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高数基础班（19）
19 二重积分（概念、性质、计算方法及举例） P213-222
主讲 武忠祥 教授第九章 二重积分
本章内容要点
一. 考试内容概要
(一）二重积分的概念与性质
（二）二重积分计算
二. 常考题型方法与技巧
题型一 累次积分交换次序及计算
题型二 二重积分计算考试内容概要
(一)二重积分的概念及性质
1.二重积分的概念
n
定义1  f (x, y)d  lim  f (x , y ) .
i i i
0
D
i1
几何意义
2.二重积分的性质
性质1（不等式）
(1) 在 上若 f (x, y)  g(x, y) , 则
D
 f (x, y)d   g(x, y)d,
D D则
(2) 若在 上有
D m  f (x, y)  M ,
mS   f (x, y)d  MS,
D
其中 为区域 的面积。
S D
（ 3 ） f (x, y)d   | f (x, y) | d.
D D
性质2（中值定理）设函数 f (x, y) 在闭区域 上连续，
D
S
为区域
D
的面积,则在
D
上至少存在一点 (,), 使得
 f (x, y)d  f (,) S
D
（二) 二重积分的计算
1．利用直角坐标计算
b  (x)
1）先 y 后 x  f (x, y)d   dx  2 f (x, y)dy
a  (x)
1
Dd  ( y)
2）先 x 后 y  f (x, y)d   dy  2 f (x, y)dx
c  ( y)
1
D
2．利用极坐标计算
  ()
1）先  后   f (x, y)d   d 2 f (cos,sin)d
  ()
1
D
【注】适合用极坐标计算的二重积分的特征
（1）适合用极坐标计算的被积函数:
y x
f ( x 2  y 2 ), f ( ), f ( );
x y
（2）适合用极坐标的积分域: 如
x 2  y 2  R 2 ; r 2  x 2  y 2  R 2 ;
x 2  y 2  2ax; x 2  y 2  2by;3．利用对称性和奇偶性计算
1) 若积分域 关于 轴对称, 则:
D y
 2  f (x, y)d; f ( x, y)  f (x, y)

 f (x, y)d  
D
x0
D   0; f ( x, y)   f (x, y)
2) 若积分域 关于 轴对称, 则:
D x
 2  f (x, y)d f (x, y)  f (x, y)

 f (x, y)d  
D
y0

D  0 f (x, y)   f (x, y)4．利用变量对称性计算
若 关于 y  x 对称, 则  f (x, y)d   f ( y, x)d.`
D
D D常 考 题 型 与 典 型 例 题
常考题型
1.累次积分交换次序或计算
2.二重积分计算
一.累次积分交换次序或计算
1 2x
【例1】 交换累次积分 的次序
 dx f (x, y)dy
___________.
2
0 x【例2】(2009年,2) 设函数 f (x, y) 连续, 则
2 2 2 4y
 dx f (x, y)dy   dy f (x, y)dx  （ C ）
1 x 1 y
（A） 2 4x （B） 2 4x
 dx f (x, y)dy.  dx f (x, y)dy.
1 1 1 x
（C）  2 dy 4y f (x, y)d x . （D） 2 2
 dy f (x, y)dx.
1 1
1 y
cos
【例3】(1996年,3) 累次积分  2 d f (cos,sin)d
0 0
可以写成
(D)
1 yy 2 1 1y 2
（A）  dy f (x, y)dx （B）  dy f (x, y)dx
0 0 0 0
1 1 1 xx 2
（C） （D）
 dx f (x, y)dy  dx f (x, y)dy
0 0 0 0tan x
1 1
【例4】(2017年2) 积分
 dy  dx  ___________ .
0 y x
[lncos1]【例5】 积分  2 dx 2xx 2 x 2  y 2 dy 的值等于
___________.
0 0
16
[ ]
9二. 二重积分计算
 
【例6】(2008年,3) 设 D  (x, y) x 2  y 2  1 ,
则  (x 2  y)dxdy  _________ .

[ ]
4
D【例7】(1991年,1,2) 设
D
是
xOy
平面上以 (1,1),(1,1) 和
(1,1) 为顶点的三角形区域，
D
是
D
在第一象限的部分,则
1
 (xy  cos x sin y)dxdy 
D
（A） 2cos xsin ydxdy. （B） 2 xydxdy.
D D
1 1
（C） 4 (xy  cos x sin y)dxdy . （D）0.
D
1【例8】(2006年,3) 计算二重积分  y 2  xydxdy, 其中 D
D
是由直线 y  x, y  1, x  0 所围成的平面区域.
1 y
【解】 原式   d y  y 2  xy d x
0 0
y
3
2
1
  y( y  x)2 d y
0 3
0
2 2
1
  y 2 d y  .
3 0 9【例】(2018年,3)设平面区域 D 由曲线 y  3(1  x 2 ) 与直线 y  3x
及 y 轴围成,计算二重积分  x 2 dxdy. [ 3 (  1)]
16 2
D
1
3(1x 2 )
【解】  x 2 dxdy   2 dx  x 2 dy
0 3x
D
1
 3  2 x 2 ( 1  x 2  x)dx
0 
【例9】(2017年2）已知平面域
D  (x, y) | x 2  y 2  2 y
计算二重积分 I   (x  1) 2 d xdy.
D
【解】 I   (x 2  2x  1)d x d y
D
 2x d x d y  0
D

2sin
I   (x 2  1)d x d y  2  2 d 2 cos 2d
0 0
D

 8  2 sin 4cos 2d
0

 8  2 sin 4(1  sin 2)d
0
3 1  5 3 1  5
 8(       )   
4 2 2 6 4 2 2 4【例10】(2005年,2,3) 计算二重积分  x 2  y 2  1d,
D
其中
D  {(x, y)0  x  1,0  y  1}.
【解】 如图所示，将 分成 与
D
D
1
两部分.
D
2
 | x 2  y 2  1| d   (1  x 2  y 2 )d
D D
1
  (x 2  y 2  1)d.
D
2
  (1  x 2  y 2 )d [  (x 2  y 2  1)d  (x 2  y 2  1)d]
D D D
1 1
 2  (1  x 2  y 2 )d  (x 2  y 2  1)d]
D D
1


1
 (1  x 2  y 2 )d   2 d (1  2 )d ,
0 0 8
D
11 1
 (x 2  y 2  1)d   d x  (x 2  y 2  1)d y
0 0
D
 2 1
1
   x 2  d x  
0 3 3
 1
因此  | x 2  y 2  1| d   .
4 3
D 
【例11】(14年2,3) 设平面域 D  (x, y)1  x 2  y 2  4, x  0, y  0 ,
xsin( x 2  y 2 )
计算  dxdy.
x  y
D
【解1】由于积分域 关于直线 y  x 对称，则
D
x sin( x 2  y 2 ) ysin( x 2  y 2 )
 dxdy   dxdy
x  y x  y
D D
1 x sin( x 2  y 2 ) ysin( x 2  y 2 )
 [  dxdy   dxdy]
2 x  y x  y
D D
1
   s i n ( x 2  y 2 )dxdy
2
D

1
2
  2 d sin()d
2 0 1
1 3
2
   d cos()  
4 1 4x sin( x 2  y 2 )  cos
2
【解2】 dxdy   2 d sin()d
x  y
0
cos sin
1
D
 
cos sin
由于  2 d   2 d
0
cos sin
0
cos sin

1 cos sin 
  2 d
2 0 cos sin 4
2
1 1 3
2
 sin()d (cos sin)  
  
1
1
x sin( x 2  y 2 ) 3
故  dxdy  
x  y 4
D 
【例12】(13年2,3）设 是圆域 在第
D D  (x, y) x 2  y 2  1
k
k 象限的部分，记 I   ( y  x)dxdy (k  1,2,3,4), 则（ ）
k
D
k
（A） I  0 . （B） I  0 . （C） I  0 . （D） I  0.
1 2 3 4
【例】(2019年2）已知平面域 D  {( x, y) | x  y  }, 记
2
I   x 2  y 2 d, I   sin x 2  y 2 d, I   (1  cos x 2  y 2 )d 则
1 2 3
D r D sin r D 1  cos r
(B)
√ (A) I  I  I I  I  I
3 2 1 1 2 3

(C) I  I  I (D) sin x  x  tan x (0  x  )
I  I  I .
2 1 3 2
3 1 2
 
【解 1 】令 x 2  y 2  r (0  r  ), 【解 2 】代点 r 
2 2
sin r  r   
sin  1 1  cos  1
2
2 2
sin r  sin 2 r  1  cos 2 r  1  cos r
【例】(2019年2）已知平面域 D  {( x, y) | x  y  }, 记
2
I   x 2  y 2 d, I   sin x 2  y 2 d, I   (1  cos x 2  y 2 )d 则
1 2 3
D r D sin r D 1  cos r
(B)
√ (A) I  I  I I  I  I
3 2 1 1 2 3
I  I  I (D)
I  I  I .
2 1 3
3 1 2
【解 3 】代点 r  0 【解 4 】等价代换 【解 5 】泰勒展开
(r)   1 sin r  r r
3
r
sin r  r -  
(sin r)   cos r sin r ~ r
3
2 2 2
r r r
(1  cos r)   sin r 1  cos r ~ 1  cos r  1  [1   ]   
2 2 2