(306)--周周清第十七周（6.30-7.06）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 6.30-7.6 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 x3 y3 1.（数一二三）设定义在(0,)上的函数 f(x)满足微分方程 y ，且 f(1)1. xy2 若 f(x)在[0,)连续，则应补充定义 f(0) ____. a1 0 b2   b      2.（数一二三）设矩阵A a1 a 0  只有一个线性无关的特征向量  a1  ，则   b b a1     1   (a,b)____ 3.（数一二三）设函数 f(x)对任意的x均满足等式 f(1x)af(x)，且有 f(0)1，其 中a为非零常数。讨论：对于任意正整数n，f(x)在x n处的可导性，若可导，求出 f(n).  4.（数一三）设幂函数 a xn 在(,)内收敛，其和函数 y(x)满足 n n0 2yxy y0 1 证明：a  a ,n1,2, n2 2(n2) n 5.（数一二三）设 ，则 1+ ( )l n(1+ )−1 ( ) = → 0 e 2 3 −1 =3 → 0 2 =__________. 6.（数一二三）设 ，则 的不可导的点的个数 3 3 2 0个. 1 个= . ∣ −4 ∣ 2 −个2 . −8 ( ) 3个. =________. (A) (B) (C) (D) 7.（数一二三）已知 ，其中 ， ，则矩阵 关于 1 −1 2 − = = 2 −2 4 = 1, 2, 3 特征值 的特征向量是 1 −1 2 =0 ________.周周清 6.30-7.6 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 x3+ y3 1.（数一二三）设定义在(0,+)上的函数 f(x)满足微分方程y= ，且 f(1)=1.若 xy2 f(x)在[0,+)连续，则应补充定义 f(0)= ____. [知识点]：微分方程；连续的定义 [解析]：答案： f(0)=0 2 x2 y  x y y 整理方程可得y= + = + ，令u = ，则 y=ux，两边同时对   y2 x  y x x x 求导有 du 1 du 1 dx u+x = +u，即x = ，分离变量可得u2du = .方程两端同时积分可得 dx u2 dx u2 x 1 u3 =lnx+C，其中C为待定常数 3 1 1 1 1 由于当x=1时，f(1)=1，u =1，代入 u3 =lnx+C 可得C = .于是 u3 =lnx+ ， 3 3 3 3 3  y 即 =3lnx+1，解得y=x3 3lnx+1，即 f(x)= x3 3lnx+1.    x 下面计算lim f(x). x→0+ 1 1 − 2 3 (3lnx+1) 3  (3lnx+1)3 洛必达 3 x lim f(x)= lim x3 lnx+1= lim === lim x→0+ x→0+ x→0+ 1 x→0+ 1 − x x2 x =−lim =0 x→0+ 2 (3lnx+1)3 x3 3lnx+1, x0 则由连续定义知，令 f(0)=0，则 f(x)= ，在[0,+)上连续. 0, x=0 [易错点]：首先要看得出微分方程的类型进行合理的求解，同时注意连续的定义。a+1 0 b2   b      2.（数一二三）设矩阵A= a−1 a 0 只有一个线性无关的特征向量 a−1 ，则      b −b a−1  1      (a,b)= ____ [知识点]：矩阵；特征值与特征向量 [解析]：答案：(a,b)=(1,−1) 由于矩阵A只有一个线性无关的特征向量，故A有三重特征值.又因为矩阵的特征值 之和等于矩阵的迹，故3=a+1+a+a−1=3a，从而=a.  b    由 a−1 为A的属于特征值a的一个特征向量可得     1   a+1 0 b2  b   ab+b+b2   b         a−1 a 0 a−1 = ab−b+a2 −a =a a−1         b −b a−1 1  b2 −ab+b+a−1  1         b2 +b=0,  由此可得ab−b=0, 解得a=1,b=−1  b2 −ab+b−1=0.  [易错点]：线性代数各章节之间犹如一张网，对综合能力考查较深。3.（数一二三）设函数 f(x)对任意的x均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=1，其中 a为非零常数。讨论：对于任意正整数n，f(x)在x=n处的可导性，若可导，求出 f ( n ) . [知识点]：导数定义的计算 [解析]：证明如下： 由 f(1+x)=af(x)可得， f(x+n)=af(x+n−1)=a2f(x+n−2)= =anf(x) 则根据导数的定义计算 f(n)， f(x)− f(n) x=t+n f(t+n)− f(n) f(t+n)=anf(t) anf(t)−anf(0) lim ====lim =======lim x→n x−n t→0 t+n−n t→0 t f(t)− f(0) =anlim =anf(0)=an t→0 t−0 因此可知， f(x)在x=n处可导，且 f(n)=an [易错点]：不要被题目的表象迷惑，形式再复杂，按规矩计算即可，真题也往往是这样的纸 老虎。 4.（数一三）设幂函数a xn 在(−,+)内收敛，其和函数y(x)满足 n n=0 2y−xy−y=0 1 证明：a = a ,n=1,2, n+2 2(n+2) n [知识点]：微分方程背景下的和函数问题 [解析]：证明如下：    记y(x)=a xn ，则y(x)=na xn−1，y(x)=n(n−1)a xn−2 . n n n n=0 n=1 n=2 代入2y−xy−y=0得    2n(n−1)a xn−2 −na xn −a xn =0 n n n n=2 n=1 n=0   为了合并同类项xn，可将n(n−1)a xn−2改写为(n+2)(n+1)a xn，并注意到 n n+2 n=2 n=0   na xn =na xn.于是均将下标统一成从0开始，得， n n n=1 n=0    (n+2)(n+1)a xn − na xn −a xn =0 n+2 n n n=0 n=0 n=0  即[2(n+2)(n+1)a −(n+1)a ]xn =0.由此可得， n+2 n n=0 2(n+2)(n+1)a −(n+1)a =0 n+2 n 1 即a = a ,n=1,2, ，证毕！ n+2 2(n+2) n [易错点]：级数求导时遵守规则，同时注意通项和下标起点在变化时遵守的规则。5.（数一二三）设 𝐼 =𝑙𝑖𝑚 √1+𝑓(𝑥)ln (1+𝑥)−1 =3，则𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) =__________. 𝑥→0 e2𝑥3−1 𝑥→0 𝑥2 [知识点]：利用分式极限存在时分子分母极限关系，结合等价无穷小替换，通过极限运算 求未知函数的极限。 [答案]： 12. [解析]：分式极限存在，分母的极限𝑙𝑖𝑚(e2𝑥3 −1)=0⇒ 𝑥→0 分子极限𝑙𝑖𝑚(√1+𝑓(𝑥)ln(1+𝑥) −1)=0⇒ 𝑥→0 𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥)ln(1+𝑥)=0， 𝑥→0 又 ∃𝛿 >0，当 0<|𝑥|<𝛿时𝑓(𝑥)≠0. 用等价无穷小因子替换(1+𝑡)𝑎−1∼𝛼𝑡,e′−1∼𝑡,(𝑡 →0). 1 𝑓(𝑥)ln(1+𝑥) 𝑓(𝑥) ln(1+𝑥) 2 𝐼 =𝑙𝑖𝑚 =𝑙𝑖𝑚( ⋅ )=3 𝑥→0 2𝑥3 𝑥→0 𝑥2 4𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) ln(1+𝑥) 4𝑥 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 =𝑙𝑖𝑚 ⋅ ⋅𝑙𝑖𝑚 =3×4=12. 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 𝑥2 4𝑥 𝑥→0ln(1+𝑥) [易错点]：等价无穷小替换的条件和时机把握不准，极限运算中拆分、组合式子时出错， 或忽略分子分母极限关联导致推导错误。6（. 数一二三）设 𝑓(𝑥)=∣𝑥3−4𝑥 ∣ 3√𝑥2−2𝑥−8，则 𝑓(𝑥) 的不可导的点的个数=________. (A) 0个. (B) 1个. (C) 2个. (D) 3个. [知识点]：分析函数不可导点，先找绝对值部分零点及根式内零点，通过左右导数是否存在 且相等判断，涉及极限计算。 [答案]：D. [解析]：𝑓(𝑥)=|𝑥(𝑥+2)(𝑥−2)| 3√(𝑥−4)(𝑥+2). 𝑓(𝑥) 的不可导的点首先应从 |𝑥(𝑥+2)(𝑥−2)|=0 的点去考虑. 取 𝑥 =0，2，−2逐个讨论之. 𝑓(𝑥)−𝑓(0) |𝑥(𝑥+2)(𝑥−2)| 3√(𝑥−4)(𝑥+2) 𝑙𝑖𝑚 =𝑙𝑖𝑚 ， 𝑥→0 𝑥−0 𝑥→0 𝑥 𝑓(𝑥)−𝑓(0) |𝑥||𝑥+2||𝑥−2| 3√(𝑥−4)(𝑥+2) 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 =−8， 𝑥→0+ 𝑥−0 𝑥→0+ |𝑥| 𝑓(𝑥)−𝑓(0) |𝑥||𝑥+2||𝑥−2| 3√(𝑥−4)(𝑥+2) 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 =8， 𝑥→0− 𝑥−0 𝑥→0− −|𝑥| 所以 𝑓′(0) 不存在，同理 𝑓′(2) 也不存在. 𝑓(𝑥)−𝑓(−2) |𝑥||𝑥+2||𝑥−2| 3√(𝑥−4)(𝑥+2) 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑥−(−2) 𝑥→−2 𝑥+2 |𝑥||𝑥+2||𝑥−2| 3√(𝑥−4)(𝑥+2) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2± ±|𝑥+2| =± 𝑙𝑖𝑚 |𝑥||𝑥−2| 3√(𝑥−4)(𝑥+2) =0. 𝑥→−2± 𝑓′(−2) 存在. 再考虑 3√(𝑥−4)(𝑥+2) 内为零即 𝑥 =4 处， 𝑓(𝑥)−𝑓(4) |𝑥(𝑥+2)(𝑥−2)| 3√(𝑥−4)(𝑥+2) 𝑙𝑖𝑚 =𝑙𝑖𝑚 =∞， 𝑥→4 𝑥−4 𝑥→4 𝑥−4 𝑓′(4) 不存在. 共有3处 𝑓′(𝑥) 不存在. 选(D). [易错点]：遗漏需考虑的零点（如根式内零点），计算左右导数时符号、极限处理出错，导 致不可导点判断失误。1 −1 2 7.（数一二三）已知𝑷−𝟏𝑨𝑷=𝑩，其中𝐁=[2 −2 4]，𝐏=(𝛂 ,𝛂 ,𝛂 )，则矩阵𝐀关于 1 2 3 1 −1 2 特征值𝜆 =0的特征向量是________. [知识点]：相似矩阵的性质。 [答案]：𝑘 (𝜶 +𝜶 )+𝑘 (−2𝜶 +𝜶 )，𝑘 𝑘 不全为0. 1 𝟏 𝟐 2 𝟏 𝟑 1 2 𝜆−1 1 −2 [解析]：由于∣𝜆𝑬−𝑩∣=| −2 𝜆+2 −4 |=𝜆2(𝜆−1) −1 1 𝜆−2 −1 1 −2 1 −1 2 对于𝜆=0，由(0𝐄−𝐁)=[−2 2 −4]→[0 0 0] −1 1 −2 0 0 0 得基础解系 𝛃 =(1,1,0)T，𝛃 =(−2,0,1)T 𝟏 𝟐 所以矩阵𝐀关于𝜆=0的特征向量为 1 −2 𝐏𝛃 =(𝛂 ,𝛂 ,𝛂 )[1]=𝛂 +𝛂 ，𝐏𝛃 =(𝛂 ,𝛂 ,𝛂 )[ 0 ]=−2𝛂 +𝛂 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 0 1 [易错点]：矩阵初等变换或基础解系计算出错；对相似矩阵特征向量关系理解不清，导致 向量变换错误。