1)
(5) (1  x)   1 x  x 2    x n (x n )
2! n!2
x

cos x  e 2
【例34】求极限
lim .
4
x0 x
2 4
x x
【解1】 cos x  1   (x 4 )
2! 4!
2
x 2 2
 x 1 x
e 2  1   ( ) 2 (x 4 )
2 2! 2
1
2
x
  x 4 (x 4 )
cos x  e 2 1
12
lim  lim  
x0 x 4 x0 x 4 12
2 2
x x
 
cos x  e 2  sin x  xe 2
【解2】 lim  lim
4 3
x0 x x0 4x
1 1
2
x
 ( x 3 )  ( x 3 )
1 (x  sin x)  x(1  e 2 ) 1 1
6 2
 lim  lim  
3 3
4 x0 x 4 x0 x 12ln(1  x)  (ax  bx 2 )
【例35】(1994年3）设 ,则（ ）.
lim  2
2
x0 x
5
（
A
） a  1,b   （
B
） a  0,b  2
2
5
（ C ） a  0,b   （ D ） a  1,b  2
2
1 1
[x  x 2 (x 2 )] (ax  bx 2 ) (1  a)x  (  b)x 2 (x 2 )
5
【解1】 2 2
2  lim  lim a  1,b  
x0 x 2 x0 x 2 2
ln(1  x)  (ax  bx 2 ) ln(1  x)  x 5
【解2】 lim  0 a  1, lim  b  2, b   .
2
x0 x x0 x 2
【解3】代入法 sin 6x  xf (x) 6  f (x)
【例36】(2000年2）若 lim   0, 则 li m
x0 x 3  x0 x 2
（A）0 （B）6 （C）36 （D）
3
(6x)
6x  (x 3 )  xf (x)
 sin 6x  xf (x)
3!
【解1】
0  lim   lim
3 3
x0 x  x0 x
6  f (x)
 lim  36
2
x0 x
 sin 6x  xf (x) 6x  xf (x) 6  f (x)
【注】
0  lim   lim  lim 经典的错误 标准的0分
x0 x 3  x0 x 3 x0 x 2 sin 6x  xf (x) 6  f (x)
【例36】(2000年2）若 则
lim   0, lim
x0 x 3  x0 x 2
（A）0 （B）6 （C）36 （D）
 sin 6x  xf (x) sin 6x  6x  6x  xf (x)
【解2】 0  lim   lim
x0 x 3  x0 x 3
sin 6x  6x 6  f (x)
 lim  lim
3 2
x0 x x0 x
1
 (6x) 3
6  f (x)
6
 lim  lim
3 2
x0 x x0 x
6  f (x)
 36  lim
2
x0 x sin 6x  xf (x) 6  f (x)
【例36】(2000年2）若 则
lim   0, lim
x0 x 3  x0 x 2
（A）0 （B）6 （C）36 （D）
【解3】
【解4】排除法(1  cos x)[x  ln(1  tan x)]
【例37】(2009年2）求极限
lim .
4
x0 sin x
1
x 2 [x  ln(1  tan x)]
1 x  ln(1  tan x)
【解1】原式 2
 lim  lim
4 2
x0 x 2 x0 x
1 [x  tan x] [ln(1  tan x)  tan x]
 lim
2
2 x0 x
1 1
[ x 3 ] [ tan 2 x]
1
3 2
 lim
2
2 x0 x
1 1 1
 (0  ) 
2 2 4(1  cos x)[x  ln(1  tan x)]
【例37】(2009年2）求极限
lim .
4
x0 sin x
1
x 2 [x  ln(1  tan x)]
【解2】原式 2
 lim
4
x0 x
1 x  ln(1  tan x)
 lim
2
2 x0 x
2
sec x
1 
1
1  tan x
 lim
2 x0 2x
1 tan x  (1  sec 2 x) 1 tan x  tan 2 x
 lim  lim
4 x0 x 4 x0 x
1

4(1  cos x)[x  ln(1  tan x)]
【例37】(2009年2）求极限
lim .
4
x0 sin x
1
x 2 [x  ln(1  tan x)]
【解3】原式 2
 lim
4
x0 x
1 x  ln(1  tan x)
 lim
2
2 x0 x
1
x  [tan x  tan 2 x (tan 2 x)]
1
2
 lim
2
2 x0 x
1 x  tan x 1 tan 2 x
 lim  lim
2 2
2 x0 x 4 x0 x
1
 x 3
2
1 1 x 1
3
 lim  lim 
2 2
2 x0 x 4 x0 x 4方法6 利用夹逼原理求极限
 1 2 n 
【例38】(1995年3） lim    
 
nn 2  n  1 n 2  n  2 n 2  n  n【例39】 lim n 1  2 n  3 n
n【例40】 l im n a n  a n    a n , 其中 a  0,(i  1,2,m)
1 2 m i
n1
【例41】(2008年4）设
0  a  b
,则
lim(a
n
 b
n
)n 
n
（A） a （B） a 1
（C） b （D） 1
b2
x
【例42】 l im n 1  x n  ( ) n , (x  0).
n 2方法7 利用单调有界准则求极限
 
1 1
【例43】设 x  0, x   x  ， n  1,2,. 求极限 lim x .
 
1 n1 n n
2 x  n
n
【解】由题设知 x  0, 且
n
1  1  1  1  1 1
x    x      ( x ) 2  ( ) 2    2 x   1
n1 2 n x  2 n x 2 n x
 
n n n
1  1  1 1  x 2
x  x    x    n  0
 
n1 n n
2  x  2 x
n n
x 1  1  1  1
或 n1  1   1   1
   
x 2  x 2  2  1
n n
lim x 存在，设 lim x  a.
n n
n n
1 1 
a  a   lim x  1.
n
2 a  n方法8 利用定积分定义求极限
 1 1 1 
【例44】求极限
lim    
 
nn  1 n  2 n  n
 
 
1 1 1 1
【解】原式
 lim    
 
n n 1 2 n
1  1  1  
 n n n
1
1
  dx
0 1  x
1
 ln(1  x)  ln 2
0