(63)-线代8——特征值特征向量1笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2024第五章 特征值特征向量 1第二部分、题型解析 题型一、特征值与特征向量的定义与性质(★★★) 一、特征值与特征向量的概念 1.定义 设 A是n阶方阵，若存在常数和 n 维非零列向量 0，使得 A= 成立，则称是方阵 A的一个特征值，为方阵 A 的对应于特 征值的一个特征向量. 注 ① n 阶 公阵A 复数范围内有 n 个特征值 ( 可能有重根) : , 每个特征直都有⽆穷多个特征何量, 关⼼线性⽆关 ② 特征向量2. A的特征值和特征向量的求法 第一步、求方程 A −E = 0，其复数范围内的 n 个根, , , 即为 A 1 2 n 的n个特征值. 第二步、对于每个特征值，齐次方程组(A −E)x = 0的全体非零解 i i 即为的全部特征向量. i , 是属于⼊ 特征向量 住 设 α ⼩ i : , , 则 K α kt ( 0 ) (cid:49477) 仍是⼊特征向量 ( 封闭性) (cid:49477) K 2 k ⼩ + , (cid:49477) 2 2 ( K k 不会为 0 ) 2 ,3.一些易求特征值特征向量的矩阵 成⽐例⽅阵 A =α . β T α 1 β= t⽐(A) ① , 特征值 tr(A , … A : 0 ) ⼀ 1 1 个 n- α | - 3 如 A 1 | ( : = “ 231 6 2 - 4 ⼀ ⼝ A 特征值 9 0 . = , 1 倒3.一些易求特征值特征向量的矩阵 T A =α β . 让: 2 = 2 β [ ] α = 2 . tr (A)= UA) α A 下三⻆阵特征值即为主对⻆线元素 对⻆阵 上 ② , , , 0 ( ) ( ) ( ☆ ] L 0 分块阵 ( ☆ : ) ( 8 ) ( 但 ) 特征值为 A B ⼦块特征值 (cid:49477)二、特征值与特征向量的性质 性质 1 设n阶矩阵 A 的特征值为, , , ，则 1 2 n (1) +  + +  = a + a + + a = tr(A). 1 2 n 11 22 nn (2)  = A . 1 2 n 性质 2 方阵 A的属于不同特征值的特征向量线性无关. 性质 3 A的k重特征值最多只有 k 个线性无关的特征向量. A 3x3 λ (cid:49477) = λ 2 ⼊ 3 α Casel σ , 3 α ∂ σ Case . s 2 2 , ,性质 4 若 A的特征值为，对应的一个特征向量为，则 矩阵 A A−1 A* k A Ak f (A) A T P−1AP 1 | A | 特征值  ( 0) k  k f ()     特征向量       P−1  其中， f (x) = a xm + a xm−1 + + a x + a 是一个关于 m m−1 1 0 x 的 m 次多项 式函数. AE - 3 A + 2 E x ≥ - 3⼊ +2 题⽬⻅到 f f 其中⼊是任⼀特征值 住 (A1 = 0 (cid:15482) (x) = 0 : , 设⼊是 A 任⼀特征值 则 f (A ) 对应特征值为 fcx ) , f ⽽ f (A ) = 0 ∴ (x) = 0解题思路：求矩阵 A的特征值与特征向量思路如下 思路 1——具体型矩阵 A 的特征值与特征向量用特征方程| A −E |= 0 求解特征值；用(A −E)x = 0求每个特征值对应的特征向量. 思路 2——抽象型矩阵的特征值与特征向量往往用定义求解.也可根据 性质由 A的特征值特征向量求出与之相关的矩阵的特征值特征向量. 思路 3——要熟记特征值特征向量的性质，易出小题. 2 −1 2    【例5.1】 已知 3 阶实矩阵 A = 5 a 3 的一个特征向量为     −1 b −2    1    p = 1 ，求参数a,b以及 1     −1   A 的所有特征值和特征向量． 则 对应特征值为⼊ 解 设 P , , : P AP ⼊ . = (cid:49477) , 1 2 ⼀ 訓州洲 = ( (cid:15482) 5 (cid:49478) b 1 ⼀ . . λ 1 = - a = - 3 b =÷ 2 则 A = l 点 1 33 - - ⑦ " ( A λ E |= - ( λ+ 1 ) = 0 (cid:15482) ⼊ (cid:49477) =λ 2 =λ 3 ⼆ - - 的特征向量 解⼊ 1 由 ( A + E ) X = 0 =- 3 时 2 l 0 1 1 时 1 ] ⼀⽚ A E + = 3 → | 5 - 0 ⼶ 0 ⼀ 0 0 0 | Λ 全体特征向量为 K α CKER K#0 ) < × =λ 2 =λ 3 = - , .【例5.2】 设 A为n阶实对称矩阵, P 是 n 阶可逆阵,已知 n 维列向量是 A ( )T 的属于特征值的特征向量. 则 P−1AP 属于特征值的特征向量是 ( B ) ( )T (A)P−1  (B)PT  (C)P (D) P−1  LAPJ 分析了凑定义 ⼊ [ = F ① TAPITPT α PT AT(P pT α 解 = : PTAPIT PT α= PTA 2 = PT ⼊ 2 =λ pi α =【例5.3】 设 3 阶方阵 A的特征值分别为 = 1, = 2, = 3，则说法不 1 2 3 正确的是( C ). 满秧 A (A) A是满秩矩阵； ( A | = 1 × 2 × 3 = 6 t 0 ∴ (B) A3 的特征值分别是 1,8,27； v  1    (C)存在正交矩阵P，使PT AP = 2 ; X 实对称阵才可以     , 3   (D) A的特征值 = 1, = 2, = 3对应的特征向量 p , p , p 线性无关. 1 2 3 1 2 3 ⼀题型二 相似矩阵的性质(★★) 一、矩阵相似 1. 定义 设 A, B是 n 阶方阵, 若P−1AP = B，则称 A 相似于 B , 记为: A ~ B，称可逆矩阵 P 为相似变换矩阵. 2. 性质 (1) A ~ A. (2)若 A ~ B,则B ~ A. (3)若 A ~ B,B ~ C ,则 A ~ C . ⼒二、相似矩阵的性质 1.若 A ~ B,则 A  B. 2.若 A ~ B,则 A与B特征值全相同， A = B ,tr(A) = tr(B),R(A) = R(B). 3.若P−1AP = B即 A ~ B, 则 A−1 ~ B−1 , A* ~ B* , Ak ~ Bk ( k 相似 PTAP B : = 反之未秘等价 PAQ B : = 为正常数), f (A) ~ f (B)，其中 f (x) = a xm + a xm−1 + + a x + a ， AT ~ BT .( 不是P ) m m−1 1 0 + ' PTAYP B Asxs ⼊ . =λ 2 = 1 λ3 = 3 ( ) = , x 佔 1 * , + * B p A P = α ∝ 3 Baas ⼊ λ 1 " " . = , = , ∵ ( ' ^ ) Ψ s β β β , 2 s解题思路——利用 A, B相似的定义：P−1AP = B与相似的性质来解题.【例5.4】 设 A, B均为 3 阶矩阵， A有特征值 1,2,2， A , B 相似，则 4B−1 − E = . 解 A B ∵ ~ : , 特征值与 B 相同 A 特征值也为 1 2 2 ∴ B . . 三 — . 三 B^ 1 . + 4 B E 3 1 . - —— , 1 : (4 B- - EI = 3× 1 x | = 3【例5.5】 设 A, B为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( ). (A)若 A与B有相同的特征值，则 A与 B 相似; (B) A的特征值中非零特征值的个数与 A 的秩相等; (C)若 A与B相似，则 A 与 B 都与同一个对角阵相似; (D)若 A可对角化，且 A 与 B D X , (cid:49477) ⼀ x 相似，则 A, B与同一个对角阵相似. 可对⻆成对 否则了不对 ) 若 A B , ^ (cid:15482) A ( , ] rCA ) =γ C Λ ) ~^= ⼊ ^ . ⼊ n 不同对⻆化 举⼀个不可对⻆化的 A 有可能 A B 如 : ) c , . ' B AI E AE A B = = =题型三、矩阵的相似对角化(★★★★) 1.相似对角化 对于 n 阶方阵 A,若能够找到一个可逆矩阵 P ,使得P−1AP 是一个对角阵,则称 A 可相似对角化, 否则，称 A 不可相似对角化. 相似对⻆化的条件 ? 之个核⼼问题 ① A : ② 若可对⽤化 , 则 = ? ? P ⼋ 正正 A的特A征的特值征 顺序 对应 — -2.方阵相似对角化的条件 |^ … ail 没 A 习对 , PIAP = ⼈ , P没 = 1 t. … t . 1 h 即 古乘 P PTAP ⼋ = , (cid:15482) AP PN I Al . tu ) = (2 … a . l ) ^ ) = 2 . … a · ② ( A2 , … Atn) = ( λ . 2 , ⼊ rt 2 , … xu 2 n ) (cid:15482) A 2 ⼊ 2 Atn xnJn = = . i … 即为 A 的 特个征值 … n 边⼊ 对应特征⽉量 2即为⼊ ⼊ σ . … … n2.方阵相似对角化的条件 习逆 P (cid:15482) TAP A 若 p = (cid:49478) 1 ② IP1 t 0 ② r (P) = n ( 2 Jn) n (cid:15482) r … = . 加线性送 ← ⼩ … …充要条件 1 n阶方阵 A 可相似对角化充分必要条件是 A 恰有 n 个线性无 关的特征向量． 充要条件 2 方阵 A可相似对角化的充分必要条件是 A 的每个k重特征 值，也恰好有k个线性无关的特征向量. 充分条件 1 若n阶矩阵 A 的特征值各不相同，则 A ( 只需 重以上特征值 ) 2 可相似对角化． 充分条件 2 若n阶矩阵 A为实对称矩阵阵，则 A可相似对角化． A λ λ 1 λ 3 3× 3 (cid:49477) = 2 = 3 = × Casel α α 3 ⼩ α ⼩ α Case2 . z 如 ⼀3.如何求相似变换矩阵 P 以及相似对角矩阵. 若n阶方阵 A可相似对角化，则 第一步、求出方阵 A的 n 个特征值, , , ； 1 2 n 第二步、再求出, , , 所依次对应的 1 2 n n 基础 (A λit ) X = O - 系 0 个线性无关的特征向量  , , , ； 1 2 n   1   第三步、令P =  , , , ,  , 则   = 1 2 n        n   1   P−1AP = Λ =  .        n解题思路：这是考试的常考题型，必须掌握解题思路. 思路 1——具体矩阵 A 能否相似对角化，应用 2 个充要条件，2 个充分 条件来判断；如果可对角化并要解出 P 和 Λ ，应求出 A的 n 个线性无关 特征向量和对应的 n 个特征值. 思路 2——如果 A是抽象矩阵，且无法求出特征值和特征向量，这时 应考虑 A是否相似于一个具体矩阵B，如果 B 可对角化，则由相似的传 递性， A也可以相似对角化.如果P −1AP = B, P −1BP = Λ，则 1 1 2 2 P−1 AP = Λ，且P = P P . 1 2【例5.6】 判断以下几个矩阵能否相似对角化.  1 2 1 1 2 1      (1) 0 3 0 (2) 0 1 0         0 0 0 0 0 3     = = ⼊ . = 1 λ2 = 3 ⼊ 3 = ⼊ Λ 2 λ 3 = 3 各不相同 由 (A E ) X 解⼊ =λ 1 特征⽉量 - =0 (cid:49477) 2 = 0 決 A - E = 1 1 ] γ(A - E ) = 2 ⽉对⻆化 (cid:15482) 时 , 0 0 0 δ 0 ∴ (A - E) X =O 基础解系有 3 - 2 = 1 个解 不能对⻆化 ∴ 1 1 1 1 2 3     (3) 2 2 2 (4) 2 4 5 (5)A ,| A | 0.     22     3 3 3 3 5 7     实对称 可 (A |=λ i 2 < ⼊ (cid:49477) = . λ 2 =λ 3 = , λ 6 由 (A OE) X=0 即 AX = O ⼆ λ . # ⼊ 2 - 特征向量 下可对⻆化 解⼊ ⼊ >= O x = , 1 | l 时 [ A → 0 0 0 ⼼ O 基础解系 AX δ A) = 1 = 0 , 个解 有 3 1 = 2 - A 司对⻆化 ∴ , 1 a −3   【例5.7】 设 A = −1 4 −3 ,已知     1 −2 5   A 的特征值有重根,判断 A能否相似 对角化. (- λ a - 1 × a ⼀ rstrz - 解 ( A λ E| = : - ⼀ 4 λ ⼀ ⼀ ⼀ 4 λ - - - 5 ⼊ | - - 0 2 λ 2 ⼊ - - C 2 - C 3 - ⼊ a+ 3 - 3+3 ( - ⼊ at 3 ( 2 λ) ( - 1 ) ⼀ 7 ⼊ - = - , - 时 7⼊ 0 0 2 - ⼊ R = ( 2- λ ) ( - 8 ⼊ +a + 10 ) = 特征值有重根 A ∵ ,是重特征值 若⼊ Case 2 = - ∴ λ= 2 是 λ^ 8 λ+a +10= 0根 : . a = 2 ≥ = ( A λ E 1 = ( 2 - λ) ( x - 8⼊ + 12) = - (x - 2) (λ - 6) =0 ∴ - 6 : λ (cid:49477) = λ 2 = 2 ⼊ 3 = 解其特征向量 由 当⼊ 时 (A - 2E ) X =0 =λ 2 2 = , i ( A - 2E ) = ” 时 2 - 3 : γ (A -LE ) = 1 3 - 2 - 3 ( 2 - 基础解系有 , ∴ (A - LE ) x = 0 3 - 1 = 2 个解 司对⻆化 此时 ∴ A ,不是重根 则⼊ - 0 有重根 (ase2 若⼊ =2 λ 8 ⼊ +a +10= . , 则 0 = 64 - 4( a+10 ) = 0 ∴ a = 6 ) ∴ : | A - λ E |= ( 2 -λ )( λ= - 8 x +(6 ) = ( 2 -λ )( λ-4 P=0 =× 4 ∴ λ . = 2 ⼊ 2 3 = 解其特征⽉量 当⼊ =λ 3 = 4 时 由 ( A - 4E) X =0 2 , 6 1 ⼀ - 3 i 1 - 1 ∵γ(A - 4E) = 2 1 1 A 4 E = - -1 0 - 3 0 1 1 ( - 2 l 0 0 0 基础解系有 个解 ∴ (A - 4E ) X =0 3 - 2 = 1 不可对⻆化 A : ,【例5.8】 设 A为 3 阶矩阵 , , 是三维线性无关的列向量, 1 2 3 A = + + , A = 2 + , A = 2 + 3 . 1 1 2 3 2 2 3 3 2 3 ( ) ( ) (1)求B，使得 A  , , =  , , B. 1 2 3 1 2 3 d ) ( A2 . , AJ 2 . AJs) = ( 2 . + 2 . + 23 , 252 + f 3 , 222 + 323) (cid:15482) A ( t 22 2 s ) = ( 2 2 2 ) 1 㵎 , , . , . , s 0 0 i ) .B ∴ ⼆ 2 l 2 3 …(2)判断 A是否可相似对角化,如果可以,请求出可逆矩阵 P ,使得 P−1 AP = Λ为对角阵.如果不可以,请说明理由. 由⼩知 A ( 2 t<+ s ) = ( ⼩ . σ 3 } B . 设 P . = ( 2 . tt 3 ) . 天关 ⼩ . 23 ∵ ⼩ ;rP ( ) = γ ( 2 . ⼩ . 2 s ) = 3 习逆 P It 0 ∴ , " B E 乘 Pi AP . . = D 1 , P " AP B ∴ A ~ B ∴ = , . 由 IB - ⼊ E 1 = 0 (cid:15482) ( 1 -λ ) ( x - 1 ) ( λ - 4 ) = ∴ λ = λ 2 = ( λ 3 = 4 (cid:49477)(2)判断 A是否可相似对角化,如果可以,请求出可逆矩阵 P ,使得 P−1 AP = Λ为对角阵.如果不可以,请说明理由. 0 解其特征同量 =λ== 1 , 由 ( BE ) = 当⼊ X (cid:49477) 时 2 | l l ) : β| {] 1 β=| B E → - 0 0 " 0 0 当 λ 3 = 4 时 , 由 ( B - 4E) x = 0 解 β s = ( ) 1 全 P ( β β β ) ^= 1 ) 则 PIBD ⼈ = == . - s 2 ' 4 " 代⼊上式 ⼜ P AP B = (cid:49477) (cid:49477) (cid:15482) P ' P " AP P ⼋ 令 P P P 则 PTAP =Λ = , (cid:49477) 2 = = (cid:49477) 2 ^ → [P P ] A (P P ) ⼋ = , 2 (cid:49477) 2(2)判断 A是否可相似对角化,如果可以,请求出可逆矩阵 P ,使得 P−1 AP = Λ为对角阵.如果不可以,请说明理由. P K P ( 2 " . 1 " % ? ∴ = . . = . 1 ; | ( 2 t 2 22 tt 22 23 ) = - (cid:49477) s . 3 , + ,【例5.9】 设 A为 3 阶矩阵， P 1    为 3 阶可逆矩阵，且P−1AP = 1    2   P = (  , , ) ，Q = (  , + , ) ，则Q−1AQ =( D ). 1 2 3 3 1 2 2 1  1  2  2          (A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 1          1  2  2  1         ∵ P - AP 1 = ) 且 P = ( 2 2 ts ) . . | : α . 是 Ai ∞ λ (cid:49477) =λ 2 =| 特征何量 , 2 s 是⼊ 3 = 2 特 2 β Q ( 2 J J tz ) QAQ ( : = + ] s . . = , . v “ ” , l 1 | 2