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高数基础第九章数一专项测试
填空题
1.
过点 且与直线 垂直的平面方程是________.
正确答案：
答案解析：
由题意可知,直线的方向向量 .又因为所求平面的法向量 平行于所给直线的方向向量,故
取 .因此所求平面的方程为 ,即 .
2. 设向量场 ,则其散度 在点 沿方向 的方向导数
_________.
正确答案：
答案解析：
,
, , , , , ,
则 .
解答题
3.
设 连续, ,其中 由 , 所确定,求 ,
.
正确答案：
, .
苏州研途教育科技有限公司 1 / 6答案解析：
, .
4.
设 由 , 围成,求 .
正确答案：
答案解析：
利用球坐标得
.
5.
设 为椭圆 ,其周长记为 ,则中 _______.
正确答案：
答案解析：
显然曲线 关于 轴对称,又因为 关于 为奇函数，所以
.
6. 设 有二阶连续导数, , ,曲线积分
与路径无关,求 表达式
正确答案：
答案解析：
记 , ,依题意,有 ,且 不恒为0,故
. ①
①式对应齐次微分方程的特征方程为 ,解得 ,令非齐次微分方程的特解为
.
代入①式可解得 ,故方程①的通解为
.又由 ,得 ,故
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7.
设曲线 ,取顺时针方向,求: .
正确答案：
答案解析：
是圆周 ,它围成的区域记为 .
由格林公式得
.
因为 关于 对称，则由轮换对称性得
故
.
8. 设函数 在 内具有一阶连续导数, 是上半平面 内的有向分段光滑曲线,其起点
为 ,终点为 .记 .
(1)证明:曲线积分 与路径 无关;
(2)当 时,求 的值.
正确答案：
(1)证明过程如下;
(2) .
答案解析：
(1)令 , ,
因为 ,且在上半平面 内处处成立,所以在上半面内曲线积分
与路径无关.
(2)记点 分点为 ,曲线 为从 到 的有向直线段，曲线 为从B到C的有向直
线段，根据路径无关得
苏州研途教育科技有限公司 3 / 6因此,当 时, .
9. 设曲面 ,则 _______.
正确答案：
答案解析：
为一正八面体表面.易知 关于三个坐标平面均对称,且具有轮换对称性.
则 ,
.
10. 设 是球面 的外侧,则 _______.
正确答案：
答案解析：
设 为球面 所围闭区域,由高斯公式,得
11. 设 为平面 介于三坐标平面间的有限部分,法向量与 轴夹角为锐角, 连续，
计算 .
正确答案：
答案解析：
将 投影到 平面,其投影域为 .
从 的方程解出 .
直接将该积分转化为一个二重积分,因 ,于是
苏州研途教育科技有限公司 4 / 6( 的面积)
12.
计算曲面积分 ,其中 是柱面 被平面 及 所截
得的在第一卦限内的部分的前侧.
正确答案：
答案解析：
在 面的投影为一段弧,所以 .
在 面上的投影为 ,
此时 为: ;
所以
在 面上的投影区域为 ,此时 可表示为: ,所以
因此 .
13. 设 连续, 为曲面 位于 与 之间部分的上侧,计算
.
正确答案：
答案解析：
曲面 上任一点 指向上侧的法向量为 ,法向量的方向余弦为
, , .
则
,
因为 ,
苏州研途教育科技有限公司 5 / 6所以原式 .
14.
计算 ,其中 是曲面 的上侧.
正确答案：
答案解析：
取 为圆域 的下侧,记 为由 和 所围成的区域,则
由高斯公式得
,
而 ,故 .
15.
计算 ,其中 从 轴正向看, 是逆时针方向.
正确答案：
答案解析：
设由 所围成的平面为 ,按右手准则, 取上侧,
, , , ,由斯托克斯公式得
因为 , ,
所以 .
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