笔记小节21_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（21） 21 幂级数（概念、性质、函数展开为幂级数，级数求和及举例） P232-P243 主讲 武忠祥 教授第二节 幂级数 本节内容要点 一. 考试内容概要 (一）收敛半径 收敛区间 收敛域 （二）幂级数的性质 （三）函数的幂级数展开 二. 常考题型与典型例题 题型一 求收敛半径、收敛区间及收敛域 题型二 将函数展开为幂级数 题型三 级数求和考试内容概要 (一）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域  定义1 形如  a x n  a  a x  a x 2    a x n   n 0 1 2 n n0   a (x  x ) n  a  a (x  x )    a (x  x ) n   n 0 0 1 0 n 0 n0 定理1 (阿贝尔定理)  (1)若  a x n 当 x  x (x  0) 时收敛,则当 | x || x | 时， n 0 0 0 n1   n 绝对收敛. a x n n1   (2)若  a x n当 x  x 时发散,则当 | x || x | 时， a x n发散. n 0 0 n n1 n1 定理2 幂级数  a x n 的收敛性有且仅有以下三种可能 n n0 （1）对任何 x  (,) 都收敛; （2）仅在 x  0 处收敛; （3）存在一个正数 当 时绝对收敛, 当 R, x  R x  R 时发散.  【注】若幂级数  a x n 在点 x  x 处条件收敛，则点 x n 0 0 n0 必为该幂级数收敛区间 (R, R) 的一个端点.a 1 定理3 如果 lim n1  , 则 R  . n a  n 1 定理4 如果 lim n | a |  , 则 R  . n n  （二）幂级数的性质 1)有理运算性质   设  a x n 的收敛半径为 R ,  b x n 的收敛半径为 R , n 1 n 2 n0 n0   令 R  min R , R ，则当 x  (R, R) 1 2    （1)加减法：  a x n   b x n   (a  b )x n n n n n n0 n0 n0    （2)乘法： (  a x n ) (  b x n )   c x n n n n n0 n0 n0 c  a b  a b    a b n 0 n 1 n1 n 0  n a x n  （3）除法: n  0   c x n ,  n  b x n n0 n n0 2)分析性质：  设幂级数  a x n 的 收敛半 径为 R ,和函数为 S(x). 则 n n0 (1)连续性: 在收敛域上连续; S(x) (2)可导性:S(x) 在 (R, R) 上可导,且可逐项求导, 半径不变.即       S  (x)    a x n    (a x n )    na x n1 n n n   n0 n0 n0(3)可积性: 在收敛域上可积,且可逐项积分, S(x) 半径不变.即    1 x x x  S(x)d x    a x n d x    a x n d x   a x n1 . n n n 0 0 0 n  1 n0 n0 n0 （三）函数的幂级数展开 定理1 如果函数 f (x) 在区间 (x  R, x  R) 上能展开为 0 0  x  x 的幂级数 f (x)   a (x  x ) n , 则,其展开式是唯一的， 0 n 0 n0  (n) f (x )  0 (x  x ) n 0 n! n0 f (x) 在 x  x 处的泰勒级数. 0 (n) f (x ) 定理2 设 f (x) 在 x  x 处任意阶可导,则  0 (x  x ) n 0 n! 0 n0 在 (x  R, x  R) 上收敛于 f (x)  lim R ( x)  0. 0 0 n n f (n1) () 其中 R ( x)  ( x  x ) n1 为 f (x) 在 x 处的泰勒公式 n (n  1)! 0 0 n (k) f (x ) f (x)   0 (x  x ) k  R (x) 0 n k! k0 中的余项.几个常用的展开式 1 (1)  1  x  x 2    x n  ; (1  x  1) 1  x 2 n x x (2) e x  1  x       (  x  ) 2! n! x 3 (1) n1 x 2n1 (3) sin x  x       (  x  ) 3! (2n  1)! x 2 (1) n1 x 2n (4) cos x  1       (  x  ) 2! (2n)! x 2 (1) n1 x n (5) ln(1  x)  x       (1  x  1) 2 n ( 1) ( 1)( n  1) (6) (1  x)   1 x  x 2    x n   2! n! (1  x  1)函数展开为幂级数的两种方法 1）直接展开法  (n) f (x ) 第一步 f (x) ~  0 (x  x ) n 0 n! n0 f (n1) () 第二步 考查 lim R ( x)  lim ( x  x ) n1  0 n n n (n  1)! 0 是否成立. 2）间接展开法 根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开 式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导，逐项积分） 及变量代换等方法，求得所给函数的展开式.常 考 题 型 与 典 型 例 题 常考题型 1.求收敛半径、收敛区间、收敛域； 2.将函数展成幂级数； 3.求幂级数的和函数.一．求收敛半径、收敛区间及收敛域  e n  (1) n 1 【例1】(09年3）幂级数  n 的收敛半径为_______. [ ] x e 2 n n1 【解1】 【解2】 n 【例2】(1995年1）幂级数  x 2n1 的收敛半径 R  ___________ . 2 n  (3) n n1 [ 3] 【解】 n 1 x 【例3】(00年1）求幂级数  的收敛区间,并讨论 3 n   2 n n n1 该区间端点处的收敛性.  n  2  1      n [3 n  (2) n ]n  3   1 【解】 lim  lim  n[3 n1  (2) n1 ](n  1) n   2 n1 3 3  1      (n  1)  3   1 1 1 1 或 li m a  lim  lim  n n n n 3 n  (2) n n n 3 n 2 3 n 1  ( ) n 3 所以收敛半径为3，收敛区间为 (3,3)  n 1 3 1 1  当 时， 且 发散,原级数发散. x  3   , 3 n  (2) n n 2n n n1 (3) n 1 1 2 n 1 当 x  3 时，   (1) n   3 n  (2) n n n 3 n  (2) n n 且都收敛，原级数收敛. 【例4】(2008年1）已知幂级数  a (x  2) n 在 x  0 处收敛,在 n n0  x  4 处发散，则幂级数  a (x  3) n 的收敛域为 ___________. n n0 【解】 【例5】若级数  条件收敛，则 与 a x  3 x  3 n n1  依次为幂级数  na (x  1) n的 n n1 （A）收敛点，收敛点. （B）收敛点，发散点. （C）发散点，收敛点. （D）发散点，发散点.   【解】由级数  a 条件收敛可知幂级数  a (x  1) n 在 x  2 n n n1 n1  处条件收敛，则 x  2 为幂级数  a (x  1) n 的收敛区间的端点, n n1  故其收敛半径为 由幂级数的性质可知幂级数  na (x  1) n 1. n n1 的收敛半径也为 1. 由于 则 为收敛点， 3  1  1, 3  1  1. x  3 x  3 为发散点，故应选（B）.二．将函数展开为幂级数 x 【例6】(06年1）将函数 f (x)  展开成 x 的幂级数. 2  x  x 2 x x  1 1  【解】因为     2  x  x 2 3  1  x 2  x   1   (1) n x n , x  1 1  x n0  n 1 1 1 x    , x  2 2  x 2 x 2 n1 1  n0 2 x x  1 1      2  x  x 2 3  1  x 2  x   1  1    (1) n  x n1 , x  1.   n1 3  2  n01 【例7】(2007年3）将函数 f (x)  展开成 x  1 x 2  3x  4 的幂级数，并指出其收敛区间. 1 1  1 1  【解】 因为     x 2  3x  4 5 x  4 x  1 1 1 1 1 1   x  1 n         , x (2,4) x  4 (x  1)  3 3 x  1 3  3  1  n0 3 1 1 1 1 1   x  1 n        , x (1,3) x  1 (x  1)  2 2 x  1 2  2  1  n0 2 1 1   1 (1) n  所以     (x  1) n , x (1,3).   x 2  3x  4 5 3 n1 2 n1  n0【例8】将函数 f (x)  ln( x 2  x) 在 x  1 处展开为幂级数.  (1)n1 1 [ln2 (1 )(x1)n, x1 1] n 2n n1 【解】 【例9】将函数 f (x)  sin x 在 x  处展开为幂级数. 4   2   【解】 f (x)  sin[  (x  )]  [sin( x  )  cos( x  )] 4 4 2 4 4   (1) n (x  ) 2n1 (1) n (x  ) 2n   2  4  4  [  ] 2 (2n  1)! (2n)! n0 n0 x (,)【例10】将函数 f (x)  arctan x 2 展开成 x 的幂级数.  (1)n [2  x4n2, x 1] 4n2 n0 【解】三．级数求和  【例11】求幂级数  n的收敛域及和函数. nx x [(1,1); ] (1 x)2 n1 【解】 【例12】(2017年1）幂级数  (1) n1 nx n1 在区间 (1,1) n1 内的和函数 S(x)  ________ .   【解】 S (x)   (1) n1 nx n1  (  (1) n1 x n )  n1 n1   x  1      1  x  (1  x) 2 【例13】(2014年3）求幂级数  (n  1)(n  3)x n 的收敛域及和函数. n0 a 【解】 lim n1  1, R  1, 当 x  1 时原级数显然发散，则其收 n a n 敛域为 (1,1).     (n  1)(n  3)x n   (n  2)(n  1)x n   (n  1)x n n0 n0 n0            x 2   x     x n2     x n1               1  x   1  x  n0 n0    1   1     (x  1)      1    1  x   1  x  3  x  x  (1,1). (1  x) 3 n x  【例14】求幂级数 的收敛域及和函数. n(n  1) n1 【解】  n x  【注】可利用结论：   ln(1  x) (1  x  1). 1 {[1,1];1( 1)ln(1 x)} n x n1 (1) n1  2n 【例15】(2010年1）求幂级数 x 的收敛域及和函数. 2n  1 n1 a 2n  1 【解】 由于 lim n1  lim  1 因此收敛半径 R  1. n a n 2n  1 n  (1) n1  当 x  1 时，原级数为 收敛，因收敛域为 [1,1]. 2n  1 n1  (1) n1 设 S(x)   x 2n1 (1  x  1) 2n  1 n1  1 则 S  ( x)   (1) n1 x 2n2  1  x 2 n1 1 又 ,故 x S(0)  0 S(x)   dt  arctan x 0 1  t 2  (1) n1 于是  x 2n  xS(x)  x arctan x, x [1,1]. 2n  1 n1  【例16】(24年1,3)已知幂级数  a x n 的和函数为 ln(2  x), 则  na （ ） n 2n n0 n0 1 1 1 1 （A） . （B） . （C） . （D） . 6 3 6 3 x  (1) n1  x  n 【解1】 ln(2  x)  ln 2  ln(1  )  ln 2     2 n  2  n1 (1) 2n1 1   1 1 a     na      2n 2n 2 2n n2 2n1 2n 2 2n1 6 n0 n1  1 【解2】 [ln(2  x)  ln(2  x)]   a x 2n 2n 2 n0  1 1 1 1  na  [  ]   2n 4 2  x 2  x 6 n0 x1