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题型五、抽象型非齐次方程组求解(★★★★)
⽆穷多
荣
解题思路——如果A X = β是抽象方程组且有非零解，则
mn
第一步、求R(A).
第二步、由题目的已知条件求出n − R(A)个AX = 0的线性无关解,即可
作为一组基础解系，则可得到通解.
第三步、找 1 个AX = β的特解，则可得AX = β的通解.
( )
特别地，如果A = α ,α , ,α ，如果k α + k α + + k α = 0，则
1 2 n 1 1 2 2 n n
(k ,k , ,k )T 即为AX = 0的一组解.且k α + k α + + k α = β，则
1 2 n 1 1 2 2 n n
(k ,k , ,k )T 即为AX = β的一组解.
1 2 n( )
【例4.10】 已知 4 阶方阵A = α ,α ,α ,α ，α ,α ,α ,α 为 4 维列向
1 2 3 4 1 2 3 4
量，其中α ,α ,α 线性无关，α = 2α − α ，如果β = α + α + α + α ，
2 3 4 1 2 3 1 2 3 4
求方程组AX = β的通解.
解 : ∵ ⼩ 3 24 天关
2
r (22 2 24 ) 3
∴ =
s
.
. V(A ) = r (2 . t2354 ) ≥ , γ ( t < ts 24) = 3
⼜ α 2 22 ⼩
. = - 3
∴ σ . - 2 2 rt 23 to J 4=
⼼
. " . ⼩ . , te相关且 ⼩ .⼩⼩ . |= 0
t (
(
i r (2 222 24) < 4
. ,! V(A )
=
r ( 2
.
5
.
f
,
σ
4
)
=
3
基础解系有 个解
∴ AX = 0 4- 3 = 1
( 信为
⼀个基础解系,
AX
∴ =0
tit tot tsete
=
B (← atot , tellj |=β
:
( | 是 Ax ⼀个解
” =β
通解川
| CR)
Ax =β
. T
1
0
【例4.11】 设 A = ( , , , )为 4 阶正交矩阵，若矩阵B = T ，
1 2 3 4 2
T
3
1
= 1 ，k表示任意常数，则线性方程组Bx = 的通解 x =( D ).
1
(A) + + +k (B) + + +k
2 3 4 1 1 3 4 2
(C) + + +k (D) + + +k
1 2 4 3 1 2 3 4
为正政
A ( 2 ⼩ 24 )
∵ = . s
天关
正交且为单位向量且 α22 24
2 ⼩ ts 24 两 E ⼩
∴
.
r
(B ) =γ ( 2 + 23 )
=
3
∴ . .⼀
B
B X
=
3×41
个天关解
有 4 r (B) 1
BX 0 - =
=
裂 (
B 24 1 | α+= 您 1 f
= =
:
⼩ T JTJ
4
⼀个基础解系
∴ f 4 是 BX = 0
⽽ B ( 2 + fz + 2 s ) = B 2 . t B 2 rt B 2 s
.
州創 1
1 1 1
削 +
% ⾮
σ5
O T
3
⼀个特解 通解
. : . + r + f 3 Bx=β : α + 2 z + fs + k 24
2 2 是 .
,Al " . … a y + a y + a y = b ,
"11 1
U
12 2
O
13 3 1
【例4.12】 设线性方程组(I) a y + a y + a y = b ,有唯一的解
21 1 22 2 23 3 2
a y + a y + a y = b
31 1 32 2 33 3 3
iktti
n a x + a x + a x + a x = b ,
=
)11 1 12 2 O13 3 O14 4 1
U
T
ξ = (1,2,3) ，线性方程组(II) a x + a x + a x + a x = b ,有一个特
21 1 22 2 23 3 24 4 2
a x + a x + a x + a x = b
31 1 32 2 33 3 34 4 3
T
解η = (−2,1,4,2) ，则方程组(II)的通解为 .
AX =β
有唯⼀解
∵
( ) =γ ( 2 2rts) 3
∴ γ A . =
.
∴ . r(B) = F( 2 222 s 24) ≥γ (A ) = 3
.
⽽ B " γ (B) ≤ 3 ∴ r (B) = 3
3×4个基础解系解同量
的 BX = 0 有 4 - r ( B) = 1
⼀个解
是 Ax =β
” 信 |
通解
×=β
∴ B
β ⼀个解 为川 )
号 Bx (cid:49455)
( -
”
|
的解
也是 =β
Bx
星 |
⼜ =
信⼘ 1 是 Bx = T 解且为基础解系
0-题型六、矩阵方程问题转化为方程组求解(★★★)
解题思路——矩阵方程比如AX = B，若A不可逆，则应设成方程组来
求解X.
B 设 X ( 2 22 ts) B= β , β β )
1 AX = = . . . ( . … s
. mxs
nxs
man
> Al 2 . to - . ts ) = ( β (cid:49477) β … β s ) → ( A 2 . , At …Ats ) =( β . β - … β s )
) A 2 . =β , , AJ . = β r …At , =β s
ATXT BT
转置为
XA B =
2 =
,
.
则 X 每个元素设出来
其它情况如 AXB C
=
3 ,
.
求解
,1 −2 3 −4
【例4.13】 A = 0 1 −1 1 ，
1 2 0 −3
E 为 3 阶单位矩阵.
(1)求方程组AX = 0的一个基础解系；
⾏最 简 0 |
,
( % 1
A
" -
0 ( 0
, -
=|, ⼀个基础系
引是
Hx
: 0(2)求满足AB = E的所有矩阵 B .
A B E 设 B = ( β β β ) E =| : : : ) ( 0 rls)
= (cid:49477) . , = ,
33
,
3×ψ 4x
7 A ( β β β ) = ( r . v = r 3 ) (cid:15482) AAR . , Aβ , , A β> ) = 1 r . r . a r 3 )
. . 3
β==γ A β =γ
A β =γ A 2 3 s
→ (cid:49477) . , ,
01
( * E ) =| : ? ∴∵ : : ) 吉滾可
…
1
β= |β 洲 β “ 部
川(2)求满足AB = E的所有矩阵 B .
- K 2 + 6 - k 3 - 1
11 䜜
: B = ( 9 . β , : 2K 2 - 3 wari | lu . kalsER ,
31K
-
4 3k
3
+
2
ks
Ki kz1 a 0 1
【例4.14】 设A = ，B = ，当
1 0 1 b
a , b 为何值时，存在矩阵 C 使
AC − CA = B，并求所有矩阵 C .
中
代⼊ B
解 设 C ( 峭 ) AC - CA =
= ,
:
(
* : | - 1 | ! % |= % )
(
炎 = 1 " ,
必 “ ) )
→
→ ( - * - Gx . + xr + ax 4川 % )
=
4 x axs
x -l - xztax3 - ax +
xrtax"
( 1 0 , ! )
=
4 λ X X GX
. - 3 - 4 2- 3
xz tax 3 =
-
“
[
=β
没为 DX
aX + 九 + ax 4 = 1
- .
]
1
π x 3 - x 4 =
-
b
X 2 - ax 3 =
( D 1 β ) ⼆ 1 0 - 1 a a ∵ ) | 0 - 1 - 1 1 )
⼀ a | 0 0 … … 0
| 0 + - 0 0 0 atl
O 1 - a 0 0 b
0
若 ( 存在 则 DX =β 百解 ←γ (D)= r (D 1 β ): a = - 1 b = o
,
,l 0 - + ⼀ 1
1 (cid:49478)
( 1 β) → 0 " 0
0
% 品品品
(cid:49478)
州州州
(
∵
c ( 炎 ( “ ” ∵| . KaGR
∴ =题型七、同解与公共解(★★★)
思路 1——同解问题：如果AX = 0的解也是BX = 0的解，BX = 0的解
也是AX = 0的解，则两个方程组为同解方程组且必有r(A) = r(B).
思路 2——解的包含问题：如果AX = 0的解也是BX = 0的解，必有
r(A) r(B).
n- r( A ) ≤ n - r (B (cid:15482) γ(A) ≥γ (B)
)
思路 3——如果AX = 0的解与BX = 0的解有公共部分，则称为公共
解，若求公共解往往将两方程组联立求解.
避是同解⽅程组
ATAX
1 rCA) γ (ATA ) AX = 0 与 = O
=
.
设 α 是 Ax ⼀个解 A α= 0 (cid:15482) ATA α= O
证明 : = 0 , ,
解
也是 ATAX
α =0
∴
T
没⼈是 ATAX ⼀个解 ATA 2 0 E 乘⼈
= 0 =
, ,
TATA 2 =
2
(cid:15482)
^
→ ( A2 ] ( A 2 ) = 0 → A 2 = 0 (cid:15482) 2 也是AX = 0解 ,
⼀
⾏⼊列
同解 γ(A) =γ ATA)
∴
∴没Aman Buxs = O 则 V (A) + r ( B) ≤ n
2 ,
.
证明 苦 AB = B = ( β . β 2 … β s )
:
的解
: B 的列向量 . - , 是 AX = 0
∴ β β - β
解⼀部分
β 是 AX
β =0
∴ …
,
( β β ) ≤ n- r (A )
: r … s 區
,
γ (1B) ≤ n - VCA )
. ③
.
“ β
s
VCA ) r (
13)
≤ n
∴ +
. x + 2x + 3x = 0
1 2 3
x + bx + cx = 0
【例4.15】 已知方程组
2x + 3x + 5x = 0与 1 2 3
1 3 3 2x + b2x + (c + 1)x = 0
1 2 3
x + x + ax = 0
1 2 3
AX
同解，求a,b,c的值.
= 0
同解
解 与 BX
∵ Ax =O = 0
:
∴
VCA )
=
r (13 ) ⽽ B
2x3 ,
γ ( B) ≤ 2
∴ r(A ) ≤ 2 < 3
.
2 3
Ai |→|∴ 2 3
)
" ∴ a 2
=
.
=^ 5
(cid:49478) 的
1 1 G
1 ⼀个基础解系
→ ( | 0 l : ⼈作制是 AX =0
0 ^ 1
0
0同解
Ax 与 Bx =0
∵ = 0
,
也是 Bx 解
| = 0
⼀
+ - b + c = 0 { 或得活
{
∴
.
b
- 2 - + ct | =
B = ( i 站 ) ( B) =| 但 VCA) = 2
当三況时
排除
B = ( i : ; ] r (B) = 2 , γ(A) = 2
当部品时
b 1
: a= 2 = C = 2
,t
x + x + x = 0
1 2 3
【例4.16】 设线性方程组 x + 2x + ax = 0 与 x + 2x + x = a − 1有公
1 2 3 1 2 3
x + 4x + a2 x = 0
1 2 3
共解，求a的值及所有公共解.
个⽅程组联⽴
解 将
2
:
| … 0 1 1 | 0
幽 时 1
)
l 2 G 0 → 0 | a- 1
0
2
| 4 a 0 0 0 1 a af
… a- 1
0 0 0 ()
a (a
-
2)
若有公共解 则 AX =β 有解 ← rCA) rCA ( β )
=
,
(cid:15482)
或
a
=
1
a 2
=Case) . 若 =
a
| | |
1
1 0
: :
10 1
( A ( β ) → 1
0
(cid:49478)
0
0 0
0 0 (cid:49478) 0
…
0 0 0 0
(i
所有公共解为
“ | ok
,
若 2
case2 a =
.
”
| 1 | 0
|
洲
(A 1 β) → (cid:49478)
0 | 1
0
0 时
0
0 0 x + x = 0,
【例4.17】
设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为
1 2
又已知某线性齐
x − x = 0,
2 4
次方程组(Ⅱ)的通解为k (0,1,1,0) + k (−1,2,2,1) .
1 2
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；
以深数矩阵 ( ! ! ∵∴ ) 1 : " ∴ 1 1
→
, ,
1 : 1 : ⼀个基础系
] 即为九
1
|(2)问线性方程组(Ⅰ)及(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非
零公共解.
⻄ 通解
州 1
: ↑
代⼊到 ② )
1
K
2
代⼊⾶炎 (cid:49478) → 災品 ∴ ( = - k ,
KtR
=
公共解 叫 , 且 ±
0
∴
K
⼀
1
即为全体⾮ 公共解 ,
0(2)问线性方程组(Ⅰ)及(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非
零公共解.
=
“
四川劃⼀
Ok +
=) 0 k , - K 2 - 3 K 4
{
K 1 t 2K 2 - Ok 3 - ( K 4 =
⼀
⼀
