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2025第五章
特征值特征向量 2题型四、判断非对角矩阵 A 和 B 是否相似(★★★)
解题思路——如果 A 和B都不是对角矩阵，则 A 和B相似的判断方法：
第一步、用相似的必要条件验证：先求出 A 和 B 的特征值，如果特征值
不完全相同，则 A和 B 必定不相似.
第二步、如果 A和 B 的特征值完全相同，则
1.如果 A和B都可相似对角化，则 A 和B相似它们的特征值全相同.且
如果P −1AP = Λ,P −1BP = Λ,则P−1AP = B，且P = P P −1 .
1 1 2 2 1 2
2.如果 A可对角化，而B不可对角化，则 A和B一定不相似.
3.如果 A和B都不可对角化，则用如下方法判断： A和B相似 A −E
和B −E 也相似. 1 2 1 5 3 0
【例 5.10】设矩阵 A = ,那么下列矩阵中 , ,
0 3 0 3 −6 1
1 2 2 −1
, 与
4 3 −1 2
A
A, Az
相似的矩阵的个数( C ).
As
At
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D) 4
E FREE 1 3
A
. Ayr)'s)
: A
Al An
.,
1 3 , ,
A :
- .
1 3
Az
- i .
As (X)
+.5
:
-
N
1 3
- = .−2 −2 1 2 1 0
【例 5.11】已知矩阵 A = 2 3 −2 与B = 0 −1 0 . 判断
0 0 −2 0 0 −2
A 和
B是否相似；如果相似，请求可逆矩阵 P 使得P−1AP = B；如果不相
似，请说明理由.
# IA-XEl = 0 = A FEE = x1 = - 2 xz = -1 x3 = 2
:
BEEEEE
IB-xEl
= 0 => : X = 2 xz =+ x3 = 2
A B FREE FA17 /2 x 1
: = (
. , - I
2
: A -X ~ B
B
: A~Ex At (A + ZE)X = 0 = d. = ( , )
= -
(b +2E)X
0 =
B
=
1 % )
=
Ex = + At (A + E(X = 0 = k = (i)
#
(BTE)X
02
= 0 = (3)
=
Ex3 2AF # LATE) X
= =0 => d
= (2)
(B-E) & 1 %
X =0 = =↑ Pi ( tats) == ) =)
= ,
PIBP2
FP AP x
= =
, 1
TAPPE B
PP
=> =
,
*T A (p Pct) B PYAP B
= *
(P =
=> . =
. .
P = P. Pit : - I - I - I
2 I 2
O & 4题型五、相似对角化的应用(★★★)
解题思路——如果 A 可相似对角化，则由其特征值与线性无关的特征
向量可求 A和 An .由P−1AP = Λ，可解出 A = PΛP−1 ，于是 An = PΛnP−1 .
A + PAPT pript
PAP
=
...
PXpt
=【例 5.12】设 3 阶方阵 A 的特征值 = = −1, = 0，对应的特征向
1 2 3
量 p = (−2,1,0)T, p = (1,0,1)T, p = (2,0,1)T ．
1 2 3
(1) 求矩阵 A；
/E
1
: x1 = xc =
P.P
7287It
A
~
,
↑ P (PPPs) (0)" = ) +
= I
=
-
I
8
P Ap A PNp
: = 1 = = 100- 2
=
I
12
-2T 101
(2) 设向量= (1,1,3) ，求 A ．
A PXPt Pxpt Papt B PNpt B
B
= . ... . = .
19
, I pt
(7 B
p
= . ·
71)"
%
g1
)p
P)" B
=
+
,
Ap
((j)
= =
( =)
=题型六、实对称矩阵的正交相似对角化(★★★★)
一、正交矩阵
1.正交矩阵 如果n阶实方阵 A 满足 AAT = E , 则称 A
CHEER)
A At
=
为正交矩阵.
2.正交矩阵的性质
/
(1) A为正交矩阵的充要条件是
164)
①每一行(列)都是单位行(列)向量;
A
② 的任意两行(列)都是正交的.
(2) A为正交矩阵，则| A|= 1;
注：相互正交的向量组必线性无关，但反之未必.二、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 Bit
性质 1. 实对称矩阵的特征值必全为实数.
性质 2. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量之间不但线性无关，
而且相互正交. (52)
性质 3.实对称阵必可相似对角化.
性质 4.实对称矩阵不但可相似对角化，而且可正交相似对角化，即必
存在一个正交矩阵Q，使得Q−1AQ = QT AQ = Λ，称 A正交相似于对角
矩阵 Λ．三、实对称矩阵正交相似对角化
第一步、求出方阵 A的 n 个特征值, , , ；
1 2 n
第二步、再由方程组(A −E)x = 0求出所对应的线性无关的特征向量
i
, , , ；
1 2 n
第三步、将 , , , 正交化、单位化：
1 2 n
情形 1 若, , , 互不相同，则仅仅需要把 , , , 单位化为
1 2 n 1 2 n
e ,e , ,e ；
1 2 n
情形 2 若为 2 重以上特征值，要检查其特征向量是否正交，若不正
i
交必须对的特征向量 , , , 用 Schmidt 正交化方法进
i i1 i2 is
行正交化： Asxs RFEE N = 1 2 = 1 x3 = 5
da
↓ th[ , ]
= , = − 2 1 , ,
1 1 2 2 1
[ , ]
1 1
[ , ] [ , ]
= − n 1 − − n n−1 .
n n 1 n−1
[ , ] [ , ]
1 1 n−1 n−1
然后将所有正交的特征向量单位化成e ,e , ,e ,其中
1 2 n
e = 1 ,e = 2 , ,e = n .
1 2 n
1 2 n
1
第四步、令Q = e ,e , ,e ， Λ = ，于是
1 2 n
n
Q−1AQ = QT AQ = Λ.解题思路——实对称阵 A 可正常相似对角化，也可正交相似对角化；
如果正交相似对角化，则需要将 A 的 n 个线性无关特征向量正交化(只
需将二重以上特征值的线性无关特征向量正交化)、单位化.
对于实对称阵 A，有如下结论：
1.如果已知 A的特征值 ，则知道
1 2 3 1
和
2
可求出
3
.
2.如果已知 A的特征值 = ，则知道
1 2 3 1
和 可求出 ;知道 也
2 3 3
可求出 和 .
1 2【例 5.13】设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2 + A = O，若 A 的秩为 3，则
-
A
相似于 ( ⑪ )
1 1 1 −1
1 1 −1 −1
(A) (B) (C) (D) .
1 −1 −1 −1
0 0 0 0
A
A 0
: + =
xAS-EEEE
x
: + x = 0
,
0
x -
x = =
AJTFN
r(A) 3 #
-
=
(C) r() 3
< = =【例 5.14】已知 A是 3 阶实对称矩阵，存在可逆矩阵 P ，使得
3
P−1AP = Λ = −6 ，且已知矩阵
0
P 的第一列为 p = (1,a,1)T ，第二
1
列是 p = (a,a + 1,1)T ，求正交矩阵Q使得QT AQ = Λ及矩阵 A.
2
3
) I
:
PAD 1 =
= 6
-
G
FEEE
: A x1 = 3 xz = 6 Xi = 0
FERDEX2
#P &X = 3 = -6 FEE
.
***
P.P.
1)
atcar1 (a
~ = 0 1 . + = 0 a = -: P (1 -1 1) Pu = ( +. 0 11 T
. = . . .
↑FRE
i N 0 -
=
Pil Ps & P P EBLR
.. u
< & X - X +X3 =0 ( t il (0 el )
: I
+ +
X1
- +Xi = 0
(2)
P
: =
I
PPSELE BRIT
P
.
,
(i)e (2)
He
=
=
= =↑ QTAQ
, QTAQ
Q (e e(s) = = X
= ,
- - 1 4
QQT I I
A
= = =
1
- 1 -
4 + -2【例 5.15】设 3 阶实对称矩阵 A
↑
的各行元素之和均为 3，向量
( )T ( )T
= −1,2,−1 , = 0,−1,1 是线性方程组 Ax = 0的两个解.
1 2
(1)求 A的特征值与特征向量；
::
BAX #
5 %
= 0
. .
~ At = 0 = 0 . ↓ , Atz = 0 = 0 . d ,
IDFE
d 5
x1 = 12 = 0 X = =0
· .
*
#
~ K d , + Kitc (4 KER Ehr
.
AE5 DEBB 3 , ,
:
.
127
AT EO)
,
A) l) (3) 3) ! )
:
B 0
= = x = x = -
&【例 5.15】设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量
( )T ( )T
= −1,2,−1 , = 0,−1,1 是线性方程组 Ax = 0的两个解.
1 2
(1)求 A的特征值与特征向量；
x3 3 A d = (l)FEKsds (KER K3 * O)
. = ,
= E
&(2)求正交矩阵Q和对角矩阵 Λ ，使得QT AQ = Λ为对角阵；
15 6 5 ts LESt
. :
-
9 d (2) c
= = =
.
a 4 (i
, )
= =
() (i)
#He = ) =
=
a 10 e es x 100)
= , , =
.
*
AQ QTAQ
: Q 1
= =6
3
(3)求 A及 A − E ，其中E 为三阶单位矩阵.
2
I 11
) I
AQT AQ QTAQ 1 = A and
= = = =
I I &
I I I
Re
#
= A EGEE : 0 . 0 . 3 , e , es
--ERB7e
A-E
Ele enes
· :
3
I - I
(e e es) Ni (
Q = , , = 3
- Es
I
+ EE/Q EE)a
#Q (A- QT(A
11
= -
=A - ZE QT
QX
.: = ,
(A-EE) a QT QXQT
QX QX
: = , , ...
a(t)
axiaT
QT
= = ter
(1
(QEQT (E
= =
((
I
-
(p
(2
