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2025第七章
参数估计第二部分、题型解析
题型一、点估计(★★★★)
一、点估计的定义 设是总体分布中的未知参数, 为估计, 需构造一
ˆ ˆ
个适当的统计量(X , X , , X ),然后用其观察值( x , x , , x )来估计
1 2 n 1 2 n
ˆ ˆ
的值.称(X , X , , X )为的估计量. 称( x , x , , x )为的估计值.
1 2 n 1 2 n
估计量与估计值统称为点估计.二、矩估计 矩估计的基本思想是用样本矩去近似相应的总体矩.具体步
XP
骤如下： Ex
,
第一步、求出总体一阶原点矩EX ，一般其结果中含有未知参数.
1 n
第二步、求出样本的一阶原点矩 X = X .
i
n
i=1
ˆ
第三步、令EX = X ，若解出参数则估计完毕；若还未解出，继续下
一步.
1 n
第四步、 再计算总体和样本的二阶原点矩 EX 2 和 X 2,并令两者相
i
n
i=1
等求解未知参数.三、极大似然估计
1.思想: 寻找使当前结果出现的可能性最大的那个作为未知参数的
估计.
2.极大似然估计的方法
第一步、求出似然函数L()，其表示出现当前样本值 x , x , , x 的可
1 2 n
能性的大小.
离散型总体：
L() = P{X = x , X = x , , X = x } = P{X = x }P{X = x } P{X = x }
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
连续型总体：
n
L() = f ( x , x , , x ) = f ( x ,) f ( x ,) f ( x ,) = f ( x ,).
1 2 n 1 2 n i
i=1第二步、求出使L()取最大值的，作为未知参数的估计量.
(1)取自然对数ln L()；
d ln L()
(2)求似然方程 = 0；
d
(3)若求解似然方程得到参数，即为极大似然估计量. 若似然方程无
d ln L()
解，即 0(或 0)恒成立，则L()单增(或单减)，则取的最
d
大值(最小值)作为极大似然估计量.解题思路：根据题目要求，按照矩估计与极大似然估计的解题方法来
解题，套路比较固定.【例 7.1】设总体 X
(+ 1)x, 0 x 1
的密度函数为 f (x) = ，其中
0, 其他
−1是未知参数， X , X ,…, X 是来自总体 X 的简单随机样本，分别
1 2 n
用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.
:
EEiT :
! = % 'y* tax 0+1
(0 x fMax x (0+ ) x ax (04)
EX = · = =
=
O
+2
=
Xi
*
-EX = = 25 -
= = =
1 -# [
*
IB* EIE X X2 Xu
: , ...
fix-fixa f(x) X x2
(10 = ... =↑ (O + 1) Cot. ... 10th · Xn &, 0< x 4
I
8
(ot X10 28 xno
ocxis
I . ... ,
=
E
8
OmXi
In(10) nIn(0 1)
E o < xi < I At = + +
dInLI@) N
InXi
1 = + = 0 => = -x - I
do 0+ 1 i=【例 7.2】某人做独立重复射击，每次击中目标的概率为 p ，直到第 X
次射击才击中.现取简单随机样本( X , X , X )，求参数
1 2 n
p 的矩估计和
最大似然估计.
: X-G(P)
I Xi/ + 1
p
( 1) 2 : EX = * = EX = * = = * = =
p 5
*+
PXEKB
(2) : *** EX . X2 ... Xn = Crp) . P (K = 1 , 2 ... /
L(p) PSX x) PEXz X] PEXu Xn]
= · = --- =
=
p) pyp *
( p(1 (1 p) P
+- - .... -
=
Crp)X
nu
-
P
= ·It
X nu
-
D)
<(p)
Cr
P
= - ·
( (nC-p) n(P
InL(p) Xt - n) +
=
= .
m)
dInL(P) Xi - n M p x - + n(-P)
-
i= 1
+
= - = = 0
ap 1 P P P(
- -P)
I I
n
↳
=
=
=>
= Xi
x *【例 7.3】设 X , X , , X 是取自总体
1 2 n
X 一个简单随机样本， X 的概率
− x ln, x 0,
密度为 f (x) = (0 1)(1)求未知参数的矩估计
0 , x 0,
量；
( X.
= Xfax - ot (0)ax No
4 ) EX = = -
& = X
X
EX
=
-
ind
=
=> = =
-(2)求未知参数的最大似然估计量.
B EEX
X
Xn
...
,
f(x). fixl fix) -@ * MO) (- O * 10) (- ** MO) x2) 0
(10) = ... = & . -- -
#It
⑧
X
(0)"Xi)0
C
S -
I
E
8
= X-MO mm( mo)
InLIP
Exnio + -
And
= +
J
x X = 8
Huo
+O
t
I
a
-Ex -
=> 120 .: 0 = eX
=【例 7.4】设总体 X 的概率密度函数为
1
− x /
f (x,) = e ,(− x +)，其中 . X , X , , X 是总体
1 2 n
2
X 的
一个容量为n的样本.(1)求参数的矩估计量；
IX|
EX 1 _ X fNax
=
1) = x = 0
IX|
EX =Nax = - = 1
x ax
*
- 2
= = 2X
= X =
↑ EX 2 =(2)求参数的最大似然估计量；
I FEEX
...
Ne
.
Nul - i
-
1
(W f(x)
fi= .
e
=
= ....
?Xn
2
n(n2-nlux-Ni
In
(W
= -
=
dInL(X)
=
=-
dX(3)说明由最大似然估计法所得的估计量是否为无偏估计量.
=
EC) =
El
EX El EN
=
=
=
[Mfiax
= x
*
*
/x )2 to
- &
= . ax =
X
=
=** XEST
.【例 7.5】设总体 X
1
, x 1,
( )
的概率密度为 f x, = 1 − 其中为未
0, 其它，
知参数， X , X ,..., X 为来自该总体的简单随机样本.
1 2 n
(1) 求的矩估计量；
O+ 1
5
=
Xi
EX
=
2
ot1
12
=
EX = = => = 2x - 1
2(2) 求的最大似然估计量.
&***EX.... Xn
o
fix fixu) to xiel
((0) I
. ... &
=
#It
O
I
Xie
= ,
S ·
Cro
d
Fe
o
.
In (10) -nIn(t-O)
E O = X = 1 At =
dInLIO)
)
( ↑
-ux n : (10)
= - > 0
do 1-01-0
Omax min (Xi)
:
= =题型二、估计量的评价标准(仅数一) (★★)
1. 无偏性 若E()=，则称 为的无偏估计量.
ˆ ˆ
2. 有效性 设 和 都为的无偏估计量，但D( ) D( )，则称
1 2 1 2
1
是
比 更有效.
2
3. 一致性 设 为的估计量，如果对于任意的正数，都有
n
lim P(| −| ) = 0,或lim P(| −| ) = 1，则称 为的一致估计
n n n
n→ n→
- -
量(或相合估计量). ENE O
.解题思路：此类问题一般用估计量评选标准的定义进行求解，在历年
真题中无偏性的考查是最多的. 另外需要注意：
1.EX = EX , ES2 = DX ，即样本均值，样本方差分别是总体期望和总体
方差的无偏估计.
2.样本的k阶原点矩是总体 k
&
阶原点矩的一致估计.
X
Ex【例 7.6】已知总体 X 服从参数为的泊松公布， X , X , , X 是取自
1 2 n
总体 X 的简单随机样本，其均值为 X ，方差为S2 ，如果
ˆ
= aX + (2 − 3a)S2是的无偏估计，则a= .
-XuP(x)
DX X
EX X =
=
= Ex = E(ax + (2 - 3a)5) = aEX + (2 - 3a)Es
aEX (2 >a) DX
+ - = an+ (2-sa) X
=
(2 2a)x
-
=
***** Ex
+ = x = (2 - (a)x = x
b
=>
a
=【例 7.7】设总体 X 为[,2]（为未知参数）上的均匀分布，从总体
2
ˆ
中取样本 X , X , , X . 证明: = X 是的无偏估计和一致估计.
1 2 n
3
20]
EIO
X
= ~
,
2
0
30 DX
EX =
1 =
.
E El) EX EEX Ex50 0
= =
= =
: =
St
.
400
=
D8 P(X) DX x DX = X =
= = In
12 27n
D
?
P118-OKET
ATTE 1- ②
-
~ =
G2 2ing
VETO
Mo)
04
P118-07 1
~ 0
= = ,【例 7.8】设 X X , X , X 为总体
1, 2 3 4
X 的样本，则总体均值的最有效的估
X
计量为( D ).
O
1 1 1 1 1 1 1 1
(A) X + X + X + X (B) X + X + X + X
1 2 3 4 1 2 3 4
3 6 3 6 2 3 12 12
1 1 1 7 1 1 1 1
(C) X + X + X + X (D) X + X + X + X
1 2 3 4 1 2 3 4
3 6 9 18 4 4 4 4
N
E
04
Da D ( + X +xz zX Xx) + DX z7DXz 5 DX + DXx
= , + + + = , + + +
36
=
DX
D DX D =
DX DX
=强化阶段结课啦！
不是 开始
这 结束！而是一个新的 ！
还要继续加油，继续自律，继续努力
拒绝拖延！
少玩手机!
规律作息！
多做练习！
同学们我们真题阶段见！
