(66)-线代10_二次型笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第六章 二次型第二部分、题型解析 题型一、二次型的标准化、规范化(★★★★★) 一、二次型及其矩阵形式 1. 定义 n元二次函数 f (x , x , , x ) = a x2 + 2a x x + 2a x x + + 2a x x 1 2 n 11 1 12 1 2 13 1 3 1n 1 n + a x2 + 2a x x + + 2a x x 22 2 23 2 3 2n 2 n 2 + + a x nn n 称为n元二次型, 简称二次型．其中a x2 ,a x2 称为平方项， 11 1 22 2 2a x x ,2a x x 称为混合项. 12 1 2 13 1 32. 二次型的矩阵表示法 a a a   x  11 12 1n 1     a a a x  21 22 2n   2  对上述二次型，如果令A = ，X = ，         a a a x     n1 n2 nn n 则二次型的表达式可用矩阵表示： f (x , x , , x ) = XTAX，其中 1 2 n A 称为二次型的矩阵. ( EFJB) I O xi x2 I' ( x 1 f(x Xi X3) + 2x x2 A = = , = + , I I S XTAX 00 = o f I 2 x BX B I % = = 8 O I 000二、二次型的标准形与规范形 1. 二次型的标准形 如果一个二次型仅含平方项，不含混合项，即 = f (x , x , , x ) = a x2 + a x2 + + a x2 1 2 n 11 1 22 2 nn n 这种二次型称为标准二次型. 上述二次型的二次型矩阵为对角阵. 2. 二次型的规范形 如果一个二次型已为标准二次型，且平方项系数 只为1,−1或 0，则称这种二次型为规范二次型.三、可逆变换与正交变换 设一n元二次型 f = XTAX，若将该二次型的自变量作换元，  x = c y + c y + + c y 1 11 1 12 2 1n n  x = c y + c y + + c y  2 21 1 22 2 2n n 令 ,   x = c y + c y + + c y  n n1 1 n2 2 nn n  x   y  c c c  1 1 11 12 1n       x y c c c  2   2   21 22 2n  X = ,Y = ,C = ，             x y c c c       n n n1 n2 nn 则上述换元换元也可表示成X = CY.若C为可逆矩阵，则称X = CY为一 个可逆的线性变换；若C为正交矩阵，则称X = CY为正交变换.四、二次型的标准化 对于二次型 f = XTAX，如果可以用一个可逆的矩阵 C ,变换X = CY将 二次型 f = XTAX化为标准形YT ΛY = k y 2 + k y 2 + + k y 2 ，这个过 1 1 2 2 n n 程称为二次型的标准化.五、二次型标准化法之配方法 情况 1 f = XTAX中有平方项 第一步、若 x2 的系数不为零，就把所有含 x 的项合并在一起，进行配 1 1 方；再将剩余项中所有含 x 的项合并在一起进行配方，以此类推，直 2 至将 x 配方完毕，于是二次型变为： n f = XTAX = k (x + )2 + k (x + )2 + + k (x )2 1 1 2 2 n n 第二步、将配方后的每个括号依次换元成 y , y , , y ，则 1 2 n f = k y 2 + k y 2 + + k y 2 . 1 1 2 2 n n 第三步、解出X = CY，得到可逆变换矩阵C. x = y + y , 1 1 2  情况 2 f = XTAX仅有混合项不含平方项，可令 x = y − y ,，于是混 2 1 2  x = y  f X Xz + 5X X3 3 3 = , , 合项 x x 就会转化成 y 2 − y 2 ，再按情况 1 的三个步骤进行配方即可. 1 2 1 2 注：配方法不唯一，所得标准也不唯一. #15 PIT FIL' EK K Kn 5 A FEGEE . ... F六、二次型标准化法之正交变换法 ( f xAXX = (x)T A(X) 第一步、写出二次型的矩阵A. = A XX = = ↓ 第二步、求出矩阵A的n个特征值, , , . ① AQ Q AQ = 1 2 n =X 第三步、求出矩阵A的所有线性无关的特征向量α ,α , α . 1 2 n 第四步、将α ,α , α 正交化、单位化得e ,e , ,e . 1 2 n 1 2 n  1     2  第五步、令Q = (e ,e , ,e )，令 = ，则 1 2 n        n Q−1AQ = QT AQ = Λ. f 54; 64 34 = + - 第六步、用正交变换X = QY将二次型化为标准形，即 f = XTAX = (QY)T A(QY) = YT(QTAQ)Y = YTΛY =  y2 +  y2 + +  y2. 1 1 2 2 n n 其中，e ,e , ,e 恰为二次型矩阵A的经过正交化、单位化后的n个线 1 2 n 性无关特征向量，且,  是与e ,e , ,e 对应的n个特征值. 1 2 n 1 2 n解题思路——如果二次型标准化、规范化没有规定使用哪种方法，则 可任选配方法、正交变换法一种即可.如果规定了使用哪种方法则务必 要用相应方法进行. 如果题目已知正交变换X = QY后二次型 f = XT AX的标准形是  y 2 + y 2 + y 2 ，则, ,即为A的特征值，Q = (e ,e ,e )其中 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 e ,e ,e 是, ,的经过正交化、单位化后的特征向量，于是二次型问 1 2 3 1 2 3 题就转变成实对称阵的正交相似对角化问题. 但需要注意的是，如果是 经配方法而得到的标准形，则与A的特征值特征向量无关.( ) 【例6.1】 用配方法化 f x , x , x = 2x x − 4x x 为标准形并求出所 1 2 3 1 2 2 3 用可逆线性变换. : Bil = A f -24: 2 (itt2)(4 -42) 414 42/4 4424 = : - - - + 2(43 24 43 45) 245 242 + 4424 = - , - - + 43) 43) o(43) 2(4 2(y = . - - - + Y 43 z f 1 & , - = , F = 2 zi - 222 + 02 12 43 zu = = Y Es =4 z Es = + Y 43 z , , - = & , , I 12 43 Y = = zu => = 22 + Es Y Y3 = Es - Es Y +4 z + 22 2Z X = = , + , , in S ↓ ↳ 2 I I C z1 zz = Xz = y - 42 = - I - 0 , Y3 00 X3 = - Es (2 fX= FB 27 ? 2E2 25 +o -【例6.2】 已知二次型 f (x , x , x ) = (1 − a)x2 + (1 − a)x2 + 2x2 + 2(1 + a)x x 的秩为 2． 1 2 3 1 2 3 1 2 (1)求a的值； O 1)A ) I = 1 a ⑧ - g 2 O # Br(A) = 2 3 . (A) = -8a = 0 : a = 0 A I I O I = I I I O O O 2(2)求正交变换x = Qy，把 f (x , x , x )化为标准形； 1 2 3 A I I O I = I 11 O O O 2 #(A-XEl = 0 = x = xi = 2 x3 = 0 (i) ( ! )d Ex = x = 2 At (A-zE)X =0 = d = = . AX Ex3 = 0 At = 0 = G = (g) 622 . e) en() es ↓↑ a = (e exe)x = ( - 2) FE QTAQ = QTAQ =x , . , QY(QYTA(aX) AXX= 2 f X YTQTAQ) ( I c)x : = = = " ? 24 24 + = ,【例6.3】 已知二次型XT AX = x2 − 5x2 + x2 + 2ax x + 2x x + 2bx x 的 1 2 3 1 2 1 3 2 3 秩为 2,(2,1,2)T 是A的特征向量,那么经正交变换二次型的标准形 是 . I )a & <(2 Ein FREE EX A = 5 D , - 1b (2) (2) :A x = I a x() (( 2) G = = 2 b + 4 = b = a = = 2 xi = 3I I 2 )z I A = 5 2 - I I 2 r(f) i = r(A) = 2 3 (A) x 52 X3 : = 0 = , &X 0 : = &x , + x + x3 = tr() = 3 + x + 0 = 3 = xc = - 6 SJRPIIIHE F 34? 542 · : = -【例6.4】 已知二次型 f ( x , x , x ) = xT Ax通过正交变换x = Qy化成标 1 2 3 T   2 2 准形 y2 + y2 ,其中Q第三列为 ,0,  (1)求A. 1 2 2 2   2 : # ** FIR 7 4 + (1) : : : FREE A N x = 1 X3 = 0 : = 33 0. = . E X in 0 0 · = A FB : 75 F . x x 1 7 . = = ** esExtoXEX 1101/ =0 => X + 0x2 + X3 =0 : , 1 , )n 1 I · Ep x 12 lig F = = a = = = (i) d) Eit en = e e : = ) 1) ma+ ↑ a = (e , e , e)x = Aa = QTAQ = x & (to A QaT - z I : = = O 10 - I o I(2)证明A + E为正定矩阵,其中 E 为 3 阶单位矩阵. (A E)" A ET A E : + = + = + AtE x Zz - * 2 + X3 = zz - z3 o o 1 X Gz7 = Ey X3 Xy = Z = f , z z = +3 42 45 41 43) 0(43) 9 (9 % 43) = y + + + 2424 = + (42+ + . . 4, z = (2 zi ? 9 z 42 4 ·: = + Zu + = 43 zu = pTAP B = I ou = ) I z CY = I I o O O I f(xix2Xs) GGzX*F X GZ 9(4 4243) . = = = . PY = : E * P C ( I ·I - , )(i) / : - 11 = , = I = I O 0 0 I O o( ) ( ) （II）是否存在正交变换 x = Qy, 将 f x , x , x 化为 g y , y , y . 1 2 3 1 2 3 L X #E = QY f XAXStA9 = X BY = QY(Qx)TA(QX) xTAXX= /f EQTAQX XTBX | = = = * B QTHQ Q AQ . = = X/ 12] FAYM A B : . i A I I I - I I B = I I ⑧ = = I o I I I 20 o - 02 iptr(Al 5 = tr(Bl = 3 in At B : D TEL ** J = . . . .题型四、合同与正负惯性指数(★★) 一、惯性定理 定理 设二次型 f = XTAX 的秩为r  n,若有两个线性变换将 f 分别化 为: f =  y2 +  y2 + +  y2(  0,i = 1,2, r) 1 1 2 2 r r i f = l z2 + l z2 + + l z2(l  0,i = 1,2, r) 1 1 2 2 r r i 则中正数个数与l 中正数个数相同, 从而负数个数也相同. 系数 i i i 中 正数的个数 p, 称为二次型 f 的正惯性指数; 负数的个数q称为二次型 f im - 的负惯性指数. PAL FREE A RE 注：二次型的标准形不唯一但规范形唯一.二、矩阵的合同 1.合同矩阵 若对于n阶矩阵A与 B ,存在可逆矩阵C使得CTAC = B, 称 A 合同于 B．记作A B 定理 若经可逆变换X = CY后，则变换前后的二次型矩阵A与 B 合同， 即CTAC = B. CXE f ItE) XTBY x AX X = = CY X = f x AX (CY)A((Y) YCA(X XTBY = = = CAC B : =  1   定理 任一实对称矩阵都可以合同于一个实对角阵 = ,其        n 中, , 是 A的全部特征值. 1 n 2.性质 (1) A与A合同； (2) 若A与B合同，则 B 与 A Q AQ QTAQ = = X 合同； (3) 若A与B合同, B与C合同，则A与C合同.3. A与B合同的条件 如果A与B都为n阶实对称阵，则A与B合同的充要条件是XTAX与 XTBX有相同的正、负惯性指数, 也就是 A 与 B 的特征值正、负个数相 同. ) 1 ) f 24i 342 645 zi zi z5x x = AX = + - = + - = 1 -, 543 742 943 zi z2 23 9 xyBX1 + = + - - = =解题思路——合同的判定： 两个实对称矩阵A,B合同的充要条件是： ①它们的正负惯性指数相同. ②它们的二次型对应的规范形相同.【例6.8】 二次型 f (x , x , x ) = x2 + x2 + x2 + 2x x 的正惯性指数为 1 2 3 1 2 3 1 2 ( C ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 x2) x3 y 43 f (x + + = + = 1 2 0    【例6.9】 设A = −1 4 0 ,则与     0 0 −5   A 合同的矩阵是( B ). 1 0 0  3 0 0  −1 0 0  2 0 0         (A) 0 −2 0 (B) 0 2 0 (C) 0 −1 0 (D) 0 2 0         0 0 −1 0 0 −5  0 0 −1 0 0 1         A75 = : f x AX xi 4x2 5x3 (x x2 5x3 = = + - + XX2 = + + - ? zi zi z + - =题型五、正定二次型与正定矩阵(★★) 一、正定二次型 对于二次型 f (x , x , x ) = XTAX,如果对于任意一组不全为零的实数 1 2 n x , x , x ， f (x , x , x )  0,则称二次型是正定的，矩阵 1 2 n 1 2 n A 为正定矩 阵.二、正定二次型(正定矩阵)的判定 第一步、如果要判定A是否为正定矩阵，先判断矩阵A是否为对称矩 阵； 第二步、利用正定矩阵的如下充要条件之一进行判定. (1).X  0， f (x , x , x ) = XTAX  0恒成立； 1 2 n (2).A的特征值都大于零； (3).矩阵A左上角各阶子式 (称为 A 的顺序主子式)恒大于零； (4).A与单位阵E合同，即存在可逆矩阵C使得A = CCT = CTC； (5).A的正惯性指数等于n.【例6.10】 三元二次型 f ( x , x , x ) = 2x2 + x2 + x2 + 2x x + 2ax x 是 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 正定二次型，求a的取值范围. O A (ii I = a a ! o E 81 = 121 = 2 > 0 E A 25 I E) - zaz E 21 02 130 = = 11 83 1A) 1-2a = = 30【例6.11】 设A,B分别为 m 、 n ↑ 阶正定矩阵,试判定分块矩阵  A O C = 是否是正定矩阵.   O B   B A - . : AT = A BT = B # A . BEEEEXA .... XAm XB1 :· XBM , ET0 = ( CQJE : it O [ :【例6.12】 设A,B是 n 阶实矩阵，r(A + B) = n，证明：AT A + BTB为正 定矩阵. C ERA CATA + BiB)T = CATA)" + (BTB)" = ATA + BT B = ATA BTB FER : + -X + 0 XT(ATA BTB)X XTATAX XT BiBX (AX)i(AX) (BX) + = + = + (BX) llAXIP 11BX11 = + 0 llAXIP 11 BX1 AX + = 0 => = 0 BX = 0 , CA B) X i CATB) => + = 0 = n MATBI CATB)7 5x 03 to = X = : =0 , ,【例6.12】 设A,B是 n 阶实矩阵，r(A + B) = n，证明：AT A + BTB为正 定矩阵. 11BX11" llAXIP o : + BB ATA : +