笔记小节06_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（6） 6 导数与微分的概念及几何意义，导数公式及求导法则（有理运算； P61-P72 隐函数、反函数、参数方程求导法；对数求导法） 主讲 武忠祥 教授第二章 导数与微分 本章内容要点 一. 考试内容概要 （一）导数与微分的概念 （二）导数公式与求导法则 （三）高阶导数二. 常考题型与典型例题 题型一 导数定义 题型二 复合函数、隐函数、参数方程求导 题型三 高阶导数 题型四 导数应用第二章 导 数 与 微 分 考试内容概要 （一）导数与微分的概念 1. 导数的概念 y f (x  x)  f (x ) 定义1(导数) f  ( x )  lim  lim 0 0 0 x0 x x0 x f (x)  f (x ) f  (x )  lim 0 0 xx x  x 0 0 y f (x  x)  f (x ) 定义2(左导数) f  ( x )  lim  lim 0 0  0 x0  x x0  x y f (x  x)  f (x ) 定义3(右导数) f  (x )  lim  lim 0 0  0 x0  x x0  x定理1 可导 左右导数都存在且相等  定义4(区间上可导及导函数) 2  x 3 , x  1, 【例1】(1994年3）设 则 在 处的（ ）. f (x)  3 f (x) x  1   x 2 , x  1, （A）左、右导数都存在 （B）左导数存在但右导数不存在 （C）左导数不存在但右导数存在 （D）左、右导数都不存在【例2】(1990年4,5)设函数 f (x) 对任意 x 均满足等式 f (1  x)  af (x) ,且有 f  (0)  b ,其中 a,b 为非零常数，则（ ）. （A）f (x) 在 x  1 处不可导; （B）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  a; （C）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  b; （D）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  ab. 【解1】直接法 f (1  x)  f (1) f  (1)  lim x0 x 【解2】直接法 f (x)  f (1) f  (1)  lim x1 x  1【例2】(1990年4,5)设函数 f (x) 对任意 x 均满足等式 f (1  x)  af (x) ,且有 f  (0)  b ,其中 a,b 为非零常数，则（ ）. （A）f (x) 在 x  1 处不可导; （B）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  a; （C）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  b; （D）f (x) 在 x  1 处可导,且 f  (1)  ab. f (1  x) b 【解4】排除法  a, f (x)  Aa x , f (x)  a x f (x) ln a 【解4】排除法 取 a  1, f (1  x)  f (x)2. 微分的概念 定义5（微分） 如果 可以表示为 y  f (x  x)  f (x ) 0 0 y  Ax  o(x) (x  0) 则称函数 在点 处可微, 称 为微分, 记为 f ( x) x Ax 0 d y  Ax 定理2 函数 在点 处可微的充分必要条件是 y  f (x) x 0 在点 处可导, 且有 f ( x) x 0 d y  f  (x )x  f  (x )d x. 0 01 【例3】(1988年1,2,3)若函数 y  f (x) 有 f  (x )  ,则当 0 2 Δ x  0 时,该函数在 x  x 处的微分 d y 是（ ） 0 （A）与 Δ x 等价的无穷小; （B）与 Δ x 同阶的无穷小; （C）比 Δ x 低阶的无穷小; （D）比 Δ x 高阶的无穷小.3. 导数与微分的几何意义 1）导数的几何意义：导数  f ( x ) 0 在几何上表示曲线 y  f (x) y T 在点 处切线的斜率。 ( x , f ( x )) N 0 0 P o(x) 切线方程 y M dy y  f (x )  f  (x )(x  x ). y  f (x) x 0 0 0 法线方程 ） o 1 x x  x x y  f (x )   (x  x ). 0 0 0  0 f (x ) 0 2）微分的几何意义：微分 dy  f  (x )dx 在几何上表示 0 曲线 的切线上的增量。 y  f (x) y  f (x  x)  f (x ) y  dy 0 0【例4】(2004年1)曲线 y  ln x 上与直线 x  y  1 垂直的切线 ( y  x  1) 方程为 _____ .4. 连续,可导,可微之间的关系 连续 可导 可微 1  x 2 sin , x  0, 【例】证明： f (x)   x   0, x  0. 处处可导，但  不存在. lim f (x) x0  在 x 处连续 f (x) 的某邻 0 f (x) 在 x 0 域可导  lim f (x) 存在 xx 0 【例33】设 f (x) 二阶可导 f (0)  0, f  (0)  1, f  (0)  2 f (x)  x 求极限 lim 2 x0 x f (x)  x f  (x)  1 f  (x) f  (0) 【注】 lim  lim  lim   1 经典的错误 标准的0分 2 x0 x x0 2x x0 2 2条件 使用洛必达法则最多可用到 1） f (x)n 阶可导 f (n1) (x) 2） f (x)n 阶连续可导 f (n) (x) f (x)  x 【例33】设 f (x) 二阶可导 f (0)  0, f  (0)  1, f  (0)  2 求极限 lim 2 x0 x f (x)  x f  (x)  1 【解】 lim  lim （洛必达法则） 2 x0 x x0 2x 1 f  (x)  f  (0)  lim 2 x0 x  f (0)  （导数定义） 2  1【例5】(2020年1）设函数 f ( x) 在区间 (1,1) 内有定义,且 lim f ( x)  0, 则 x0 f ( x) （A）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导； x0 x f ( x) （B）当 lim  0, f ( x) 在 x  0 处可导； 2 x0 x f ( x) （C）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0 ； x0 x f ( x) （D）当 f ( x) 在 x  0 处可导时， lim  0. 2 x0 x（二）导数公式及求导法则 1. 基本初等函数的导数公式 1） (C)   0 2） (x  )  x 1 3） (a x )   a x ln a 4） (e x )   e x 1 1 5）(log x)   6) (ln x )   a x ln a x 7) (sin x)   cos x 8) (cos x)    sin x 9) (tan x)   sec 2 x 10) (cot x)    csc 2 x 11） (sec x)   sec x tan x 12） (csc x)    csc x cot x 1 1 13) (arcsin x)   14) (arccos x)    1  x 2 1  x 2 1 1 15) (arctan x)   16) (arc cot x)    1  x 2 1  x 22. 求导法则 (1) 有理运算法则 1) (u  v)   u   v  2) (uv)   u  v  uv  u u  v  uv  3) ( )   (v  0) 2 v v （2）复合函数求导法： 设 可导，则 u (x), y  f (u) y  f [(x)] dy dy du    f  (u) (x) dx du dx 1 【例6】(1995年2)设 y  cos( x 2 )sin 2 ,则 y   _______ . x【例7】设函数 可导,试证 f (x) 1）若 是奇函数,则  是偶函数; f (x) f (x) 2）若 是偶函数,则  是奇函数; f (x) f (x) 3）若 是周期函数,则  也是周期函数. f (x) f (x) 【例8】（2022年3）已知函数 f (x)  e sin x  e sin x ，则 f  (2)  ________ .（3）隐函数求导法： dy F F(x, y)  0   x dx F y 【例9】(1993年3)函数 y  y(x) 由方程 y2 ex 2xcos(x2  y2) [ ] 2ycos(x2  y2)2xy d y 所确定,则 sin( x 2  y 2 )  e x  xy 2  0  __________ . d x（4）反函数的导数； 若 y  f ( x) 可导,且 f  (x)  0, 则其反函数 x ( y) 也可导，且 1 dx 1  ( y)   f  (x) dy dy dx 1 【例10】证明 (arcsin x)   . 1  x 2（5）参数方程求导法：  x (t) 设 是由 确定的函数，则 y  y( x) ( t  )  ,  y (t) 1) 若(t) 和 (t) 都可导，且  (t)  0 dy  (t)  dx  (t) 2）若 (t) 和 (t) 二阶可导，且  (t)  0, 则 d 2 y d  (t) 1  (t) (t)  (t) (t)  ( )  dx 2 dt  (t)  (t) 3 (t) x  t 2  1 d 2 y 【例11】(2020年1,2)设  ，则  _________ . （ 2)  y  ln(t  t 2  1) dx 2 t1 【解1】 【解2】（6）对数求导法： 【例12】（2005年2）设 y  (1  sin x) x ，则 d y  _______ . [dx] x(x  1)(x  2) 【例13】 设 y  ，求 y  . (x  3)(x  4)