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题型三、连续型随机变量及其分布(★★★★)
一、连续型随机变量及其概率密度
x
1.定义 如果 X 的分布函数F(x) = P(X x) = f (t)dt,− x +,
−
( )
则称 X 为连续型随机变量， f x 为 X 的概率密度函数.
P(X x] TMIIIa
FM =
=
·
x
F(m fix
(2 0 =
=
fr
② TPE
-2.概率密度 f (x)具有下列性质：
1(非负性) f (x) 0；
+
2.(规范性) f (x)dx = 1.
−
fiM 5 frm l a f bfr) /BB
+
bo
① a
.
② atb =3. 用 f (x)求概率
a
P(X = a) = f (x)dx
0
=
a
b
P(a X b) = P(a X b) = P(a X b) = P(a X b) = f (x)dx；
a
N二、 几种常见的连续型随机变量
1
, a x b
1．均匀分布 若 X 的密度为 f ( x) = b − a ，则称
0, 其他
(b-aP
ath
( ) DX
X ~ U a,b . EX
= =
12
(ab)
(d) <
(ba d C
12 fax -
pixd) * x
=
= =
-
b - a
T of -EP1/TEEFe−x , x 0,
2．指数分布 若 X 的密度为 f (x) = (其中 0)，则称
0, x 0，
1 − e−x , x 0
X ~ E(). 其分布函数为F(x) = .
0, x 0
=
=*
DX
EX
指数分布的无记忆性：则P{X s + t | X s} = P{X t}.
1
* ! (n
x n =0 1 2 )
= . . . ...3.正态分布
2
(x−)
1
−
(1)定义 若 X 的 f (x) = e 2 2 (− x +),则称 X ~ N(, 2).
2
5
DX
EX M =
=(2)正态分布的概率密度图形有下列性质：
①曲线关于直线 x = 对称；
1
1
②在 x = 处， f (x)取最大值 ；
2
③ x 轴为其水平渐进线；
④当 x = 时，曲线有拐点；
&
1
⑤P{X } = P{X } = . X =M
2(3)标准正态分布及其计算
如果= 0且= 1，即 X ~ N(0,1)，称为标准正态分布.
2
x
1
−
其概率密度(x) = e 2 ，
2
2
t
1
x −
分布函数(x) = e 2 dt(− x +).
− 2(x)与(x)的性质： xY
1
①(− x) =(x)；
PIN)
②(− x) = 1− (x)；
"
!
1
③(0) = . -
2 - Y
(x)的函数值可以查标准正态分布表来确定.
f_
PSX
Em x] Ou at
= = =概率计算：
①P(a X b) = (b) − (a)；
②P( X a) = (a) − (−a) = 2(a) − 1（a 0） ;
③P( X a) = 1 − P( X a) = 2(1 − (a)（) a 0） .
(4)一般正态分布的标准化及其计算 若 X ~ N(, 2)，标准化
X −
~ N(0,1)后再计算.
解题思路：连续型随机变量 X 的核心是概率密度 f (x)，考点和解题思
路如下：
思路 1——利用概率密度的充要条件①非负性；②规范性；来判断一
个函数是否为概率密度.
思路 2——如果概率密度 f (x)中含参数，一般(1)通过规范性求出参
数；(2)凑成已知分布求参数.
x
思路 3——分布函数与概率密度的关系F(x) = f (x);F(x) = f (t)dt .
−b
思路 4——已知 f (x)，则P(a X b) = P(a X b) = f (x)dx.
a
思路 5——掌握几种重要的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分
布、正态分布，熟练掌握它们的定义、概率密度、性质、期望方差.【例2.10】 随机变量 X 的密度函数为 f (x)，则下列函数中不是密度函
数的是( ).
B
1
x
(A) f (1+ x) (B) f (2x) (C) [ f ( x) + f (− x)] (D)2 f (x) f (t)dt
2 −
/flitax E =
HX[f()dt
[fax
C)
= =
( Exf =
(B) faux fax =
+
[tifa fixax z(
( fix]ax = E * f(t)(at)
+ +
futat
+ 2 5
= = + 1
=【例2.10】 随机变量 X 的密度函数为 f (x)，则下列函数中不是密度函
数的是( B ).
1
x
(A) f (1+ x) (B) f (2x) (C) [ f ( x) + f (− x)] (D)2 f (x) f (t)dt
2 −
[ . 1 fit [2frs
(D) 2 fin at ax = Finax
·
~
FNAE F
2/to
Fix Fax
= · = =
- s
Fito) F(u)
1 - 0 1
= - = =【例2.11】 已知 f (x)和 f (x) + f (x)均为概率密度，则 f (x)必满足( D )
1 1
+ +
(A) f (x)dx = 1, f (x) 0 (B) f (x)dx = 1, f (x) − f (x)
1 1 1 1
− −
+ +
(C) f (x)dx = 0, f (x) 0 (D) f (x)dx = 0, f (x) − f (x)
1 1 1 1
− −
m
f(x f
f
M +
,
fix f(x)
fix fix =>
fr A + 30 > -
0
:
I
(f
[fudx finidx
[fixdx
= + 1
= =
0
=【例2.12】 设随机变量 X
ae−x , x ,
的密度函数为 f (x) = ( 0)则
0, x ,
概率P{ X + a}(a 0)的值( ).
(A) 与a无关随增大而增大 (B) 与a无关随增大而减小
-
(C) 与无关随a增大而增大 (D) 与无关随a增大而减小
S fixaX
: FREE 1
=
=
+b
=>
Getax -a -a(-) =
= =
X
: a = e
( *** fMax Caeax
Pixxx
a)
: + = = =
*
a)e
a e) e)e - *)
= - a . e = - - = - - e
e-a
El-2
【例2.13】 设 f (x) = Ce−x +2x(− x +)为X 的密度函数，则常数 C
*
等于( C ) [e E
ax
= .
2 1 1 1
(A) (B) (C) (D)
e 2e e 2
(fixax
ER4 1
35 : =
- .
c
max
[to (e) -
x = ax
=> =
etat
EX ge
= ce =1
I
: CreMP
(x
-
-
fN 1 e
5)
=: X-NM 252
35 . =
277
2
Y -x
fi - +2x - ( + 1 - (X-1)
= ( e c. c e e
. = = . .
1)"
(x
- -
c C e 2xE
= . .
I
&
.. C . e = =
F
-
I
C
in
=
e【例2.14】 设 X ~ N(2, 2 ),且P 2 X 4 = 0.3,则P X 0 = ．
X 2
5) -
35 X N(2 . (10 1)
- = - , ~ .
J
X - 2 2 :
PSz < x4) Po < ) ( ) -(10)
: = < =
+
&(5) 2
03
=
= -
&(5)
=> 8
= 0 .
P(Xcol P * =) 1) z) (2)
: = - = 1
= -
08
= 1 - = 0 2
.【例2.14】 设 X ~ N(2, 2 ),且P 2 X 4 = 0.3,则P X 0 = 0 2 ．
.
55
= i
1/103
2
0 11/11
.
↑
VIIII
! 24
x
=【例2.15】 已知随机变量 X 服从参数为的指数分布，
X， | X | 1， 1
Y =
则P{X + Y = 0} =______；P
Y
= _________．
− X， | X | 1， 2
- E(x)
X
*Y
e
f [NeX x0 ExM 91 - x
= ,
: = ,
0, X0 0
,
X=0
P(x + y = 0) = P(x = - X) = P((X)y() = P(x x(vX - 1)
P(xx() + p(x( )) = 1 - P(x = 1) +o = 1 - Fx()
=
) a
(1 e
= - - =P(x = z) = P(X = X Y =E Y + P(X = - X X = Y
, ,
P(x X X = * + P9X = - X xx - )
= = , ,
= P((X) = 1 , X =* ) + PY(Xk 1 , X - 2)
E) P(x13
pl + = X= +
=
Ex(z) Ex( ) + 1 P(x = )
= - -
Fx)
-e 1
= 1 o + -
-
-
(1 e)
= 1 - e + 1 - -
-
-
= 1 - e + e题型四、随机变量函数的概率分布(★★★★)
一、离散型随机变量函数的分布
设随机变量 X 的分布律为P(X = x ) = p ,(i = 1,2, )，且Y = g(X )，求
i i
Y 的分布律.
第一步、定Y 取值： g(x ), g(x ), .
1 2
第二步、求概率：P{Y = g(x )} = P{X = x } = p .
i i i
第三步、整理合并，得最终 Y 的分布律.二、连续型随机变量函数的分布
已知随机变量 X 的概率密度为 f ( x), 求随机变量Y = g(X )的概率密度
X
fx(y)
f ( y).
+0
Y
S
O
11/
法一、分布函数法 ab S
第一步、首先由 X 的取值范围确定Y = g(X )的取值范围，假设为[a,b].
第二步、求Y 的分布函数F ( y) = P{Y y}, y (−,+)：
Y
( ) ( )
(1)当 y a时, F y = 0;当 y b时，F y = 1.
Y Y
( ) ( )
(2)当a y b时有F y = P Y y = P g X y = f (x)dx.
Y X
g(X)y
第三步、 f ( y) = F ( y) .
Y Y
+
9 (X)x
31. X g c)
Y 9/4)9 = =
=
f [g−1( y)]|[g−1( y)] |, y
法二：公式法 f ( y) = X .
Y
0, 其它
解题思路：随机变量函数的分布按随机变量又分为离散型、连续型和
混合型多种：
思路 1——离散型随机变量函数的分布Y = g(X )只需
(1)定出Y 取值；(2)求概率即可.
思路 2——连续型随机变量 X 的函数Y = g(X )若仍为连续型随机变
量，则既可用分布函数法求 Y 的密度函数，也可以直接用公式.
思路 3——若Y = g(X )为混合型随机变量，则只能用定义求分布函
数，此时无密度函数.【例2.16】 设随机变量 X 的密度函数为
2 1
f (x) = ,− x +，试求随机变量Y = g(X )的概率分布，
ex
+
e−x
−1, x 0,
其中函数 g(x) =
1, x 0.
#B
E-1 1
: . .
P(x 17 1991) 15 = PExco) 1 fixax
= - =
= - =
%
- ax
: E =
=
ex eX
+ ( +P 1
+
-
(
Earcem et 0 E
= = - =P(X 17 P(qm) 1) P9X0) 1 . fixax
= = = = =
1 *
[ E ax Earctune
*
=
=
extet
(-) E
=
=
y I
-
I
P I
Z【例2.17】 设随机变量 X
1
( )
的概率密度函数为 f x = ,求随机
X ( )
2
1 + x
变量Y = 1 − 3 X 的概率密度函数 f ( y).
Y
FRIE ( c)
35-iiX - c +
,
3X RIE( b)
: X = 1 - - 0 , +
y)
P(X y) P(1 > y) P93xx1
· Ex (y) = = = - x = =
yp) f fxmxax f + I
PTX (
= + = = dX
x( X]
y) +
(
-
I y)
3(1
Fxly) (Hy) -
full 3 ()
: = = - · · =
x[ y)]
+
(
-
7)[l
+
(1
-
4)]Y 3
(3 = =i = 1 -
x)3
(
X
- = -
.
y)
: x (1
= -
22-y3y'
fxl fx yp)
(c
: = - ·
I
-y)
3 (
-
-
y)9]
221 C
+ -
y)2
3(1
-
- Y(( - x , + c)
7[1
+
(+ y)]【例2.18】 设随机变量 X
1
, − 1 x 0,
2
1
( )
的概率密度为 f x = , 0 x 2, 令
X
4
0, 其他,
Y = X 2,F ( x, y ) 为二维随机变量(X ,Y )的分布函数. 求：
( )
(I) Y 的概率密度 f y ; fx(y)
= 0
Y
O O
X /
(1) :· XTR I (1 2) . X = FE [0 4)
. , D
i 3
O
Exyl PSX y) yec-c tro)
=
: ,
=
& EY =0 At FuMl @ 434 At Ex() 1
=0 =
,
.③ E0 < Y < PAJ
== fxx
Exl = PSX = y) = PEX = 1) = P1-5 = X ax
AJ
PEO < Y = 1 X
I
E7
Stax + = A O
Exy) x
=
I
Forgi
22ky At
< 4
X
M
I
Fx) [ Eax 1kxx 2
= + = + I A e
O
~
I
3
To in
-
Exy) 3 2
fxM)
Y
: = = < El
zr9
&
zi
1 < 424
#
81
(II) F(− ,4).
2
z 4) P9X z x 47
F( 2 4) P(X = - x= = = - =
- , = , ,
-E 2)
P(X = -z = X =
= ,
X
I
E) &
= P - z = X= - A 7 O
M
u
(11)
I
& &
I i
I [ to
-2
faux 2
=
=
I
= I【例2.19】 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量
Y = min(X ,2)的分布函数( B ).
(A)是阶梯函数 (B)恰有一个间断点
(C)至少有 2 个间断点 (D)是连续函数
-X EI)
Y
EY e-
fx(x) I xo Fx( = I 1- X30
i = , ,
0 . X = 0 0 X =0
,
FRIE (0 b)
X +
· ,
X min (X 2) FREE 10 2]
. = . ,&
Fx(y) PSX =Y)yE(-0 ec)
: = ,
Y
-
DE Y 0AT FMl @ 42AF Fx(y) 1
= =0 ;
,
=
O
·
O
42 Af
Eo <
③
,
Ex(y) = P(( = y) = P/min (x . 2) = y) = 1 - Pimin (X . 21 < y
1 P(x > Y 23y) = 1 - P(x,y)
= - ,
-Y
P(X y) Fx(y)
= 1 e
= = = -
0 Fx(0) Ex(o) Fol
4 = 0 = =
O
Fx(y) ↑ &
: =
1- e2
4 25 Fx(z) F(zt
1- E 0 < %12 = , = 1
,
1 2 ER-
12 :
.& (ab) = x() (a = x b = x)
max ,
Emin Carb) < x] ) [ a< iX b < x]
,
