笔记小节21_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_02.核心基础_03.高数基础武忠祥_讲义

高数基础班（21）
21 幂级数（概念、性质、函数展开为幂级数，级数求和及举例） P232-P243
主讲 武忠祥 教授第二节 幂级数
本节内容要点
一. 考试内容概要
(一）收敛半径 收敛区间 收敛域
（二）幂级数的性质
（三）函数的幂级数展开
二. 常考题型与典型例题
题型一 求收敛半径、收敛区间及收敛域
题型二 将函数展开为幂级数
题型三 级数求和考试内容概要
(一）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域

定义1 形如  a x n  a  a x  a x 2    a x n  
n 0 1 2 n
n0

 a (x  x ) n  a  a (x  x )    a (x  x ) n  
n 0 0 1 0 n 0
n0
定理1 (阿贝尔定理)

(1)若  a x n 当 x  x (x  0) 时收敛,则当 | x || x | 时，
n 0 0 0
n1

 n 绝对收敛.
a x
n
n1
 
(2)若  a x n当 x  x 时发散,则当 | x || x | 时， a x n发散.
n 0 0 n
n1 n1
定理2 幂级数  a x n 的收敛性有且仅有以下三种可能
n
n0
（1）对任何 x  (,) 都收敛;
（2）仅在 x  0 处收敛;
（3）存在一个正数 当 时绝对收敛, 当
R, x  R x  R
时发散.

【注】若幂级数  a x n 在点 x  x 处条件收敛，则点 x
n 0 0
n0
必为该幂级数收敛区间 (R, R) 的一个端点.a
1
定理3 如果 lim n1  , 则 R  .
n a 
n
1
定理4 如果 lim n | a |  , 则 R  .
n
n 
（二）幂级数的性质
1)有理运算性质
 
设  a x n 的收敛半径为 R ,  b x n 的收敛半径为 R ,
n 1 n 2
n0 n0
 
令 R  min R , R ，则当 x  (R, R)
1 2
  
（1)加减法：  a x n   b x n   (a  b )x n
n n n n
n0 n0 n0
  
（2)乘法： (  a x n ) (  b x n )   c x n
n n n
n0 n0 n0
c  a b  a b    a b
n 0 n 1 n1 n 0
 n
a x
n 
（3）除法: n  0   c x n ,
 n

b x
n n0
n
n0
2)分析性质：

设幂级数  a x n 的 收敛半 径为 R ,和函数为 S(x). 则
n
n0
(1)连续性: 在收敛域上连续;
S(x)
(2)可导性:S(x) 在 (R, R) 上可导,且可逐项求导,
半径不变.即

    
S  (x)    a x n    (a x n )    na x n1
n n n
 
n0 n0 n0(3)可积性: 在收敛域上可积,且可逐项积分,
S(x)
半径不变.即
  
1
x x x
 S(x)d x    a x n d x    a x n d x   a x n1 .
n n n
0 0 0 n  1
n0 n0 n0
（三）函数的幂级数展开
定理1 如果函数 f (x) 在区间 (x  R, x  R) 上能展开为
0 0

x  x 的幂级数 f (x)   a (x  x ) n , 则,其展开式是唯一的，
0 n 0
n0
 (n)
f (x )
 0 (x  x ) n
0
n!
n0
f (x) 在 x  x 处的泰勒级数.
0 (n)
f (x )
定理2 设 f (x) 在 x  x 处任意阶可导,则  0 (x  x ) n
0 n! 0
n0
在 (x  R, x  R) 上收敛于 f (x)  lim R ( x)  0.
0 0 n
n
f (n1) ()
其中 R ( x)  ( x  x ) n1 为 f (x) 在 x 处的泰勒公式
n (n  1)! 0 0
n (k)
f (x )
f (x)   0 (x  x ) k  R (x)
0 n
k!
k0
中的余项.几个常用的展开式
1
(1)  1  x  x 2    x n  ; (1  x  1)
1  x
2 n
x x
(2) e x  1  x       (  x  )
2! n!
x 3 (1) n1 x 2n1
(3) sin x  x      
(  x  )
3! (2n  1)!
x 2 (1) n1 x 2n
(4) cos x  1      
(  x  )
2! (2n)!
x 2 (1) n1 x n
(5) ln(1  x)  x       (1  x  1)
2 n
( 1) ( 1)( n  1)
(6) (1  x)   1 x  x 2    x n  
2! n!
(1  x  1)函数展开为幂级数的两种方法
1）直接展开法
 (n)
f (x )
第一步 f (x) ~  0 (x  x ) n
0
n!
n0
f (n1) ()
第二步 考查 lim R ( x)  lim ( x  x ) n1  0
n n n (n  1)! 0
是否成立.
2）间接展开法
根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开
式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导，逐项积分）
及变量代换等方法，求得所给函数的展开式.常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
1.求收敛半径、收敛区间、收敛域；
2.将函数展成幂级数；
3.求幂级数的和函数.一．求收敛半径、收敛区间及收敛域
 e n  (1) n 1
【例1】(09年3）幂级数  n 的收敛半径为_______. [ ]
x
e
2
n
n1
【解1】
【解2】
n
【例2】(1995年1）幂级数  x 2n1 的收敛半径 R  ___________ .
2 n  (3) n
n1
[ 3]
【解】 n
1 x
【例3】(00年1）求幂级数  的收敛区间,并讨论
3 n   2 n n
n1
该区间端点处的收敛性.
 n
 2
 1      n
[3 n  (2) n ]n  3
  1
【解】
lim  lim 
n[3
n1
 (2)
n1
](n  1) n   2 n1 3
3  1      (n  1)
 3
 
1 1 1
1
或 li m a  lim  lim

n
n n n 3 n  (2) n n n 3 n 2
3
n 1  ( ) n
3
所以收敛半径为3，收敛区间为 (3,3)

n 1
3 1 1

当 时， 且 发散,原级数发散.
x  3   ,
3 n  (2) n n 2n n
n1
(3) n 1 1 2 n 1
当 x  3 时，   (1) n  
3 n  (2) n n n 3 n  (2) n n
且都收敛，原级数收敛.
【例4】(2008年1）已知幂级数  a (x  2) n 在 x  0 处收敛,在
n
n0

x  4 处发散，则幂级数  a (x  3) n 的收敛域为
___________.
n
n0
【解】
【例5】若级数  条件收敛，则 与
a x  3 x  3
n
n1

依次为幂级数  na (x  1) n的
n
n1
（A）收敛点，收敛点. （B）收敛点，发散点.
（C）发散点，收敛点. （D）发散点，发散点.
 
【解】由级数  a 条件收敛可知幂级数  a (x  1) n 在 x  2
n n
n1 n1

处条件收敛，则 x  2 为幂级数  a (x  1) n 的收敛区间的端点,
n
n1

故其收敛半径为 由幂级数的性质可知幂级数  na (x  1) n
1.
n
n1
的收敛半径也为
1.
由于 则 为收敛点，
3  1  1, 3  1  1. x  3
x  3 为发散点，故应选（B）.二．将函数展开为幂级数
x
【例6】(06年1）将函数 f (x)  展开成 x 的幂级数.
2  x  x 2
x x  1 1 
【解】因为
   
2  x  x 2 3  1  x 2  x 

1
  (1) n x n , x  1
1  x
n0
 n
1 1 1 x

  , x  2
2  x 2 x 2 n1
1  n0
2
x x  1 1 
   
2  x  x 2 3  1  x 2  x 

1  1 
  (1) n  x n1 , x  1.
 
n1
3  2 
n01
【例7】(2007年3）将函数 f (x)  展开成
x  1
x 2  3x  4
的幂级数，并指出其收敛区间.
1 1  1 1 
【解】 因为
   
x 2  3x  4 5 x  4 x  1
1 1 1 1 1   x  1 n

       , x (2,4)
x  4 (x  1)  3 3 x  1 3  3 
1  n0
3
1 1 1 1 1   x  1 n

      , x (1,3)
x  1 (x  1)  2 2 x  1 2  2 
1  n0
2
1 1   1 (1) n 
所以     (x  1) n , x (1,3).
 
x 2  3x  4 5 3 n1 2 n1 
n0【例8】将函数 f (x)  ln( x 2  x) 在 x  1 处展开为幂级数.
 (1)n1 1
[ln2 (1 )(x1)n, x1 1]
n 2n
n1
【解】
【例9】将函数 f (x)  sin x 在 x  处展开为幂级数.
4
  2  
【解】 f (x)  sin[  (x  )]  [sin( x  )  cos( x  )]
4 4 2 4 4
 
(1) n (x  ) 2n1 (1) n (x  ) 2n
 
2
 4  4
 [  ]
2 (2n  1)! (2n)!
n0 n0
x (,)【例10】将函数 f (x)  arctan x 2 展开成 x 的幂级数.
 (1)n
[2  x4n2, x 1]
4n2
n0
【解】三．级数求和

【例11】求幂级数  n的收敛域及和函数.
nx
x
[(1,1); ]
(1 x)2
n1
【解】
【例12】(2017年1）幂级数  (1) n1 nx n1 在区间 (1,1)
n1
内的和函数 S(x)  ________ .
 
【解】 S (x)   (1) n1 nx n1  (  (1) n1 x n ) 
n1 n1

 x  1
   
 1  x  (1  x) 2
【例13】(2014年3）求幂级数  (n  1)(n  3)x n 的收敛域及和函数.
n0
a
【解】 lim n1  1, R  1, 当 x  1 时原级数显然发散，则其收
n a
n
敛域为 (1,1).
  
 (n  1)(n  3)x n   (n  2)(n  1)x n   (n  1)x n
n0 n0 n0
   
       x 2   x 
 

x
n2
  

x
n1
      
 
     1  x   1  x 
n0 n0
 
 1   1 
   (x  1)      1  
 1  x   1  x 
3  x
 x  (1,1).
(1  x) 3 n
x

【例14】求幂级数 的收敛域及和函数.
n(n  1)
n1
【解】
 n
x

【注】可利用结论：   ln(1  x) (1  x  1). 1
{[1,1];1( 1)ln(1 x)}
n x
n1 (1) n1
 2n
【例15】(2010年1）求幂级数 x 的收敛域及和函数.
2n  1
n1
a 2n  1
【解】 由于 lim n1  lim  1 因此收敛半径 R  1.
n a n 2n  1
n
 (1) n1

当
x  1
时，原级数为 收敛，因收敛域为 [1,1].
2n  1
n1
 (1) n1
设 S(x)   x 2n1 (1  x  1)
2n  1
n1

1
则 S  ( x)   (1) n1 x 2n2 
1  x 2
n1
1
又 ,故 x
S(0)  0 S(x)   dt  arctan x
0 1  t 2
 (1) n1
于是  x 2n  xS(x)  x arctan x, x [1,1].
2n  1
n1 
【例16】(24年1,3)已知幂级数  a x n 的和函数为 ln(2  x), 则  na （ ）
n 2n
n0 n0
1 1 1 1
（A）
.
（B）
.
（C）
.
（D）
.
6 3 6 3
x  (1) n1  x  n
【解1】
ln(2  x)  ln 2  ln(1  )  ln 2    
2 n  2 
n1
(1) 2n1 1   1 1
a     na     
2n 2n 2 2n n2 2n1 2n 2 2n1 6
n0 n1

1
【解2】 [ln(2  x)  ln(2  x)]   a x 2n
2n
2
n0

1 1 1
1

na  [  ]  
2n
4 2  x 2  x
6
n0 x1