2025第一章
SF I 1
- : + + = 32/7)
.
随机事件和概率第二部分、题型解析
题型一、概率的基本性质与基本公式(★★★)
一、事件的包含与相等
1. 事件的包含 事件 A 发生，必导致事件 B 发生，则称 A B (或
B A)．
⑮
2.事件的相等 若 A B且B A，则 A = B．二、事件的运算
1.和事件 事件 A与事件B中至少有一个发生，记作 A B(或 A + B).
2.积事件 事件 A与事件 B
AlA A AUA
A
⑭ = =
.
HCB
A 1B A AUB B
= =
同时发生，记作 A B (或 AB)；
⑰ P [ABM(AUC)] PLAB)
=
.
ABc
A <AUC
⑮A
Ava3.差事件 事件 A发生且 B 不发生，则称为事件 A 与 B 的差事件，记作
A − B．
4.互不相容事件 事件 A
⑬ B
A B A
- = :
与B不能同时发生，即 AB = .
⑬
⑪
5.对立事件 事件 A与B有且仅有一个发生，即 AB = 且 A B = ，B
记作 A．
l三、事件的运算规律
P (AB1AC) P(ABC)
1．交换律 (1) A B = B A；
=
(2) A B = B A．
PCAMBNANC)
PLATARB1C)
=
P(A1B1C)
=
( ) ( )
2．结合律 (1) A B C = A B C ；
( ) ( ) = PCABL)
(2) A B C = A B C ．
( ) ( ) ( )
3．分配律 (1) A B C = A B A C ；
( ) ( ) ( )
(2) A B C = A B A C ．4. 吸收律 若 A B，则 A B = B, A B = A.
( )
5. 自反律 A = A．
6．De Morgan 定律：
(1) A B = A B ； A B C = A B C ；
(2) A B = A B ； A B C = A B C .四、概率的性质
性质 1(不可能事件的概率) P() = 0；
性质 2(对立事件的概率)对任意事件 A ，P(A)=1 − P(A)；
性质 3(减法公式)对任意事件 A ， B
#F B
=
E
P(A)
1 P(E)
= -
，有
P(BA) = P(B − A) = P(B) − P(AB)；
⑪性质 4(概率的单调性)若 A B， 则P(A) P（B） ；
性质 5(有界性)对任意事件 A ，有0 P(A) 1；
性质 6(加法公式)对任意事件 A ，B，有
P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB)；
推广:
P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC)
⑭
D解题思路：事件概率的计算多以选择题和填空题的形式出现，
思路 1——利用事件的关系和运算将复杂事件化简；并熟练应用概率
的 4 大基本公式计算：加法公式、减法公式、乘法公式、条件概率公
式.
思路 2——有些题目可以辅助文氏图表示事件关系.3 1
( ) ( ) ( )
【例1.1】 设 A和B为随机事件，P A = P B = ,则P A − B = 成
4 4
立的一个充分条件为( C ).
(A) A, B相互独立 (B) A = B (C) A B = (D) AB =
E
P(AB)
P(A B) P() P(AB) -
- = - =
=
E
E P(AB) 5 AJ PCA-Bl
= -
= .
=
+
(A) E PLAB) P(A) P(B)
= . =
=
(B) = P(AB) = P(A . A) = P(A)
(c) => P(AVB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 1 => 3 - P(AB) = /
&
5
=> PCAB) (D) = P(AB) +
= = 0【例1.2】 设 A, B为两个随机事件,则
P (A + B)(A + B)(A + B)(A + B) =___O____.
# = P = P(( # A + AB + BA + B . B) (E . A + A - B + BA + B . B))
= P((0 + (A +A) . B + B)(d + ( + H) . B + B)3
P((p B B))
= + B + B) . (b + +
PSB B)
=
.
P(03
=
=O↑
【例1.3】 设 A, B为随机事件，0 P(A) 1,0 P(B) 1,若P(A B) = 1
则下面正确的是( )
A
(A)P(B A) = 1 (B)P(A B) = 0 (C)P(A + B) = 1 (D)P(B A) = 1
PCAB)
(3 - : P(AIB) = 1 <E = (E) PCAB) = PCB)
PCB)
PXB)
PCAUB) 1- PCA)-NB)
PCABI PLAUB) 1- +
(A) P(BIA) = = = = = I
P(ET) 1 - P(A) 1- P(A) 1- P(A)
PCAB) P(A)-PCABI
(B) P(A1B1 PCA) PCB)
-
=
#O
=
=
.
P(B) 1 - P(B) 1 - P(B)
(x)P( + B) = P(A) + P(B) - P(B) = P(A) = /
PCAB) PLB)
(P) PCBIA)
#
= =
P()
PCA)【例1.3】 设 A, B为随机事件，0 P(A) 1,0 P(B) 1,若P(A B) = 1
则下面正确的是( A )
(A)P(B A) = 1 (B)P(A B) = 0 (C)P(A + B) = 1 (D)P(B A) = 1
I
P(AB) P(B) ⑬
35 = P(AIB) = 1 ES =
:
A【例1.4】 设0 P(C) 1，且P(A + B | C) = P(A| C) + P(B | C)， 则下列
正确的是( ).
B
(A)P(A + B | C) = P(A | C) + P(B | C)
·
(B)P(AC + BC) = P(AC) + P(BC)
(C)P(A + B) = P(A| C) + P(B | C)
(D)P(C) = P(A)P(C | A) + P(B)P(C | A)
↑ (A + B1c) = P((c) + P(B(c) P(ABIC) P((c) P(BIC)
- = +
PCABC)
PCABIC) P(ABC)
↓ = O ... = 0
=
PCC)
(A) P(ABI)
= 0
(B) P(AC BC) PCAC PCBC) PCAC BC) PLACI PCBC) PLABCS
+ = + - . = + -
PCBC)
P(AC)
= +题型二、等可能概型的概率计算(★)
解题思路——题目中出现“随机地”、“任意地”、“等可能地”字
眼，则为等可能概型题目，其又分为古典概型和几何概型.
一、古典概型
1.定义：若试验(1)基本事件有限；(2)每个基本事件等可能发生，则称
为古典概型.
A所包含的基本事件数 m
2.计算 P(A) = = ．
样本空间所包含的基本事件数 n
STE MY # nY(n = m) P(P) m
=
:
,
FFMITE
F
.二、几何概型
1.定义 若试验(1)每次试验结果等可能；(2)试验的结果是无限多个；
(3)全体结果可以用一个几何的方法度量(长度、面积、体积)，则该试
验称为几何概型．
A的度量
2.计算 P(A) = .
的度量【例1.5】
袋中有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从
剩下的 6 个球中任取一个，则它恰为白球的概率是______．
=I
PS5THEART
=【例1.6】
已知甲袋中有 3 个白球,6 个黑球,乙袋有 5 个白球,4 个黑球,
先从甲袋中任取一球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球放回甲袋,则甲
袋中白球数不变的概率为______.
#F 2
[PPAGT PINAZA) P
↑ = +
⑭
65
=
To
48
=
90
-
I【例1.7】
10 个零件中混入 3 个次品，现进行逐个检查，则查完 5 个
零件时正好查出 3 个次品的概率为______.
# CSE54I5 ** 31BRT A
=
:
.
I 2345
A IF
# AMIL
P(A)
=
mu
↑
r
2/2
G (5 !. Ci
4 &
: .
= I
Ciox(qx(bx() x(6 20
【例1.8】 在半圆 = (x, y) | x2 + y2 4x, y 0 内随机地取一个点
M ，求事件 A = M点与原点连线和横轴的夹角小于 的概率P(A).
4
SBA 2x2" 2xx2"
#
PCA)
+ y
=
X
: = 2T7
= X
-
Sa
Ex7x22 2
.
.【例1.9】
甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两轮船的码头，它们
在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船停泊时间是 1 小时，乙
船停泊时间为 2 小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概
率.
: -EYAGEY EX 23 HEY*Y IXETO 24)
, .
,
Ye[0
24)
.
SIE-AB
42A
=
-
2)
P:/ P(A) PSy>x + 10X3 y +
= ,
P((13x 1)0(4 2)7
= + = X -
= (23) Ex (222 g
Set x +
=
88
- ~ 0
.
24题型三、条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式(★★★)
一、条件概率
P(AB)
1.定义 设P(A) 0，称P(B | A) = 为在
P( A)
A 发生的条件下 B 发生的
条件概率.
2.性质 (1)P(B | A) = 1 − P(B | A).
(2)P(B C | A) = P(B | A) + P(C | A) − P(BC | A).
(3)P(B − C | A) = P(B | A) − P(BC | A).3.计算
P(AB)
方法 1 定义法：P(B | A) = .
P( A)
方法 2 缩减样本空间法：将样本空间缩减到 A范围内，此时求B的
概率即为P(B | A).二、乘法公式 P(AB) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B).
推广:P(A A A ) = P(A )P(A A )P(A A A ) P(A A A )．
1 2 n 1 2 1 3 1 2 n 1 n−1
BRE
P
(AIB )
:
E BREF7
,
diAFEE
BETAJE
A
PCAB) :
.三、全概率公式
若 A , A , , A (1)互不相容;(2) A A A = .
1 2 n 1 2 n
则对中的任一事件B有：
n
13
P(B) = P(A B) = P(A B) + P(A B) + + P(A B)
i 1 2 n
i=1
n
= P(A )P(B A ) = P(A )P(B A ) + P(A )P(B A ) + + P(A )P(B A )
i i 1 1 2 2 n n
i=1
E F3332
.四、贝叶斯公式 若 A , A , , A (1)互不相容;(2) A A A = .B
1 2 n 1 2 n
是中的任一事件, 则
P(A B) P(A )P(B A )
P(A | B) = k = k k .
k
P(B) P(A )P(B A ) + + P(A )P(B A )
1 1 n n思路 1——题目中出现“已知 A 发生”“在 A 的情况下”求 B 的概率，
这种问题是条件概率问题，可用条件概率公式或缩减样本空间法计
算；
思路 2——如果要求 A 和 B 同时发生的概率，应用乘法公式计算.
思路 3——当事件 B 发生可能由多种情况或原因 A , A , , A 导致时，
1 2 n
应用全概率公式计算.而已知 B 发生反求 A
i
导致的概率应用贝叶斯公式
解决.【例1.10】
设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知两
件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
iR A 52 ** #WF) 12 /FPEdT]
=
B [ BKF E FE) 52 /BRE
=
PCB)
P(AB)
EPP(BIA)
=
-
PC) P(A)
(i
=
# P(B)
=
(
152
P(A) 1 PC) 1 I
- = - 5
=
Co
B
5
PCBIA)
: = =
2
.
5【例1.11】 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格
品和3件次品, 乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙
箱后,求:
(1) 乙箱中次品件数 X
↑
3/7
# 2
-
的数学期望.
* Et
#B XIE 0 1 2 3
: 3
: , , ,
((
( (
PSX = 0) = = P(x = 1) = . 9
-
(3
(3
28
( 19
(3
P(x 2) . P9x 3) I
= = = = =
( 28
zo
23
Xo
+ 3
1x 2x
Ex +
= 0x
+
4 +
20(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
52 E-IFM
i B *
=
P (B) = P(x = 0) . PSB1x = 0 + PSx = 13 . PSB1x = 17
+ P(x 2) PSB1x = 2) + PSX = 33 . PSBIX = 3]
= .
or +
=
I
=
I(3) 已知从乙箱中任取一件为合格品，求乙箱中次品数为 2 的概率.
P(x 2 57 P(x 27 P(B1x 2)
= , = . =
E4@P(x 21 BT
= = -
PCB) 1 P(B)
-
=题型四、事件的独立性(★★★)
1.两个事件独立的定义 P(AB) = P(A)P(B).
2.性质
(1)与 A独立；与 A独立；
(2)0 概率事件 A与任意事件 B 独立；1 概率事件与随机事件独立.
(3)若 A与 B独立，则 A 与 B、A 与 B、A 与 B也独立．
3. 多个事件的相互独立性 设有 n 个事件 A , A , , A ，若任意两个事
1 2 n
件独立P(A A ) = P(A )P(A )；任意三个事件独立
i j i j
P(A A A ) = P(A )P(A )P(A )； 直至n个事件满足
i j k i j k
P(A A A ) = P(A )P(A ) P(A )，则称此n个事件 A , A , , A 相互
1 2 n 1 2 n 1 2 n
独立.解题思路：如果 A, B独立
思路 1——由独立的定义： A, B独立 P(AB) = P(A)P(B)来进行计
算；
思路 2——也可以根据 A, B独立的含义快速计算，比如
P(A | B) = P(A).
要注意：1.三事件独立的定义；2.三事件两两独立和相互独立的区别；
3.要注意独立于互斥是完全不同的两个概念.
PLAKO PCBITO
ABE
E
, ,
* 2/7
A BES-70 ABXEIF
X*E
.
, .【例1.12】
以下命题正确的是( D )
(A)若事件 A, B,C 两两独立，则三个事件一定相互独立. X
(B)设P(A) 0，P(B) 0，若 A, B独立，则 A, B一定互斥.
*
(C)设P(A) 0，P(B) 0，若 A, B互斥，则 A, B一定独立.
(D) A, B既互斥又相互独立，则P(A) = 0或P(B)=0.【例1.13】 设两个随机事件 A, B相互独立，已知仅有 A 发生的概率为
1 1
I
E
，仅有B发生的概率为 ，则P(A) = ，P(B) = ．
z
4 4
4
# E P(AB1 P(BA)
= =
B ***
:
A
.
55 BEA **&E
A
:
,
. PLAB) = 1 = P(A) . P(B) = PCA) (1 - P(B1) = P(A)-PCH PLB)
.
P (BA) - P( P() (1 P())
= = - = - PCB) PLB) PCA PUB)
. = -
.
PEA)-P()
Y
: P(A) = P(B) # + =0 : P(A = z = P(B)【例1.14】 设 A, B,C 是随机事件，且 A, B独立， A , C 独立，BC = ，
1 1
#
若P(A) = P(B) = ，P(AC | AB C) = , 则P(C) =___________.
2 4
PICACICABUCI] PLAC
PLACIABUC)
=
-
P CABUC) P(AB) + P(c) PCABC)
-
ABVC)
(A) c
EP(c)
PCC)
P(A)
. #
= =
-
*
↑ (A) PCB) PCC) + PCC)
+ - O
.
2x y Px) P() k
: + :
= =PICC) ICABUCI] PLACNABIU (1221
=
PCABLU ACS
= = PLAL)
