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2025第六章
数理统计的基本概念第一部分、知识点解析
一、数理统计的基本概念
1.总体与个体 把研究对象的全体称为总体, 而总体每一成员称为个体.
总体所含个体的个数叫总体的容量.
2.随机抽样 按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测试的过程称
为随机抽样.3.简单随机样本 若 X , X , , X 为来自总体
1 2 n
X 的一组子样, 且满足
① X , X , , X 与总体具有相同的分布;
1 2 n
② X , X , , X 相互独立. 则称(X , X , , X )为一组简单随机样本.
1 2 n 1 2 n
4.样本观测值 一次抽样的结果 x , x , , x 称作样本 X , X , , X 的观
1 2 n 1 2 n
测值.
n
5.样本的分布函数 F(x , x , , x ) = F( x ).
1 2 n i
i=1
PEX
= =X X2 : x2 XuEXu]
, ....
,
= P(X =X1) PEXzEX2] PEXn Xul
, . ... =
F(x1
= F(x2)--- F(X)
·6.统计量 设 X , X , , X 为总体的一个样本, 称 g(X , X , , X )为样
1 2 n 1 2 n
本函数, 其中 g为一个连续函数. 如果 g 中不包含任何未知参数, 则称
g(X , X , , X )为一个统计量.
1 2 n二、常用统计量
1 n 1 n
1.样本均值: X = X , 其观测值为 x = x .
i i
n n
i=1 i=1
1 n 1 n
2.样本方差: S2 = (X − X )2 , 其观测值为s2 = (x − x)2 .
i i
n − 1 n − 1
i=1 i=1
3.样本标准差: S = S2 , 其观测值为s = s2 .
1 n 1 n
4.样本k阶原点矩: A = X k , 其观测值为a = xk .
k i k i
n n
i=1 i=1
1 n 1 n
5.样本k阶中心矩: B = (X − X )k , 其观测值为b = (x − x)k .
k i k i
n n
i=1 i=12
三、 分布
OXE@ 127's
1.定义 设 X , X , , X 为来自 N(0,1)的简单样本, 称随机变量
1 2 n
Y = X 2 + X 2 + + X 2 的分布为自由度为n的 2 分布, 记为Y ~ 2(n).
1 2 n
X
Xin)
-
>2. 性质
(1)若 X ~ N(0,1)，则 X 2 ~ 2(1).
(2)可加性: 若 X ~ 2(n ),Y ~ 2(n ), 并且 X ,Y 相互独立,则
1 2
X + Y ~ 2(n + n ).
1 2
(3)如果 X ~ 2(n),则E(X ) = n, D(X ) = 2n.3. 上分位点(数)如果 X ~ 2(n), 满足P{X c} =的点 c 为 2 分布的
上分位点(数)，记c = 2(n).
↑
M
&
his
!
+ a四、t 分布
X
1.定义 设 X ~ N(0,1),Y ~ 2(n)且 X ,Y 独立, 则t = ~ t(n).
Y
n
↑
1
↓
"
&
Ef(n)
C =2.上分位数: 满足P{t c} =的点c为 t 分布的上分位点(数)，可记
作c = t (n).
五、F 分布
1.定义 设 X ~ 2(n),Y ~ 2(m)且 X
X
n
,Y 独立,则F = ~ F(n,m).
Y
m
2.性质:
1 X
(1) 若F ~ F(m,n), 则 ~ F(n,m);
F
-
(2) 若t ~ t(n), 则 t2 ~ F(1,n);
&
M
~Xi)
X ~Nal) XY S
E
t
= = &
(n) Y
↓ ~
T3. 上分位数: 满足P{F c} =的点 c 为F(n,m)分布的上分位点
1
(数), 记作c = F (n,m)，且F (m,n) = .
1−
F (n,m)
六、单个正态总体的抽样分布 设 X , X , , X 是取自正态总体
1 2 n
N(, 2 )的简单样本, 样本均值与样本方差分别为 X , S2 , 则
n
2 X − S(x-
1. X ~ N(, )或标准化为 ~ N(0,1);
n / n
P
X −
x)2
&2. ~ t(n − 1); E (xi
-
S
X
=
F
EEGE
n &
↓ =
(x-
2
X − n X −
3. i ~ N(0,1)，于是 i ~ 2(n)；
E i=1
**
1)5
(n
n X − 2 (n − 1)S2 - -
O4. i = ~ 2(n − 1);
j2
2
i=1
5. X , S2 相互独立.第二部分、题型解析
2 题型一、统计中几个常见分布 分布， t 分布、 F 分布的构造与性质(★
★)
解题思路——这部分的题目主要考查对几个常见分布概念与定理的理
解，弄清楚三个重要分布所对应的统计量的结构形式是求解这类问题
的关键.而这三个重要分布的基础均是标准正态分布，如果题目中已知
的是一般的正态分布，则需要进行标准化.【例6.1】 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则( )
(A) X + Y 服从正态分布 (B) X 2 + Y 2 服从 2
C
*** 分布 # EZ
~
(C) X 2与Y 2 都服从 2 分布 (D) X 2 / Y 2 服从F 分布 ****E
will
X il【例6.2】 设总体 X ~ N(0, 2), X , X , X , X 是来自总体
1 2 3 4
X 的简单随机
(X + X )2
样本，求随机变量Y = 1 2 的分布.
(X − X )2
3 4
= X
:
X2 X 3 X4 ~ N10
.
+2) # FREE
25
: E(X + X2) = EXTEXz = 0 P(XitXv) = DX , + DXz =
~N 10 28)
(x X2)
: + .
E(Xz - Xo) = 0 D(Xs - Xy) = DX, + DXy = 252
257)
X3 X ~N(0
~ - + .
Xi+Xz
XS-XNl
: N (0 1)
~ .
+
( ( -~Fl
: V
=【例6.3】 设 X , X ,…， X 是来自总体 N(0,22)的简单随机样本，求系
1 2 9
数a,b,c使Q = a(X + X )2 + b(X + X + X )2 + c(X + X + X + X )2 服
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
从 分布，并求其自由度.
5 b +n
b
: a = =
c=
=
3
~ N10 22) #E
X Xa
- . . . .
.
E(Xi Xz) D(Xi Xz) = . X + X ~(10 8)
- + = 0 + = , = .
E(Xs + Xy+ X5) = 0 D(Xy + Xx+ X5) = 12 . : Xs+ Xy+X5 ~N(0 . 12)
E(Xo +-. + Xq) = 0D(Xx + ... + xg) = 16 . : X6 + + Xg N(0 . 16)
: XI +X2 ~Ns0l) X3+ X4+X5 X 6 + + Xq
((0 ) ... N(a)
~ . ~
E E
To
Xa)" X5 Xa)
(X + CX3TX4+ (XStn +
. ~X
(3)
+ +
z 16
12【例6.4】 设随机变量 X ~ t(n),Y ~ F(1,n),给定(0 0.5), 常数 c 满
足P{X c} =，则P{Y c2} =( C )
(A) (B) 1− (C) 2 (D) 1− 2
X-t(n)
X ~F(I N/
: .
P(x <1 P(X-cuxc)
P(xc7
=
=
:
X
1
& L
↑ ↑
Vi
i19119
-E【例6.5】 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1))，对给定的(0 1),
数 满足P{X } =，若P{ X x} =，则
x 等于( C )
(A) (B) (C) (D)
1− 1−
1−
2 2 2
↑
/
F
in 1 2
-
T I
i
X
-X
Il
M题型二、单正态总体所服从的分布(★★)
解题思路：这部分题目全部属于对概念与定理的理解，熟记并掌握上
述定理是解决这类题目的关键.↑
【例6.6】 设 X , X , , X 是来自正态分布 N(2, 2 )的简单随机样本，
1 2 16
1 16 4X − 8
X = X ，则Y = 服从( D )
i
16
i=1
(A)t(15) (B)t(16) (C)
2(15)
(D) N(0,1)
,
)y Y 2
Y N(2 - 4 8
-
= N(0 1)
- ~ .
*
f【例6.7】 设 X 服从标准正态分布， X , X , , X 是来自总体的样本，
1 2 n
1 n 1 n
X = X ，S2 = (X − X )2 ，则下列选项中服从自由度为
i i
n n − 1
i=1 i=1
n − 1的 2 分布的随机变量是( D )
n
(A) X (B)S2 (C)(n − 1)(X )2 (D)(n − 1)S2
i
i=1
X
+ )
=
5
# X ~N (al) /
: =
mXm
: (n 1)5 1)
- -【例6.8】 设 X , X ,, X (n 2)为来自总体 N(,1)的简单随机样本，
1 2 n
1 n
记 X = X ，则下列结论中不正确的是( B ).
i
n
i=1
n -o
(A) ( X − )2 服从 2 分布 (B)2(X − X )2 服从 2 分布 X
i n 1
i=1
n ~
w
(C) ( X − X )2 服从 2 分布 (D)n(X − )2 服从 2 分布
i
i=1
:
N(M l) Xi-M-N10 1) (x-Mex (n)
(A) Xi . .
(Xn-X1)
LBIE = 0 D(Xn-X1) 2 .: Xn-XwN10 2)
= .
-XiR
Xn-X (Xn
: N(a)) =xi))
m
E
2
(C) Xi1)
(D) X N(u
- .
m)
Y N(u
~ ,
-M
1)
(10
~ .
↓
M
Mi
( u)
~xi)
- n(z
= -
t【例6.9】 设 X , X , , X 是来自正态总体 N(, 2 )的简单随机样本，
1 2 n
1 n 1 n
X 是样本均值，记S2 = (X − X )2 ，S2 = (X − X )2 ，
1 i 2 i
n − 1 n
i=1 i=1
1 n 1 n
S2 = ( X − )2 ，S2 = ( X − )2 ，则服从自由度为n − 1的
3 i 4 i
n − 1 n
i=1 i=1
t
分布的随机变量是( B ).
X − X − X − X −
(A)t = (B)t = ( X C)t = X(D)t =
S n − 1 S n − 1 S n − 1 S n − 1
1 2 3 4
* M 1 )
- +(n 1) S = (Xi <
~ - -
S/Ir n- 1i =1
M
X
-
E(n-1)
-n
~
-
1(X )
-
n(n - 1) ==)题型三、统计量的数字特征(★★★)
解题思路：计算统计量的数字特征有两种方法：
思路 1.直接法——直接用数字特征的计算公式、性质来计算.要注意样
本的两条重要性质(1)互相独立；(2)与总体同分布，通常将样本的数字
特征转化成已知总体的数字特征去计算.
思路 2.间接法——如果统计量可凑成某常见分布，可直接得到其期
望、方差.【例6.10】 设 X , X , , X (n 2)为来自总体 N(0,1)的简单随机样本，
1 2 n
X 为样本均值，记Y = X − X ,i = 1,2, ,n.求
i i
(I) Y 的方差DY ,i = 1,2, ,n；
i i
)
( 1) DX = = D (Xz - () = DXi + DX - 2 , 00(X=,*
I
Xit Xi
.... + +... +Xy)
2 Cor (Xi
1
= + m - ,
W
EcoV(Xi X 1 +... + Xz + ... + Xz]
= It - ,
* (coV (Xi xi) (0V(Xz Xi) cov(Xi Xu)
= Ir - , +... - + , + ... + ·
I
m
= I + - = 1 - n(II) Y 与Y 的协方差Cov(Y ,Y ).
1 n 1 n
)
cor(X Xn) coV(X - Y Xn- *
= . ,
.
-
XX -coV(X x) cor(X Xn) cor( *,*)
= Cor (X , , - , +
XitYt + Xn) (cor(X X) +...t cov(XXl
Cov(X ,* ) cor(X ,
= =
.
I
=
I I I
I
~ cor(X Yn) = 0 in - i + = Th
,, -【例6.11】 设 X , X , , X 与Y ,Y , ,Y 分别来自相互独立的标准正态
1 2 m 1 2 n
m n
( )2 ( )2
总体 X 与Y 的简单随机样本，令Z = X − X + Y − Y ，则
i j
i=1 j=1
DZ = .
EZ-EZ) I
35 DZ
- : =
X X ~N10 1) . 5 =
3
= = : , .
(Xi- (x-X
·
& () -x(n
(xi 1)
-
-
j = 1
X
: ze CrtH-2) = Dz = 2 (m + n - 2)
