250421_165040-强化线代第五章解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_强化_线代

第五章 特征值与特征向量 巩固练习 题型08 特征值与特征向量 1.【答案】 0 ， n  r ( A ) 【解析】 r ( A )  n ，所以矩阵 A 不满秩，即 A  1 2 n  0   ，故必存在特征值为 0 ； 特征值 0 的重数大于等于属于0的线性无关特征向量的个数. 而属于特征值 0 的线性无关 特征向量的个数等于 ( 0 E  A ) x  0 的基础解系中解向量的个数，易知解向量的个数为 n  r ( A ) ，所以特征值0的重数至少是 n  r ( A ) . 2.【答案】 A 2  2 2   【解析】设为 A 的特征值对应的特征向量，所以  A   . 设 为 M ( A * ) 2  E 的特征值，则[(A*)2 E](A*)2，等式两边同时左乘 M A2 可得： 2 ( * ) 2 2 M M 2 2 2 2 2 2 M 2        A A  A   A  A   A          其中（ A 2 ( A * ) 2  A A A * A *  A A E A *  A A A *  A A E  A 2 E ） 3.【答案】  4 【解析】由  2 是A的特征值，故 2 2 2 2EA  2 2x 2 12(x4)0 2 2 8 解得：x4. 4.【答案】 4  7 4 1 1   1       【解析】由题意A，代入 4 7 1 1  1 ，所以           4 4 x 1 1      7   4 4   4 1   x     1 2  ，解得  x  4 . 5.【答案】  1 1 1  或 k  1 1 1  ，k 0 【解析】由于 A 各行元素之和都是 5 ，则 A  1 1 1   5  1 1 1  ，则 A 必有特征值 5 ，对应的特征 向量为  1 1 1  . 6.【答案】 x  0 , y  1 【解析】因为 A ~ B ，所以  r A ( A  )  B r ( B )   t A r (  A ) B  t r ( B )    2 2   0   2 x y  2  y  1   x y   0 1   7.【答案】 | 0 | 2 2 0 1    A    【解析】由 0   A   ，得 * 0   A  A ，于是  [ ( * ) 2 2 ] 0 2 2 0 1   A  A  E    A      ，故  ( A * ) 2  2 A  E 的特征值为 | 0 | 2 2 0 1    A    . 8.【答案】25 1 1 【解析】 A*  ，因为 A*  A 3 ，所以 A  ，于是 8 2 A 1 1 的特征值为 , ,1,2. 2 2 因为A~ B ，所以B 的特征值为 1 2 ,  1 2 ,  1 ,  2 ，B1 的特征值为 2 ,  2 ,  1 ,  1 2 ，于是 5 B13E 的特征值为5,1,2, ，故 B13E 25. 29.【答案】 1  2 n 【解析】方法一：因为 r ( A )  1 ，所以 0，因为 1 2 1  2  3  t r ( A )  2    ，所以 3 2   ，于是 E  A n 的特征值为 1 , 1 , 1  2 n ，故 E  A n  1  2 n . 方法二： A n  2 n  1 A  2 n  1  1 0  1   1 0  1   2 n  1  1 0  1 0 0 0  0 1 1  E  A n   1  2 2 0 n  n 1  1 0 1 0 1 2  n 0 2  1 n  1  所以 E  A n  1  2 n . 10.【答案】（1） 1 a ；（2） a b 1 1     1 1     【解析】（1）因为A a ，所以         1 1 a 为A矩阵的特征值，又因为 A 可逆，所以 1 1     1 1 1 a0，于是有A1     ，即   a      1 1 A  1 的每行元素之和为 1 a . （2）因为 A  1 1 1   a  1 1 1  1 1 1 1 1 1             1 1 1 1 1 1             ，B b ，所以AB  Ab bA ab ，于                         1 1 1 1 1 1 是AB的每行元素之和为ab. 11.【答案】1， 3， 4 1 2 3 【解析】令 ( 1 , 2 , 3 )    P  ，因为 1 , 2 , 3   线性无关，所以P 可逆，由 AP  A(,,)(A,A,A)( 2,2 ,  4) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1     (,,) 2 1 1  P 2 1 1 1 2 3         0 0 4 0 0 4    得 P  1 A P   1 2 0 2 1 0 1 1 4  ，即 A ~  1 2 0 2 1 0 1 1 4  ，于是 E  A    2 0 1  2  0 1    1 1 4  (  1 ) (  3 ) (  4 )  0       ，  故 A 的特征值为1， 1 2  3  ， 3  4  . 12.【答案】请参照解析 【解析】因为 A   2 2 2 2 2 2 2 2 2    1 0 0 0 1 0 0 0 1   B  E ，而 r ( B )  1 ，则有 E  B  3  6 2    . 所以矩阵 B 的特征值是 6 ， 0 ， 0 . 故矩阵 A 的特征值是 5 ，  1 ，  1 . 又行列式 A  5 ，因此 A  的特征值是 1 ，  5 ，  5 . 矩阵 B 属于  6  的特征向量是 1 ( 1 , 1 , 1 ) T   ，属于  0  的特征向量是 2 ( 1 , 1 , 0 ) T    和 3 ( 1 , 0 , 1 ) T    . 因此 A  属于1的特征向量是k(k 0)，属于 1 1 1   5  的特征向量是 k 2 2 k 3 3    （ k 2 ， k 3 不全为 0 ）. 13.【答案】 P    1 0 2 0 0 1  1 3 5  ， 1 1 2      【解析】由特征多项式 E  A     1 3 4 1  0  x 3 0 0  1  (  1 ) 2 (  2 )      ，  知矩阵 A 的特征值为 1  2  1   ， 3   2  . 因为矩阵A可以相似对角化，故 r ( E  A )  1 . 而  5 10 0 1 2 0     EA 1 2 0  0 6x 0 ，         3 x 0 0 0 0所以x6. 当  1  时，由 ( E  A ) x  0 得基础解系 (2,1,0)T， 1 2 ( 0 , 0 , 1 ) T   . 当   2  时，由 (  2 E  A ) x  0 得基础解系 3 ( 5 , 1 , 3 ) T    . 2 0 5   那么，令P (,,) 1 0 1 ，得 1 2 3      0 1 3  P  1 A P   1 1  2  . 14.【答案】请参照解析 1 3 3 【解析】由EA  3 5 3 (2)2(4)0，得 6 6 4 1  2   2   ， 3  4  . 当 1 2 2      时，由(2EA)x 0，即 ( 2 E  A ) x  0 ，得 2    对应的线性 1   无关的特征向量为  1 ， 1     0   2 0 1 1      ； 当 3 4   时，由 ( 4 E  A ) x  0 ，得 4   对应的线性无关的特征向量为 3 1 1 2     . 15.【答案】  a b c     2  2 1 3 ，    1  【解析】显然 1 1 1       也是矩阵A的特征向量，令A，即  1 a 5  c  b 0 1  c 3 a     1 1 1      1 1 1   ，于是有  c  c  b  a  a  2  1  1     , , ,  1,   解得b3,   a c.  a 1 a A 由 A  5 3 3 a31，得ac2，且 1.  1a 0 a于是  a b c     2  2 1 3 ，    1  16.【答案】  2 2 2    2 2 n 2 n  1 n  2    3 3 3 n n n   1 2  【解析】令 x 1 1 x 2 2 x 3 3       b ，由 1 1 1 2  1 1 1 2  1 1 1 2        A(,,,b) 1 2 3 1  0 1 2 1  0 1 2 1 1 2 3             1 4 9 3 0 3 8 5 0 0 2 2       1 1 1 2  1 1 0 3  1 0 0 2         0 1 2 1  0 1 0 1  0 1 0 1             0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1       得 x 1  2 ，x 1， 2 x 3   1 ，即 2 1 2 3    b    . 因为 1 1   A  ， 2 2 2   A  ， 3 3 3   A  ，所以 n 1 1   A  ， n 2 2 n 2   A  ， An 3n，于是 3 3 2 1 1  22n 3n          Anb2An 1  An 2 An 3   2  2n  2  3n  3    22n13n1 .  2   4   9  22n2 3n2         17.【答案】 4 1 6 2 4 3       【解析】由 P  1 A P    0 0 1  0 0 2 0 0 2  ，得 A 1   1  ， A 2   2 2  ， 3 2 3   A  A (1)(2)24，A* 的特征值为 1  4  1   4  ， 2   4 2   2  ， 4   2，由 3 2 * 1 4 1   A   ， * 2 2 2   A   ，A* 2得， 3 3 * ( 1 3 2 2 3 ) 4 1 6 2 4 3       A       .题型09 相似矩阵与相似对角化 1.【答案】D 【解析】若 r ( A )  r ( B ) ， A , B 不一定是方阵，若 A , B 是方阵，特征值也不一定相同， 所以推不出 A ~ B ，（A）不选； 0 1 1   取A 0 0 1 ，     0 0 0   B   0 0 0 0 0 0 1 0 0  ，显然 A , B 特征值都是零，因为 r ( A )  r ( B ) ，所 以 A 与B 不相似，（B）不对，同样（C）不对. 对于（D）若 A 与 B 相似，则 A , B 特征值相同，不妨设为 1 , 2 , , n  ，且存在可逆阵 P ，使得P1AP  B. 因为A可对角化，所以存在可逆阵P ，使得 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n    P  A P    ，即 2 1 2 n 2 1    A  P   P  ，于是 ( 2 1 1 ) 1 1 2 n 2 1 1    P  P    P  P  B ，即 B 与对角阵相似，于是 B 一定可以对角化， 选（D）. 2.【答案】C 【解析】因为 1 , 2   为特征值 1 2 1      对应的线性无关的特征向量，所以 2 1 ， 1 4 2    也是特征值 1 2 1      对应的线性无关的特征向量， 3  是特征值 3 2   的特征 向量，则 3 3   也是特征值 3 2   1 0 0   的特征向量，于是P1AP  0 1 0 ，选（C）.     0 0 2   3.【答案】请参考解析 【解析】由特征多项式E  A   2 0 1  2  0 3  0  1 2  (  2 ) (  1 ) 2      ，  得到矩阵 A 的特征值 1  2  ， 2  3   1   . 当 1  2  时，由 ( 2 E  A ) x  0 得基础解系 1 ( 5 , 2 , 9 ) T    ，即  2  的特征向量是 k 1 1 ( k 1 0 )   . 当 2  3   1   时，由 (  E  A ) x  0 得基础解系 2  (  1 , 1 , 0 ) T  ，即   1  的特征向量 是k(k 0). 2 2 2 因为 2  3   1   仅有一个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化. 4.【答案】请参照解析 【解析】由 E  A   7 6 3   1  6 5 1 1  2  (  2 ) 2 (  4 )  0      得，  1  2   2   ， 3  4  . 当 1 2 2      时，由 (  2 E  A ) x  0 ，即 ( 2 E  A ) x  0 ，得 1 1 1 0     ；对应的特征向 量为 k 1 1 , ( k 1  0 )  当 4时，由 3 ( 4 E  A ) x  0 ，得 2 0 1 1     .对应的特征向量为k,(k 0) 2 2 2 因为 A 的特征值 2仅有一个线性无关的特征向量，所以A不可以相似对角化. 1 2 5.【答案】略 【解析】（1）因为,为正交的单位非零向量，所以0，0. 由         A               ，得为矩阵 A 的属于特征值1的 1 特征向量； 由A()，得为矩阵A的属于特征值 1的特征向量. 1（2）因为 r ( ) r ( T T ) r ( T ) r ( T ) r ( ) r ( ) 1 1 2       A            ，所以 A 0，于是 0. 因为 3 A 的特征值都是单值，所以 A 可对角化. 6.【答案】请参照解析 【解析】（1）由 E  A     2 2 1   2  2 1   2 2  1  (  1 ) 2 (  5 )  0      ，得  A 的特征值为 1  2   1   ， 3  5  . （2）当1时，由 (  E  A ) x  0 即 ( E  A ) x  0 ，得1的线性无关的特征向 1   量为  1 ， 1     0   2 0 1 1      . 当5时，由 ( 5 E  A ) x  0 ，得 5   对应的线性无关的特征向量为 3 1 1 1     . （3）由   A     ，   A     ，   A     得        Α   A   Α              ，而 ΑΑΑ Α，                                            令 ( 1 , 2 , 3 )    P  ，因为 1 , 2 , 3 1 0 0     线性无关，所以P 可逆，由AP  P 0 1 0 两边     0 0 5   左乘P1 ，得 P  1 A P    0 0 1 0  0 1 0 0 5  . 7.【答案】请参照解析  1 1 【解析】（1）由EA  0  1 2(1)0，得A的特征值为 0 0 1  0， 1. 1 2 3 （2）当0时，由(0EA)x 0，即Ax0，得0对应的线性无关特征向量为1 1 0 0     . 当 1   时，由(EA)x 0，得 1   对应的线性无关特征向量为 2 2 1 1     ，由于 0   为二重特征值，但其对应的线性无关的特征向量只有一个，故 A 不能进行对角化. 8.【答案】    1 2 2  0 2 2 0 0 3  【解析】令 ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 3 0 1 2 0 0 1    P     ，因为 i i i ( i 1 , 2 , 3 )   A   ，所以 1 0 0   AP  P 0 2 0 ，     0 0 3   P  1    1 1 2  0 1 2 0 0 1  于是 A  P  1 0 0 0 2 0 0 0 3  P  1     1 2 2  0 2 2 0 0 3  . 9.【答案】（1）略；（2）1， 1 2  3  1   ，A不可对角化 【解析】（1）令 k 1 1 k 2 2 k 3 3       0 （*），两边左乘A得 k Ak A k A 0，整理得 1 1 2 2 3 3 k 1 1 ( k 2 k 3 ) 2 k 3 3         0 （**），两式相减得 2 k 1 1 k 3 2     0 ，因为，所以,线性无关，所以k k 0，代入（*）得 1 2 1 2 1 3 k 0，因为 2 2 2   0 ，所以 k 2  0 ，于是,,线性无关. 1 2 3 （2）令P (,,)，由 1 2 3 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 2 3 ) 0 0 1 0 1 0 0 1 1        A P  A A A     P   得 P  1 A P    0 0 1 0 1 0 0 1 1  ，即 A ~   0 0 1 0 1 0 0 1 1   B ，所以 A 的特征值为 1   1  ， 2  3  1   . 因为 r ( E  B )  2 ，所以 B 不可对角化，故 A 也不可对角化. 10.【答案】 a   3 ， P   1 1 0 1 0 1 1  0 3  ， P  1 A P    3 3  1   【解析】由特征多项式 E A 0 3 2 0 1 1 3 ( 3 ) 3 2 1 ( 1 ) ( 3 ) 2                 a          得到矩阵 A 的特征值： 3 , 3 ,  1 . 因为矩阵A的特征值有重根，而A又与对角矩阵相似，故  3  必有2个线性无关的特征 向量，那么秩 r ( 3 E  A )  1 . 3 E  A   1  0 3  3 0 1   0 1 a    1 0 0  0 0 1   a 0 1  3  ，所以a3. 对3解齐次线性方程组 ( 3 E  A ) x  0 3 E  A   1  0 3  3 0 1  3 0 1    1 0 0  0 0 1  0 0 1  得基础解系 (1,1,0)T， 1 2  (1 , 0 , 1 ) T  ， 对1，解齐次线性方程组 (  E  A ) x  0 3 1 1 3 1 0     EA 3 1 3  0 0 1 ，得基础解系：          0 0 4 0 0 0 3  ( 1 ,  3 , 0 ) T  1 1 1  3      令P (,,) 1 0 3 ，得P1AP  3 1 2 3         0 1 0   111.【答案】（1） 1 , 2 ；（2） P  (  2 1  2 ,  1  2 )     ， P  1 A P   1 2  【解析】（1）按已知条件，有 A ( 1 , 2 )  ( 2 ,  2 1  3 2 )  ( 1 , 2 )  0 1  3 2         记P (,)是可逆矩阵， 1 1 2 B   0 1  3 2  ，有 A P 1  P 1 B 即有 P 1  1 A P 1  B 即 A ~ B ， 由 1 2 3 2 3 2 ( 1 ) ( 2 )        E  B          知矩阵 B 的特征值是：1,2. 从而 矩阵 A 的特征值是： 1 , 2 . （2）对矩阵 B ，由 ( E  B ) x  0 得矩阵 B 关于特征值1的特征向量 1  (  2 , 1 ) T  ； 由(2EB)x 0得矩阵B 关于特征值 2   的特征向量 2  (  1 , 1 ) T  那么，矩阵 A 关于特征值1和 2   的特征向量分别是 P 1 1  ( 1 , 2 )   1 2    2 1  2      ， P 1 2  ( 1 , 2 )   1 1    1  2      故令 P  (  2 1  2 ,  1  2 )     ，有 P  1 A P   1 2  . 12.【答案】 a  7 ， b   2 11 5 ，P    2 0 2  【解析】由 A ~ B 知  1   5 3   a 6   6 b b ，解得 a  7 ， b   2 又 E A 2 1 4 3 2 4 5 ( 5 ) ( 1 )                    ，矩阵 A 的特征值为：5,1. 由 ( 5 E  A ) x  0 ，得基础解系 1  (1 , 1 ) T  ； 由 (  E  A ) x  0 ，得基础解系 (2,1)T. 2 令 P 1  ( 1 , 2 )   1 1  1 2  5    得P1AP  Λ  ， 1 1  1 类似地，由 ( 5 E  B ) x  0 ，得基础解系 1  (  7 , 1 ) T  由(EB)x 0，得基础解系 (1,1)T ， 27 1 令P (,)  ，得 2 1 2  1 1  P 2 1 B P 2  Λ   5  1  由P1AP  P1BP  P P1APP1 B 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 27 1 11 5 令P  PP1       ，有 1 2 1 1  1 1  2 0 2  P  1 A P  B . 13.【答案】 Q    2 0 1 5 5   3 3 3 5 4 2 5 5 5 2 3 1 3 2 3  , Q  1 A Q    3 0 0  0 3 0 0 0 6  【解析】 2 4 1 2 2 2 4 2 1 ( 3 ) 2 ( 6 ) 0       E  A               所以 A 的特征值为 1 2 3      ， 3 6   . 对于 1 2 3      ，解齐次线性方程组 (  3 E  A ) x  0 ，得其基础解系 (1,2,0)T， 1  (1,0,1)T. 把 2 1 , 2  正交化，得 1  1  (  1 , 2 , 0 ) T   2  2  T2T1 1 1 1  (  1 , 0 , 1 ) T  1 5 (  1 , 2 , 0 ) T    4 5 ,  2 5 , 1  T       对于 3 6   ，解齐次线性方程组 ( 6 E  A ) x  0 ，得其基础解系 (2,1,2)T. 3 将 1 , 2 , 3   单位化，即 1  1     1 5 , 2 5 , 0  T   ，  2   2    3 4 5 ,  3 2 5 , 3 5 5  T   ，  3  3 3   2 3 , 1 3 , 2 3  T   令矩阵 Q  ( 1 , 2 , 3 )    2 0 1 5 5   3 3 3 5 4 2 5 5 5 2 3 1 3 2 3     ， Λ    3 0 0  0 3 0 0 0 6  ，则 Q 为所求的正交 矩阵，且 Q  1 A Q  Λ . 14.【答案】（1） a   2 ；（2） P    1 1 2 1 1 1  0 1 1  , P  1 A P    0 0 3 0 0 0 0 0 3  ； （3） Q    1 1 6 2 6 6 1 1 1 3 3 3  0 1 1 2 2  , Q T A Q    0 0 3 0 0 0 0 0 3  . 【解析】（1）因为 A x  1 1 a 有解但不唯一，所以 A  1 a 1 (a2)(a1)2 0，于 a 1 1 是 a   2 或 a  1 . 当 a  1 1 1 1 1  1 1 1 1     时，A 1 1 1 1  0 0 0 1 ，因为r(A)r(A)，所以方程组         1 1 1 2 0 0 0 0     无解，于是 a   2 . （2）由 | | 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ( 3 ) ( 3 ) 0       E  A             ，得 3， 0， 3. 1 2 3 当3时，由 1 (  3 E  A ) x  0 ，即 ( 3 E  A ) x  0  1    ，得  2 ； 1     1  当 2 0   时，由 ( 0 E  A ) x  0 ，即 A x  0 ，得 2   1 1 1   ； 当 3 3   时，由(3EA)x 0，得 3    0 1 1   . 令 P  ( 1 , 2 , 3 )    1 1 2 1 1 1  0 1 1     ，则 P  1 A P    0 0 3 0 0 0 0 0 3  . （3）令 1  1 6   1 1 2   ， 2  1 3  1 1 1   ， 3  1 2   0 1 1   ， Q    1 1 6 2 6 6 1 1 1 3 3 3  0 1 1 2 2  ，则 Q T A Q    0 0 3 0 0 0 0 0 3  . 1 1 13 2 5      1  15.【答案】（1） 0 或k k 0 ,(k 0)；（2）A 2 10 2   3 3 3  3 6         1 1 5 2 13       【解析】（1）令 3 3   对应的特征向量为 3   x x x 1 2 3   ，因为实对称矩阵不同特征值对应的 T 0 x x x 0, 1 3 1 2 3 特征向量正交，所以 即 于是矩阵   2 T 3 0  x 1 2x 2 x 3 0, A 的对应于 3 3   的线性 1   无关的特征向量为  0 ，所有特征向量为k,(k 0) 3   3 3 3   1   1 1 1 2 2 2    1  （2）令P (,,) 1 2 0 ，P1  1 2 1 ，由 1 2 3   6       1 1 1 3 0 3    P  1 A P   1 0 0 0 2 0 0 0 3  ，得 A  P  1 0 0 0 2 0 0 0 3  P  1  1 6  1  3 2 5  1 2 0 2 1 5 2 3  .综合测试 1.【答案】C 【解析】 A  3 a  2 , A *  λ  ，又由 A A *  A E ，有 A A *  A  λ A   ，可得 ( 3 a  2 )  1 b 1   λ  2 1 1 1 2 1 1 1 a   1 b 1  ，即  3 ( 3 a 3 a a    2 2 2  )  b λ λ (  ( 3 1  λ (  b 2 a )   , 2 b b ) ) . , 又3a20,λ0，故可解得  a b λ    2 1 1 或  a b λ    2  4 2 (由 b  0 ，舍去) 故选（C）. 2.【答案】B 【解析】根据特征值的性质， A 的特征值 λ 的重数必然大于等于属于λ的线性无关的特征 向量的个数.现在 A 是3阶矩阵， r ( A )  1 ，故 r ( 0 E  A )  1 ，那么 ( 0 E  A ) x  0 有两 个线性无关的解向量，则A中属于特征值 λ  0 的线性无关的特征向量有2个，故λ0至 少是二重特征值，也可能是三重特征值，故答案选（B）. 3.【答案】D 【解析】由题设T1，知0,0，由于 A  ( T )  ( T )      ，因此 λ 1 = 1 是矩阵A的特征值，是对应的特征向量. 由于 , 均为非零列向量，则有AO，故 r ( A )  1 ，另一方面， r(A)r(T)r()1，因此r(A)1，从而方程组 A x  0 的基础解系由两个线性无 关的解向量构成，于是λ = λ =0是矩阵A的二重特征值，所以矩阵A的特征值为 2 3 1 , 0 , 0 ，因此A2  AE的特征值为3,1,1，故 A2 AE 3113，答案选（D）. 4.【答案】（1）λ 1,λ 1,λ 2； 1 2 3 （2）A的对应于特征值1的全部特征向量为2k3k Ak A2 (k 为任意非零常 1 1 1 1 数)；A 的对应于特征值 1 的全部特征向量为  2 k 2  k 2 A  k 2 A 2    (k 为任意非零常数)； 2 A 的对应于特征值 2 的全部特征向量为kk A2 (k 为任意非零常数) 3 3 3 【解析】（1）令 P  ( , A , A 2 )    ，由于 , A , A 2   线性无关，因此 P 可逆，由于 A 3  2 A 2  A  2  0     ，即 A 3 = 2 A 2  A  2    ，因此 A P  A ( , A , A 2 )  ( A , A 2 , A 3 )  ( A , A 2 , 2 A 2 + A  2 )            0 0 2   =(,A,A2) 1 0 1  PB，     0 1 2   其中 B   0 1 0 0 0 1  1 2 2  ，即A= PBP1 ，因此A B ，于是A的特征多项式为 f  A ( λ λ  1 0 )  0 λ  f 1 B ( λ 2 λ )   0  λ 2 λ E   λ  0 B 1 =   λ 1 1 λ  0 1 λ 0 λ  1 0 0  2 = λ ( 2  1  λ  2 1 ) ( λ  1 ) ( λ  2 ) 因此得 A 的特征值为 λ 1   1 , λ 2  1 , λ 3  2 . （2）若 λ 是 B 的一个特征值， ξ 是相应的特征向量，则 A ( P ξ )  P B P  1 P ξ  P B ξ  P ( λ ξ )  λ ( P ξ ) ， 故Pξ 是 A 的对应于特征值λ的特征向量，下面先求 B 的特征向量， 对于特征值 1 1    1 0 2  1 0 2 1 0 2       ，EB  1 1 1  0 1 3  0 1 3 ，故B             0 1 3 0 0 0 0 0 0       的对应于特征值1的线性无关的特征向量为 1 ξ 1  ( 2 ,  3 , 1 ) T ；  1 0 2  1 0 2     对于特征值 1，EB  1 1 1  0 1 1 ，故 2         0 1 1 0 0 0     B 的对应于特征值 1 2 的线性无关的特征向量为ξ (2,1,1)T； 2对于特征值 3 2   ， 2 E  B   2  0 1 0 2  1 2  0 1    1 0 0 0 1 0 1 0 0  ，故 B 的对应于特征值 3 2   的线性无关的特征向量为 ξ 3  (  1 , 0 , 1 ) T ； 于是， A 的对应于特征值1的全部特征向量为 k 1 P ξ 1  k 1 ( , A , A 2 )  2  1 3   2 k 1  3 k 1 A  k 1 A 2       ( k 1 为任意非零常数) A 的对应于特征值 1 的全部特征向量为 k 2 P ξ 2  k 2 ( , A , A 2 )    1 2 1    2 k 2  k 2 A  k 2 A 2       ( k 2 为任意非零常数) A 的对应于特征值 2 的全部特征向量为 k 3 P ξ 3  k 3 ( , A , A 2 )   0 1 1    k 3  k 3 A 2      ( k 3 为任意非零常数). 5.【答案】（1）略；（2）A不能相似于对角矩阵 【解析】（1）由题设条件，得 ( A  2 E ) 1  0 , ( A  2 E ) 2  1 , ( A  2 E ) 3  2      设存在常数 k 1 , k 2 , k 3 ，使 k 1 1  k 2 2  k 3 3  0    ① 在①式两端左乘 A  2 E ，得 k 2 1  k 3 2  0   ② 在②式两端左边乘 A  2 E ，得 k 3 1  0  因 0，故 1 k 3  0 ，代回②式，得 k 2  0 ，代回①式，得k 0，故 1 kk k 0k k k 0，得证,,线性无关. 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 （2）由题意可得 2 1 0 记 A(,,)(,,)0 2 1 (,,)B 1 2 3 1 2 3   1 2 3 0 0 2   因,,线性无关，故C (,,)是可逆矩阵，则C1AC  B，即A B . 1 2 3 1 2 3又 B 有三重特征值 λ 1  λ 2  λ 3  2 ，但 r ( 2 E  B )  2 ，则(2EB)x 0只有一个线性 无关的解向量，故 B 不能相似于对角矩阵，由相似关系的传递性知， A 不能相似于对角矩 阵. 6.【答案】 A n    2 3 2 3 1 3    2 2 2 n  n  1 n  1 2   2 2 2 n  1  3 n  1  3 2 n   3 1   【解析】因为 λ 1  1 , λ 2  2 , λ 3  3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 ξ 1  ( 2 , 2 ,  1 ) T , ξ 2  (  1 , 2 , 2 ) T , ξ 3  ( 2 ,  1 , 2 ) T , 所以有 1 1 1 , 2 2 2 , 3 3 3    A ξ  ξ A ξ  ξ A ξ  ξ ，有 n i ni i ( i 1 , 2 , 3 )  A ξ  ξ  ，将表示成 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 的线性组合，设  x 1 ξ 1  x 2 ξ 2  x 3 ξ 3  ，即  1 2 3   x 1  2 2  1   x 2   2 2 1   x 3  2  2 1  解 得 x 1  1 3 , x 2  1 , x 3  2 3 1 2 ，即 ξ ξ  ξ ，故 3 1 2 3 3 n 1 3 1 3 n n 2 2 1 3 1 1 1 2 n n 2 2 2 2 1 2 3 2 3 3 2 n 3 3 n 1 1 3 2 2 1 n1 1 n2 2 2 3 n3 3    Α    Α Α    ξ ξ     Α ξ ξ      ξ  Α  ξ       ξ  ξ  ξ   2  2n 223n1   3    2   2n123n1 .  3    1  2n1223n1    3  7.【答案】略 【解析】Aξ  λξ ，两边转置得ξTAT  λξT，在上述方程得两端都右乘η， 得ξTATηξTη，于是ξTμη= λξTη，即(μ)ξTη0，λ μ，故ξTη0，即 ξ , η 相互正交. 8.【答案】（1） a   2 , P   0 1 0 1 0 1 1 2  1  ；（2） E 【解析】 (1)令 λ E  A  0 ，即 0  λ   a 1 0 λ 0  1   λ 1 2  λ  λ  a  1  1 2 0 λ 0  1   λ 1 2  λ  0  a 1  2 0 λ 0  1   λ 1 2  1 ，可得  λ 1  λ 2  1 , λ 3   1 . 因为 A 相似于对角矩阵，所以r(EA)1，则 r  1   a 1 0 0 0   1 1 2   1 ，可得 a   2 ，即 A    0 1 2 0 1 0 1 2 0  . ( E  A ) x  0 的基础解系为 ξ 1  ( 0 , 1 , 0 ) T , ξ 2  (1 , 0 , 1 ) T ， (  E  A ) x  0 的基础解系为 ξ 3  ( 1 , 2 ,  1 ) T ， 0 1 1    令P (ξ ,ξ ,ξ ) 1 0 2 ，则 1 2 3     0 1 1   P  1 A P  Λ   1 1  1  . （2）由（1）知P1AP  Λ，则A PΛP1 ，可得 A100 (PΛP1)100  PΛP1PΛP1 PΛP1  PΛ100P1 1     P 1 P1  PP1  E.     1   9.【答案】C 【解析】显然 3 2 ,  3 , 2 1   也是特征值 1 , 2 ,  1 的特征向量，所以P  1 A P =  1 2  1  ，故选（C）. 10.【答案】D 【解析】（A）不对，例如 A =  0 0 1 0  ， A 的两个特征值都是 0 ，但 r ( A )  1 ； （B）不对，因为 A B ，不一定保证 A , B 可以对角化； （C）不对，例如： A   1 1 0 2 1 0 2  0 3  ，A经过有限次行变换化为  1 0 0 0 1 0  5 0 8  ，经过行 1 0 0   变换不能化为 0 1 0 ；     0 0 0   因为 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P ，使得 1 1 n   P  A P    ， 于是 r ( ) r 1 n   A    ，故选（D）. 11.【答案】D 【解析】将选项（A）（B）（C）（D）中的矩阵依次记为 A , B , C , D 由于矩阵A是实对称矩阵，故 A 可相似对角化； 显然，矩阵B 有 3 个互不相同的特征值 1 , 2 ,  3 ，故B 可相似对角化； C 为秩为 1 的矩阵，因此 C 的特征值为 0 , 0 ,  2 ，由于3r(0EC)312，故 C 的二重特征值0对应两个线性无关的特征向量，故 C 可相似对角化. D为秩为1的矩阵，因此D的特征值为 0 , 0 , 0 ，但由于 3  r ( 0 E  D )  3  r ( D )  3  1  2 ，故 D 的三重特征值0仅对应两个线性无关的特征向 量，故 D 不可相似对角化，应选（D）.12.【答案】 A 可以相似对角化， P   5 7 1   1 1 1   1 1 2  , P  1 A P   1 0 0 0  0 1 0 0  2  【解析】 A 的特征多项式为 ( 5 1 5 2 2 ) ( a 1 b a 2 2 3 ) 1 ( 2 1 5 2 ) ( b a b 0 5 2 5 ) 5 0 2 2                E  A                           由于 1 1   与 2 1    是A的特征值，故   E E   A A   0 , 0 , 即  a 3  a 1   2 b 0 ,  3 , 故  a b     1 3 , . 设 A 的第三个特征值为 3 ，则由特征值的性质知 tr(A) 2， 3 1 2 由于 A 有三个不同的特征值 1 ,  1 ,  2 ，故 A 可相似对角化. 对于特征值 1 1   ， E  A     1 1 5 1 4  1   2 2 3     0 0 1 1  0 1  7 0 2    1 0 0 0 1 0   0 5 7  故 A 的对应于特征值 1 1   的线性无关的特征向量为 ξ 1  ( 5 , 7 , 1 ) T ； 对于特征值 2 1    ，  E  A     1 3 5 1 2  1   0 2 3    1 0 0  1 0 1 0 1 0    1 0 0 0 1 0 1 1 0  故 A 的对应于特征值 1的线性无关的特征向量为 2 ξ 2  (  1 ,  1 , 1 ) T ； 对于特征值 2， 3  2 E  A     1 4 5 1 1  1    2 3 1    1 0 0  1 0 1  2 0 1    1 0 0 0 1 0 1 2 0  故 A 的对应于特征值 2的线性无关的特征向量为 3 ξ 3  (  1 ,  2 , 1 ) T ； 令 P  ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )   5 7 1   1 1 1   1 1 2  ，则 P  1 A P   1 0 0 0  0 1  0 0 2  . 1 4 7   13.【答案】A 4 4 4     7 4 1  【解析】记 B  ( 1 , 2 )   ，其中 1   1 2 1  , 2   1  1 1    ，则 C  ( 0 ,  1 2 2 )  ，由 A B  C ， 得 A ( 1 , 2 )  ( 0 ,  1 2 2 )    ， A 1  0 , A 2   1 2 2   ，故 1 , 2   分别是 A 的属于特征值 1 0 , 2 1 2      的特征向量. 记为A的第 3 3 个特征值，则由 t r ( A )   6 知 1 2 3 6        ，于是 3 6   . 由于 A 为实对称矩阵，且 3 1 , 3 2      ，故 A 的属于 6的特征向量 3 3  ( x 1 , x 2 , x 3 ) T  满足 , ，于是 3 1 3 2  x x 1 1   2 x x 2 2   x x 3 3   0 0 , , 解得  x x x 1 2 3   k   0 1 1  ，其 中 k 为任意非零常数，故取 3    0 1 1   即可. 将,,单位化得 1 2 3 η 1  1 6  1 2 1  , η 2  1 3  1  1 1  , η 3  1 2   0 1 1  ， 记 P  ( η 1 , η 2 , η 3 ) ，则 P 为正交矩阵，且 P T A P  Λ   0  1 2 6  1 4 7   则A PΛPT  4 4 4 .     7 4 1   14.【答案】 Q    0 1 1 2 2 1 0 0 0 1 1 2 2  ， ( A Q ) T A Q   1 0 0 0 4 0 0 0 9  1 0 0 【解析】由于A的一个特征值为1，故 E A  0 1 1 (x2)0即 0 1 1x x  2 ，由于 0 0 2 0 1 2 0 1 2 ( 1 ) ( 2 )       E  A          ，故 A 的全部特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3       ； 对于特征值 1 1   ， E  A    0 0 1 0   1 1 0   1 1    1 0 0 0 1 0 0 1 0  ，故 A 的对应于特征值 1 1   的线性无关的特征向量为 ξ 1  ( 0 ,  1 , 1 ) T ； 对于特征值 2， 2 2 E  A   0 0 0 0 0  1 0  0 1    0 0 0 1 0 0 0 1 0  ，故 A 的对应于特征值 2 2   的线性无关的特征向量为 ξ 2  ( 1 , 0 , 0 ) T ； 对于特征值 3 3   ， 3 E  A   1 0 0 0 1  1 0  1 1    1 0 0 0 1 0 0  0 1  ，故 A 的对应于特征值 3 3   的线性无关的特征向量为 ξ 3  ( 0 , 1 , 1 ) T ； 显然， ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 两两正交，将其单位化，得 η 1   0 ,  1 2 , 1 2  T , η 2  (1 , 0 , 0 ) T , η 3   0 , 1 2 , 1 2  T ， 令 Q  ( η 1 , η 2 , η 3 )    0 1 1 2 2 1 0 0 0 1 1 2 2  ，则 Q T A Q   1 0 0 0 2 0 0 0 3  ，从而 ( A Q ) T A Q  Q T A 2 Q  ( Q T A Q ) 2   1 0 0 0 2 0 0 0 3  2   1 0 0 0 4 0 0 0 9  .拓展提升 1.【答案】C 【解析】 A 是n阶非零矩阵，设是 A 的特征值，是对应的特征向量，则A， 因为 A 2  A ，所以 2 , 2 , ( 2 )     A  A    0      .由于  0  ，故有 2 0     ， 因此 1   或0. 又由于 A 2  A ，即 ( E  A ) A  O ，且 A  O ，因此齐次线性方程组 ( E  A ) x  0 有非 零解，从而 E  A  0 ，知 1   是 A 的特征值，又因为AB O,B O，所以齐次线性 方程组 A x  0 有非零解，由此可知， A  0 ，故 0   也是 A 的特征值. 同理可证，矩阵 B 的特征值必有 1 和 0 .故①不正确，②正确. 由于 1 是 A 的特征值，是对应的特征向量，因此A.在等式的两边都左乘矩阵 B ， 得 B  B ( A )  ( B A )   .因为 B A  O ，所以 B  0  0  .由此可知，若是 A 的属于 特征值 1 的特征向量，则必是 B 的属于特征值 0 的特征向量，故③正确，选（C）. 2.【答案】 A    1 2 2  2 4 4   4 2 4  ； A 1 0 0  9 9 9 A 【解析】方法一：由题设条件知，对应齐次线性方程组的基础解系是 ξ (2,1,0)T,ξ (2,0,1)T，即ξ ,ξ 是A的对应于 1 2 1 2 0   的两个线性无关的特征向量， 又ξ (1,2,2)T是 3 A x  b 的特解，即 A   1 2 2   b   1  9 8 1 8   9   1 2 2  ， 知ξ (1,2,2)T是 3 A 的对应于 9   的特征向量. 取可逆矩阵P (ξ ,ξ ,ξ )，则得P1AP  Λ,A PΛP1，其中 1 2 3 P    1 0 2 2 0 1  1 2 2  , Λ   0 0 9  , P  1  1 9   2 1 2 5 4 2  4 5 2  所以A   P  Λ  1 0 2 P  1 2 0 1     1 0 1 2 2 2   2 0 1 0 0 1  0 0 2 1 2 2    0 0 2 0   0   1 2 9 2  1 9  2 4  4  2 1 2   4 2 4 5 4 2  .  4 5 2  由于 A    1 2 2  2 4 4   4 2 4     1 2 2  (1 , 2 ,  2 ) ，故 A 1 0 0    1 2 2   (1 , 2 ,  2 )   1 2 2    (1 , 2 ,  2 )   1 2 2   (1 , 2 ,  2 )  9 9 9 A . 或 1 0 0 A     (   9 P  1 0  1 0 9 9 Λ 2 2  P  1 2  2 0 1 2 0 1 2 1 ) 1 0 0  1 2  2 1 2  2 2 4  4   P     1 0 Λ 0 0 0 9 9 9 2  4  4  0 P 0   2 9 1 1 0 9 0 0 9  9 9 9 A 0 9 .  1 9   2  2 1 0 0  2 9 9 9 5 4 2   4 5 2  方法二：由方程组的通解直接求出系数矩阵 A . 由于对应齐次线性方程Ax0的通解为 k 1 ξ 1  k 2 ξ 2  k 1 (  2 , 1 , 0 ) T  k 2 ( 2 , 0 , 1 ) T ， 故 r ( A )  1 . 可设其同解方程为 a x 1  b x 2  c x 3  0 2ab0, ，将ξ ,ξ 代入，则有 1 2 2ac0, 得c2a,b2a, 故方程为 a ( x 1  2 x 2  2 x 3 )  0 ，对应的非齐次线性方程为 k k k 1 2 3 ( ( ( x x x 1 1 1    2 2 2 x x x 2 2 2    2 2 2 x x x 3 3 3 ) ) )    9 1  , 8 1 , 8 , 将特解 η  (1 , 2 ,  2 ) T 代入得 k 1  1 , k 2  2 , k 3   2 ，故对应矩阵 A    1 2 2  2 4 4   4 2 4  . 再求 A 1 0 0 .(同方法一) 或由于 A ξ 1  0 ，故 A 1 0 0 ξ 1  0 ；由于 A ξ 2  0 ，故 A 1 0 0 ξ 2  0 ； 由于 A η  9 η ，故 A 1 0 0 η  9 1 0 0 η . 故 A 1 0 0 ( ξ 1 , ξ 2 , η )  ( 0 , 0 , 9 1 0 0 η ) ， A 1 0 0    ( 9 9 0 , 0 , 9 0  1 0 0 0  0  1  9 9 2    1 2 0 0 η 0 0 0 ) 2 4  ( 4 ξ 1 1 2  , 2 ξ    4 , η 2  1  9  2  4   1 )  2 2 1  9 9 9 5 4 2 A .  4 5 2  3.【答案】（1） A  3 E  4 0 ；（2） A  3 E  4 2 【解析】（1）当 a  0 时，易知 A 有 3 个互异的特征值 1 , 2 ,  1 ，所以A3E的特征值为 4,5,2，因此 A  3 E  4  5  2  4 0 . （2）当 a  2 时，设 f ( )    E  A 是 A 的特征多项式， g ( ) f ( ) 2     ，则 g (1 )  f (1 )  2  E  A  2  0 ， g(2) f(2)2 2EA 20， g (  1 )  f (  1 )  2   E  A  2  0 ， 所以g()(1)(2)(1)322 2，由此得 f() g()2(2 21)， 令 f()0，解得A的特征值为0,1 2,1 2 ， 所以A3E的特征值为3,4 2,4 2 ，故 A  3 E  3 ( 4  2 ) ( 4  2 )  4 2 . 4.【答案】（1）略；（2） r ( A  E )  2 ， A  2 E  6 【解析】（1）设存在一组常数 k 1 , k 2 , k 3 使 kk Ak A20 ① 1 2 3 由题设有 i i i ( i 1 , 2 , 3 )  A     ，于是 1 2 3 1 1 2 2 3 3    A  A  A  A           2 21 1 22 2 23 3    A        代入①式整理得 ( k 1 k 2 1 k 3 21 ) 1 ( k 1 k 2 2 k 3 22 ) 2 ( k 1 k 2 3 k 3 23 ) 3                0    因为 1 , 2 , 3   是三个不同特征值对应的特征向量，所以必线性无关，于是有 k k k 1 1 1 k k k 2 2 2 1 2 3 k k k 3 3 3 21 2223 0 0 0 , , ,                 这是一个关于未知数k ,k ,k 的线性方程组，其系数行列式 1 2 3 1 1 1 1 2 3 212223 0        ，必有 k 1  k 2  k 3  0 ，故,A,A2线性无关. （2）由 A 3  A  ，有 A ( , A , A 2 )  ( A , A 2 , A 3 )  ( A , A 2 , A )  ( , A , A 2 )  0 1 0 0 0 1 0 1 0              ， 令 P  ( , A , A 2 )    ，则P 可逆，且 P  1 A P   0 1 0 0 0 1 0 1 0  记 B 从而有r ( A A   2 E E )   r B ( B   2 E E )   2 1 0 r   1 0 0 2 1 1 0 1 2 0  1 1  6 . 0 1  1   2 , 5.【答案】 k  5 ； P   1 1  1   8 3 1 1 3 1 3 0 1 2  【解析】由 A  B ，知 A , B 有相同的迹，即 k  3  (  6 )  1  2  (  1 ) 得 k  5 . 由 0 0 1 0 4 2 0 2 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 0        E  B            ， 得 B 的三个不同特征值分别为 1 1 , 2 2 , 3 1        ，由此可知， B 可相似于对角矩阵， 由 (1 E  B ) x  0 ，得特征向量 (1,0,0)T； 1 由 ( 2 E  B ) x  0 ，得特征向量 2  ( 8 , 3 , 4 ) T  ； 由(EB)x 0，得特征向量 3  (1 , 0 ,  1 ) T  ； 1 0 0    令P (,,)，则P1BP  0 2 0  Λ 1 1 2 3 1 1     0 0 1   又由于 A  B ，故 1 , 2 ,  1 也是 A 的特征值. 由 (1 E  A ) x  0 ，得特征向量 1  ( 1 , 1 ,  1 ) T  ； 由(2EA)x 0，得特征向量 2  ( 0 , 1 , 1 ) T  ； 由(EA)x 0，得特征向量 3  ( 1 , 0 ,  3 ) T  ； 1 0 0    令P (,,)，则P1AP  0 2 0  Λ 2 1 2 3 2 2     0 0 1   综上可得，P1AP  P1BP，即(P P1)1A(P P1) B 2 2 1 1 2 1 2 1其中 P  P 2 P 1  1   1 1  1 0 1 1 1 0  3   1 0 0 8 3 4 1 0  1   1   1 1  1   8 3 1 1 3 1 3 0 1 2  . 6.【答案】（1）略；（2）A的特征值全为零，对应全部特征向量为 k n ( k  0 )  【解析】（1）令 x 1 1  x 2 2   x n n  0    ，则 x Ax A  x A 0x x  x  0 1 1 2 2 n n 1 2 2 3 n1 n x 1 A 2  x 2 A 3   x n  1 A n  0  x 1 3  x 2 4   x n  2 n  0       x 1 n  0  因为 n  0  ，所以 x 1  0 ，反推可得 x 2   x n  0 ，所以 1 , 2 , , n   线性无关. （2） A ( 1 , 2 , , n )  ( 1 , 2 , , n )  0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0        ，令 P  ( 1 , 2 , , n )    0 0 0 0   1 0 0 0   则P1AP 0 1 0 0 B，则       0 0 1 0 A , B 相似，由 0 1 n 0    E  B      ，即 A 的特征值全为零，又 r ( A )  n  1 ，所以Ax0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 A n  0 n ( n  0 )    ，所以 A 的全部特征向 量为 k n ( k  0 )  . 7.【答案】D 【解析】条件③，当 b  c 时 A 是实对称矩阵  A Λ ，③是充分条件. 由A的特征值，来看什么条件下A相似于对角矩阵，c a b d 2 ( a d ) a d b c      E  A           ， 1 ,2 a d ( a d 2 ) 2 4 ( a d b c )        (*)  a  d  ( a 2  d ) 2  4 b c (**) 条件①， a d  b c  0 ，由(*)式得 ( a  d ) 2  4 ( a d  b c )  0 ，故A 有两个不同的特征值  A Λ ，①是充分条件. 条件②， b , c 同正或同负，由(**)式得 ( a  d ) 2  4 b c  0 ， A 有两个不同的特征值  A Λ ，②是充分条件. 条件④， b , c 异号，由(**)式知，因bc0，当 ( a  d ) 2  4 b c  0 时会有二重特征值，例 1 1 如A   ,b1,c1，有 1 1 1 1 1 1 2 0     E  A       ， 得 0，但 1 2 r ( 0 E  A )  1 ，线性无关的特征向量只有一个， A 不相似于对角矩阵 Λ ，故④不是充分条件，从而条件①②③是 A 相似于对角矩阵的充分条件，故选（D）. 8.【答案】（1）略；（2）通解为 x  2  k 1  ，其中k为任意常数 【解析】（1）①若 1 , 2  都是 A 的属于 1 0   的特征向量， 则A() AA 0矛盾； 1 2 1 2 2 ②若 1 , 2  都是 A 的属于 2 3 1     的特征向量， 则 A ( 1  2 )  A 1  A 2  1  2  2       矛盾； ③若 1 是A的属于 2 3 1     的特征向量， 2  是 A 的属于 1 0   的特征向量，则 A ( 1  2 )  A 1  A 2  1  0  1  2        矛盾； ④若 1 是A的属于0的特征向量， 是A的属于  1的特征向量，则 1 2 2 3 A() AA 0 符合题意，故是A的属于0的特征向量， 1 2 1 2 2 2 1 1 所以A 0. 1 （2）因A是实对称矩阵，必可相似对角化，故r(A)2.于是Ax0的基础解系所含向量个数为 3  r ( A )  1 ，又由（1）知， 1 是 A x  0 的非零解，故可作为 A x  0 的基础解 系； 是 2 A 的属于  1的特征向量，故 是Ax 的一个特解，于是Ax  2 3 2 2 2 的通解为 x  2  k 1  ，其中 k 为任意常数.  1 2 1    9.【答案】（1）略；（2）A 2 1 1     1 1 2   【解析】（1）因为 3 阶矩阵 A 的每行元素之和均为 0 ，所以 A γ  0 γ ，其中 γ  (1 , 1 , 1 ) T ；因为存在线性无关的向量 , ，使得 A  3  ， A  3  ，所以 A (  )  3 (  )     ， A (  )   3 (  )     ，且  ,    都不是零向量，于是， A 有三个不同的特征值 1 0 , 2 3 , 3 3        ，而γ,,依次为 A 的属于特征值 1 , 2 , 3   的线性无关的 特征向量，因此 A 可相似对角化. （2）当  ( 0 ,  1 , 1 ) T ,  ( 1 , 0 ,  1 ) T   时，由（1）知， A 的属于特征值 1 , 2 , 3   的线性无 关的特征向量依次为 γ  (1 , 1 , 1 ) T ,   ( 1 ,  1 , 0 ) T ,   (  1 ,  1 , 2 ) T     ，于是， 令 P   1 1 1 1  0 1   2 1 1  , Λ   0 0 0 0 3 0 0 0  3  ，则P1AP  Λ，从而 A    P   Λ 0 0 0 1  1 2 P  1 3  3 0   2 1 1 1  1  1  3 3  6  1 1  2 1  0 1 6  1  . 2 3    2 1 1 1   2   0 0 0 3 1 0 3 0 2 0 2  0 0  3   1 1 1 1  0 1   2 1 1   1 10.【答案】略 【解析】 A 有n个互不相同的特征值，故存在可逆矩阵 P ，使得1 1 2 n 1    P  A P     Λ 其中 i ( i 1 , 2 , , n )   是 A 的特征值，且(i  j)； i j 又 A B  B A ，故 P  1 A P P  1 B P  P  1 B P P  1 A P ，即 Λ 1 P  1 B P  P  1 B P Λ 1 设 P  1 B P  ( c ij ) n  n ，则 0 0 1 0 0 2 0 0 n c c c 1 2 n 1 1 1 c c c 1 2 n 2 2 2 c c c 1 2 n n n n c c c 1 2 n 1 1 1 c c c 1 2 n 2 2 2 c c c 1 2 n n n n 0 0 1 0 0 2 0 0 n                c c c  c c c  1 11 1 12 1 1n 1 11 2 12 n 1n     c c c c c c 即  2 21 2 22 2 2n   1 21 2 22 n 2n         c c c c c c     n n1 n n2 n nn 1 n1 2 n2 n nn 比较对应元素可得c c 即()c 0，由(i  j)得c 0(i j)，于是 i ij j ij i j ij i j ij P  1 B P   c 1 0 0 1 c 0 2 0 2 c 0 0 n n   Λ 2 ，即 B 相似于对角矩阵 Λ 2 . 11.【答案】 P   0  1 1 1 0 0 0 1 1  ， P  1 A P   1 0 0 0 2 0 0 0 3  1  0 0   2    2  ，P1BP  0 0  3    3 0 0     4 【解析】 0 0 2 0 1 2 0 1 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )        E  A           ，故A的全部特征值为 1, 2, 3； 1 2 3对于特征值 1 1   ， E  A    0 0 1 0   1 1 0   1 1    1 0 0 0 1 0 0 1 0  ，故 A 对应于 1 1   的线性无 关的特征向量为 ξ 1  ( 0 ,  1 , 1 ) T ； 对于特征值 2 2   ， 2 E  A   0 0 0 0 0  1 0  0 1    0 0 0 1 0 0 0 1 0  ，故 A 对应于 2 2   的线性 无关的特征向量为 ξ 2  ( 1 , 0 , 0 ) T ； 对于特征值 3， 3 3 E  A   1 0 0 0 1  1 0  1 1    1 0 0 0 1 0 0  0 1  ，故 A 对应于 3的线性 3 无关的特征向量为 ξ 3  ( 0 , 1 , 1 ) T ； 由于 A B  A  B ，得 ( A  E ) ( E  B )  E ，故 E  B  ( A  E )  1 ，即 B  E  ( A  E )  1 ，由于 A 的全部特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3       ，因此由特征值的性 质， B 的全部特征值为 1 1 2 , 2 2 3 , 3 3 4       ，相应的特征向量分别为ξ ,ξ ,ξ ，于是， 1 2 3  0 1 0 1 0 0     令P (ξ ,ξ ,ξ ) 1 0 1 ，则P1AP  0 2 0 ， 1 2 3         1 0 1 0 0 3     P  1 B P   1 2 0 0 0 2 3 0 0 0 3 4  . 12.【答案】 B  1 3    8 2 2   5 2 4   5 2 4  8 2 2 【解析】EA  2 5 4 (9)2 00,  9， 1 2 3 2 4 5 当0时，(0EA)x 0，则对应的特征向量为ξ (1,2,2)T； 1 1 当  9时，(9EA)x 0，则对应的特征向量为 2 3ξ 2  ( 2 ,  2 , 1 ) T , ξ 3  ( 2 , 1 ,  2 ) T ； 单位化后得正交矩阵 Q  1 3  1 2 2  2 1 2  2 1 2  ， 0    由QTAQ  9 有     9   A    Q Q  Q   0 0  0 9 3 3 9 3   3 Q Q  Q T T Q T  2  0  3 B 2 3  Q T ( Q T Q  Q  1 Q  E ) 因此 B  Q  0 3 3  Q T  1 3    8 2 2   5 2 4   5 2 4  .