250421_165017-强化线代第四章解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_强化_线代

第四章 线性方程组 巩固练习 题型07 线性方程组的求解 1.【答案】C 【解析】（A）选项错误， m  n ，可以理解为方程组的个数小于未知数的个数， r ( A )  m  n ，则 A x  0 有无穷多解，但 A x  b 有无穷多解的条件为 r ( A )  r ( A , b )  n ，无法确定r(A)与 r ( A , b ) 是否相等，所以（A）不对. （可参考这种形式 ( A , b )   1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1  ， A x  b 无解） （B）选项错误，若Ax0只有零解，则r(A)n，Axb有唯一解的条件是 r ( A )  r ( A , b )  n ，无法确定r(A)与 r ( A , b ) 是否相等，所以（B）选项不对. （可参考这种形式 ( A , b )   1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1  ， A x  b 无解） （C）选项正确，由 A 是 m  n 矩阵，故 r ( A )  n ，若 A 有 n 阶子式不为零，则 r ( A )  n ，即 r ( A )  n ，故Ax0只有零解. 答案选（C） （D）选项错误，Axb有唯一解的充要条件应是 r ( A )  r ( A , b )  n . 2.【答案】D 【解析】 A x  b 有解的充要条件为 r ( A )  r ( A , b ) ，（A）（B）（C）选项均不能保证这个 条件，所以（A）（B）（C）选项均不对，再看（D）选项，齐次线性方程组一定有零解， 所以（D）选项正确. （若本题（D）选项后半部分改为Axb一定有解，该命题也是正确的，因为 r(A)m，矩阵 A 行满秩，增加一列并不改变行秩，所以 r ( A )  r ( A , b )  m ，所以方程 组Axb一定有解） 3.【答案】B【解析】（A）选项错误， ( 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1                   ，由于 r  1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1   3 所以 r ( 1  2 , 2  3 , 3  4 , 4  1 )  3         ，四个向量线性相关，不能作为基础解系. （B）选项正确，因为 1 , 2 , 3 , 4   是齐次方程组 A x  0 的基础解系，所以 1 , 2 , 3 4 , 3 4        仍为 A x  0 的解. ( 1 , 2 , 3 4 , 3 4 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1               ，由于 r  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1  1   4 ，所以 r ( 1 , 2 , 3 4 , 3 4 ) 4         ，且向量个数与基础解系中向 量个数一致，故可以作为基础解系，答案选择（B）. （C）选项错误，与,,,等价的向量组中向量个数不一定是4个. 1 2 3 4 （D）选项错误，等秩的向量组之间不一定能相互表示，所以不一定是方程组的解，且向 量个数也无法确定. 4.【答案】C 【解析】由于 A x  0 的基础解系中向量个数是2个，即 4  r ( A )  2 ，故r(A)2，故 A的列向量组的极大线性无关组中向量个数为2个，排除（D）选项. 由于 1  A  0 ，即  2  0，由A 0，可得  0，联立可得：,线性相关， 1 2 3 4 2 2 4 2 4 ,线性相关，排除（A）（B）选项. 故答案选（C）. 1 35.【答案】1 【解析】由题意， 1 , 2 , , t   都是非齐次线性方程组 A x  b 的解，即 1  A  b ， 2  A  b ， ， t  A  b ，又因为cc  c是 1 1 2 2 t t A x  b 的解，代入有 ( c 1 1 c 2 2 c t t )    A     b ，即 c 1 1 c 2 2 c t t ( c 1 c 2 c t )    A  A   A     b  b ，故 c 1  c 2   c t  1 . 2 3  2        1 0 0       6.【答案】k  0 k  4 k 1，（其中k ,k ,k 为任意常数） 1 2 3 1 2 3       0 1 0              0   0   1  1 2 1 1 1 1 2 1 1 1     【解析】A 2 4 1 10 5  0 0 3 12 3         1 2 0 3 2 0 0 1 4 1       1 0 0 2 0 0 1 1 0   0 1 4  1 0 1    1 0 0 2 0 0 0 1 0  3 0 4  1 0 2  ， 原方程组的同解方程组为  x x 1 3   2 4 x x 2 4   3 x x 5 4   0 2 x 5  0 原方程组的所有解为  x x x x x 1 2 3 4 5   k 1   1 0 0 0 2   k 2   0 4 1 0 3   k 3  2 0  0 1 1  （其中k ,k ,k 为任意常数） 1 2 3 7.【答案】3 【解析】方程组可写成Axb，由通解形式可知，(1,2,1,1)T为对应齐次的解，代入可 a2b20  a 3 得12b120 .  b1 22150 8.【答案】 (  3 , 2 , 0 ) T  k (  1 , 1 , 1 ) T ，其中 k 为任意常数 【解析】方程组可写成 A x  b ，易知矩阵 A 中存在2阶非零子式，所以r(A)2，又因 为 (3,2,0)T， 1 2 ( 1 , 0 , 2 ) T     是非齐次Axb的两个特解，故 1 2 ( 2 , 2 , 2 ) T      是对应齐次 A x  0 的解，故 3  r ( A )  1 ，即 r ( A )  2 ，故 r ( A )  2 . 所以 A x  0 的基础解系中只有1个向量，而 1 ( 3 , 2 , 0 ) T    是 A x  b 的一个特解，故此 方程组的通解是 (  3 , 2 , 0 ) T  k (  1 , 1 , 1 ) T ，其中k为任意常数. 9.【答案】 x  (1 , 1 , 0 , 1 ) T  k ( 3 , 3 , 1 ,  2 ) T 或 x  (  1 , 1 , 0 , 3 ) T  k (  3 , 3 , 1 , 4 ) T （ k 为任意常 数） 【解析】对增广矩阵作初等行变换，有  1 2 1 3  1  1 0  1 2 1  1 0 1 2 1 3 1 3 2 5      1 0 0 0 1 0 0 0  1 1 2 0 1 0 0 1 2     1  3 0 0 3 3 6 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 1 2     1 0 0 0  1 0 0 1 2  0 0 3 1 0 0 0 1 1 0 0  因此方程组的通解是：x (x ,x ,x ,x )T (2,1,0,0)T k (1,3,1,0)T k (1,0,0,1)T. 1 2 3 4 1 2 而其中满足 x 21  x 22 的解， （1）令x  x 1 2 那么 2  k 1  k 2  1  3 k 1 ，所以 k 2  1  2 k 1 所以 x  (1 , 1 , 0 , 1 ) T  k ( 3 , 3 , 1 ,  2 ) T （k为任意常数） （2）令x x 1 2 2  k 1  k 2   ( 1  3 k 1 ) ，所以 k 2  3  4 k 1 . x(1,1,0,3)T k(3,3,1,4)T（ k 为任意常数） 综上 x  (1 , 1 , 0 , 1 ) T  k ( 3 , 3 , 1 ,  2 ) T 或 x  (  1 , 1 , 0 , 3 ) T  k (  3 , 3 , 1 , 4 ) T （k为任意常数）为 满足x2  x2的所有解. 1 210.【答案】请参照解析 【解析】对增广矩阵作初等行变换，有  2 a 0 a 2 2 2 3 b 3 4 2 6    a 0 0  2 2 2 3 b  3  4 2 2    a 0 0 2 2 0 b 3 3  3 4 2 0  . （1）当 a  0 ，且 b  3  2 1 0 0   a 时， A b  0 1 0 1   0 0 1 0 T 2  方程组有唯一解 ,1,0  . a  （2）当 a  0 时， b 为任意常数时，  A b    0 0 0 2 0 0 b 3 0  3  4 0 2  方程组无解. （3）当 a  0 ， b  3  2 1 0 0 a 2 3 4  a      时， A b  0 2 3 2   0 1 3 1   0 0 0 0    2    0 0 0 0 方程组有无穷多解  2 a , 1 , 0  T  k  0 ,  3 , 2  T . 11.【答案】（1） k (1 , 1 , , 1 ) T ，其中k为任意常数； （2） k (1 , 5 ,  3 , 1 ) T  ( 2 , 1 ,  1 , 3 ) T ，其中 k 为任意常数 【解析】（1）因为 r ( A )  n  1 ，所以方程组 A x  0 的基础解系只含一个线性无关的解向 量，又因为 A 的各行元素之和为零，所以 A  1 1 1   0 1   1   ，于是 为方程组     1 A x  0 的一个基 础解系，故方程组Ax0的通解为 x  k (1 , 1 , , 1 ) T ，其中k为任意常数. （2）由r(A)3得方程组Axb对应齐次线性方程组的基础解系含一个线性无关的解向量，由线性方程组解的性质得Axb对应齐次线性方程组的基础解系为 2 1  ( 2  3 )  (1 , 5 ,  3 , 1 ) T    . 故方程组 A x  b 的通解为 x  k (1 , 5 ,  3 , 1 ) T  ( 2 , 1 ,  1 , 3 ) T ，其中k为任意常数. 12.【答案】 k 1  1 2  2 1   k 2  3 6  9 3    1  0 2 1  ，其中 k 1 , k 2 为任意常数 【解析】由非齐次线性方程组有解得 r ( A )  r ( A ) ，因为系数矩阵 A 存在2阶非0子式，  1    2   所以r(A)2. 因为   ， 2 1 1    2  3 1 3 6 9 3        为齐次线性方程组 A x  0 的两个线 性无关解，所以 4  r ( A )  2 ，即 r ( A )  2 ，于是 r ( A )  2 . 故方程组 A x  b 的通解为 x  k 1  1 2  2 1   k 2  3 6  9 3    1  0 2 1  ，其中 k 1 , k 2 为任意常数. 13.【答案】k(1,3,1,0)T (1,2,0,1)T，其中 k 为任意常数 【解析】显然 r ( A )  3 ，则方程组Ax0的基础解系为含一个线性无关的解向量，因为   即   0，所以(1,3,1,0)T为方程组        A x  0 的一个基础 解系.  A x  等价于xx x x ，再由    1 1 2 2 3 3 4 4        得方程组  A x  的一个特解为(1,2,0,1)T，于是方程组  A x  的通解为xk(1,3,1,0)T (1,2,0,1)T， 其中 k 为任意常数.  1   1   5  2         2 2 6 3         14.【答案】k  1 k  0 k  0  0 ，其中 1 2 3         0 1 0 0                  0   0   1   0  k 1 , k 2 , k 3 为任意常数【解析】 A   1 3 0 5 1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 2 3 1  6  3 1 a 0 b 2    1 0 0 0 1  1  1 1   1 2 2 2   1 2 2 2   1 6 6 6 2   a 3 b a 5 a    1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 6 0 0 b 2 3   a a 3 2 a a  . b3a0, 因为原方程组有无数个解，所以 解得 22a0, a  1 , b  3 . A   1 0 0 0 0 1 0 0  2 0 0 1  2 0 0 1  6 0 0 5  3 0 0 2  ， 通解为 x  k 1   1 1 0 0 2   k 2   1 0 1 0 2   k 3   5 0 0 1 6     3 0 0 0 2  ，其中 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数. 15.【答案】略 【解析】（1）不妨设 1 , 2 , , n 1     ， 1 , 2   为列向量 因为 1 , 2   与 1 , 2 , , n 1     正交， 所以 Ti β j  0 ,  其中i1,2, ,n1; j 1,2     0           0 令A    ，则A         ，   j   j                   0 n n 所以 1 , 2   为方程组Ax0的两个解 因为,, , 线性无关，所以 1 2 n1 r ( A )  n  1 ，所以方程组Ax0的基础解系只含一 个线性无关的解向量，于是, 线性相关，故, 成比例. 1 2 1 2 （2）因为, 为非零向量且成比例，所以存在非零常数k ，使得 k，代入得 1 2 2 12 k 1 T1  B  ，于是 r ( ) r ( 1 T1 ) r ( 1 ) 1   B    . 16.【答案】（1）（Ⅰ） (0,0,1,0)T, (1,1,0,1)T； 1 2 （Ⅱ） 1 ( 0 , 1 , 1 , 0 ) T , 2 ( 1 , 1 , 0 , 1 ) T       （2） k (  1 , 1 , 2 , 1 ) T ，其中k为任意常数 【解析】（1） A 1   1 0 1 1 0 0 0  1    1 0 0 1 0 0 1  1  ，方程组（Ⅰ）的基础解系为 1 ( 0 , 0 , 1 , 0 ) T , 2 ( 1 , 1 , 0 , 1 ) T      ； A 2   1 0  1 1 1  1 0 1    1 0 0 1 0  1 1 1  ，方程组（Ⅱ）的基础解系为 1 ( 0 , 1 , 1 , 0 ) T , 2 ( 1 , 1 , 0 , 1 ) T       ； （2）方法一：两个方程组的公共解即为方程组  A A 1 2  x  0 的解.  A A 1 2    1 0 1 0 1 1  1 1 0 0 1  1 0  0 1 1    1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1  1 0   2 1 2    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1   0 1 2  ， 公共解为 x  k (  1 , 1 , 2 , 1 ) T ，其中 k 为任意常数. 方法二：方程组（Ⅰ）的通解为x k (0,0,1,0)T k (1,1,0,1)T (k ,k ,k ,k )T，代 1 2 2 2 1 2 入方程组（Ⅱ）得   k k 2 2   k k 1 2   k k 2 1   0 0 , , 即k 2k ，取k k ，则两方程组的公共解为 1 2 2 x  k (  1 , 1 , 2 , 1 ) T ，其中k为任意常数. 方法三：方程组（Ⅰ）的通解为 x  k 1 ( 0 , 0 , 1 , 0 ) T  k 2 (  1 , 1 , 0 , 1 ) T  (  k 2 , k 2 , k 1 , k 2 ) T ，方 程组（Ⅱ）的通解为 x  l1 ( 0 , 1 , 1 , 0 ) T  l 2 (  1 ,  1 , 0 , 1 ) T  (  l 2 , l1  l 2 , l1 , l 2 ) T ，令 (  k 2 , k 2 , k 1 , k 2 ) T  (  l 2 , l1  l 2 , l1 , l 2 ) T ，得l k 2k ，l k ，取k k ，两方程组的 1 1 2 2 2 2 公共解为 x  k (  1 , 1 , 2 , 1 ) T ，其中k为任意常数. 1   17.【答案】当a1时，公共解为x C 0 ，其中C为任意常数；     1  当a2时，公共解为 x  ( 0 , 1 ,  1 ) T 【解析】方程组（Ⅰ），（Ⅱ）的公共解即为方程组（Ⅲ）  x x x x 1 1 1 1     x 2 4 2 2 x x x  2 2 2    x 3 a a x  x 2 3 3 x  0  3 ,  a 0 , 0  , 1 的解. A   1 1 1 1 1 2 4 2 1 a a 1 2 a 0 0 0  1    1 0 0 0 1 1 3 1 a a 1  2  0 1 1 a 0 0 0  1    1 0 0 0 1 1 0 0 a a 1 0 2   1 1   0 a  3 ( a ( a 1   1 ) 1 )  当a1时， A   1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0  ，方程组的公共解为 x  C   0 1 1  ； 当 a  1 时， A   1 0 0 0 1 1 0 0 a 1 0  1 1 a 0   3  1 1    1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 a a 0   1  1 2  ， 因为两个方程组有公共解，所以 a  2 ，由 A   1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1  0 1    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1  0 1  ， 故两个方程组的公共解为 x  ( 0 , 1 ,  1 ) T . 18.【答案】  a b c    2 0 1 , , 或  a b c    2 , 1 , 2 , 1   ，公共非零解为x C 1 （C为非零常数）     1   1 2 3 1 2 3 【解析】因为方程组（Ⅰ）有非零解，所以D 2 3 5  0 1 1 0得 1 1 a 0 1 a3 a  2 .方程组（Ⅰ），（Ⅱ）的公共解即为方程组（Ⅲ）  x 2 x x 2 1 x 1 1 x  1   1 2  x b  x 3 2 x b 2 x  2 2  3 x  3  5 x 2 3 2 x  3  c x  3 x  ( c 2 0 ,  0 0 , 0 ,  1 ) , x 3  0 的解. A   1 2 1 1 2 2 3 1 b b 2 c 3 5 2 c  1    1 0 0 0 0 b b 2  1  1  2  2 4 c c 3     1 1 3 5    1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 c c   1 1 0 b b 2   1 1  ， 因为两个方程组有公共的非零解，所以 r ( A )  3 ，于是  c c   b b  2 1   1  0 , 0 , 解得 b  0 , c  1 或 b  1 , c  2 ，故所求常数为  a b c    2 0 1 , , 或  a b c    2 , 1 , 2 , 方程组（Ⅲ）与  x x 1 2     x x 3 3 , 同解，于是公共 非零解为 x  C    1 1 1  （C为非零常数）. 19.【答案】略 【解析】（1）令 k 0 0 k 1 1 k 2 2 k n r n r            0 ，即 ( k 0 k 1 k n r ) k 1 1 k 2 2 k n r n r                0 ， 上式左乘A得 ( k 0 k 1 k n r ) k 1 1 k 2 2 k n r n r         A  A  A    A   0 ， 因为A  A   A 0,Ab，所以 1 2 nr ( k 0  k 1   k n  r ) b  0 ，而b0，所 以k k  k 0， （*） 0 1 nr 又因为 1 , 2 , , n r     线性无关，对于kk  k  0， 1 1 2 2 nr nr 所以 k 1  k 2   k n  r  0 ，带入（*）可得 k 0  0 ，所以 k 0  k 1  k 2   k n  r  0 ， 故,,, , 线性无关. 0 1 2 nr（2）非齐次线性方程组Axb的通解为xkk  k  ， 1 1 2 2 nr nr 所以 k k 0 1 1 0 k k 2 1 2 1 k 2 2 k n r n r k n ( r k 0 n r k 1 k n r )         x                   为 A x  b 的通解  k 0  k 1   k n  r  1 . 1 1     20.【答案】x k 1  2 （         1 0     k 为任意常数） 【解析】方法一： A    (  , 1  2 ,    3 )    1 0  1    1 0 1   0 1  1             B =  1 0  1  1 0 1 0 1  1    1 0 0  1 0 1 0 1 0  所以 r ( B ) = 2 ,因为 1 , 2 , 3   线性无关，所以r(,,)3 1 2 3 所以r(A)r(B)=2，所以 3  r ( A ) = 1 1 1     因为A 1    1 0，所以               1 1        1 1 1  为 A x  0 的一个基础解 系. 1 1 1       A 2   2 α ，所以 2 为           4         0 0 0       A x  α 4 的一个特解， 所以 A x  α 4 的通解为 x  k    1 1 1      0 1 2  （ k 为任意常数）. 方法二：由 x ，得       ( 1 , 2 , 3 ) 1 0 1 1 0 1 0 1 1 ( 1 , 2 , 3 ) 1 1 2            x     ， 因为 1 , 2 , 3   线性无关，所以 ( 1 , 2 , 3 )    可逆，于是  1 0  1  1 0 1 0 1  1  x    1 1 2  ， 由  1 0  1  1 0 1 0 1  1  1 1 2    1 0 0  1  1 1 0 1  1  1 2 2    1 0 0 0 1 0 1 1 0   0 1 2  得 x  k    1 1 1      0 1 2  （k为任意常数）.综合测试 1.【答案】 2 【解析】 r ( A T )  r ( A ) ，又齐次方程组 A x  0 的基础解系中，解向量的个数为 n  r ( A ) . 因nr(A)4r(A)2知r(A)2，故 r ( A T )  2 . 2.【答案】 2 【解析】注意对于 n 阶矩阵 A ，我们有 r ( A * )   n 1 0 , r , r , r ( A ( A ( A ) ) )    n n n ,   1 1 , . 由于 3 阶矩阵 A 的秩为2，则 A * 的秩为 1 ，从而方程组 A * x  0 基础解系中解向量的 个数为 3  1  2 . 3.【答案】 ( 1 , 0 , 1 ) T  k ( 1 , 1 , 0 ) T ，其中 k 为任意常数 【解析】因方程组 A x  b 有两个不同的解，有 r ( A )  r ( A )  3 ，又 A 中存在 5 1  2 4  0 ，知 r ( A )  2 ，故必有 r ( A )  2 , n  r ( A )  3  2  1 ，由解的性质可知 2  1  (1 , 1 , 0 ) T   是 A x  0 的解，也为Ax0的一个基础解系，故通解为 ( 1 , 0 , 1 ) T  k ( 1 , 1 , 0 ) T ，其中 k 为任意常数. 4.【答案】D 【解析】由 r ( A * )  1 ，得 r ( A )  n  1 ，从而齐次线性方程组 A x  0 的基础解系中所含 解向量的个数为nr(A)n(n1)1. 因为 1 , 2  是非齐次线性方程组Axb的两个不同解，所以是对应齐次线性 1 2 方程组Ax0的非零解，从而 1  2  是Ax0的一个基础解系. 于是，方程组Axb 的通解为 k ( 1  2 )  1  ( k  1 ) 1  k 2     ，其中k为任意常数. 5.【答案】B 【解析】A经过初等行变换得到B ，对应的齐次线性方程组 A x  0 和 B x  0 是同解方程 组，且对应的任何部分列向量组构成的线性方程组也是同解方程组，故 A , B 中对应的任何 部分列向量组有相同的线性相关性，故应选（B）.  1 1 0 1 而（A）（C）（D）均不成立， 例如取A 0 1 0 ，则  2       1 0 0  3 A   101 110 000    001 010 000    123   B   ，  1 , 2   线性无关，但 , 1 2   线性相关，故 （A）不成立； A 3 3  10 11  1  B 3 3  00 01  0 ，其对应的余子式也不相等，（C）不成立； 取 b =  211  , 则 A x  b 有解，但 B x  b 无解，故（D）不成立. 6.【答案】C 【解析】 方法一：由于 1 , 2 , 3   与 1 , 2 , 3   等价，故 r  1 , 2 , 3 )  r  1 , 2 , 3 )  r  1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 )             ， AT 即rA)rB)rA|B)，从而rAT)rBT)r  ，故②④正确. BT  1 2 0 2 1 0     对于①③，取A(,,) 1 2 0 ,B (,,) 2 1 0 ， 1 2 3   1 2 3       0 0 0 0 0 0     向量组,,与,,等价，但是 1 2 3 1 2 3 A x  0 与 B x  0 不同解，  AB  x  0 与 A x  0 不同解，故①③错误，选（C）. 方法二：由矩阵 A , B 列向量组等价，知存在可逆矩阵 P ，使得 A P = B ，则 P T A T = B T ，故 B T x  0  P T A T x  0  A T x  0 ，所以②正确. 由矩阵A,B列向量 组等价，可得矩阵 A T , B T 行向量组等价， AT 故ATx 0   x 0,所以④正确. BT  7.【答案】A【解析】 ( A | b )   112 a23 a  1 2 2 013    100 20 1 ( a  3 1a) ( a  1 ) a 11 3  , 由于 A x  b 无解，故r(A)1r(A,b)，因此 a   1 ， 又因为 A T A x  A T b 必有解，所以不必再运算. 【注1】 A T A x  A T b 必有解的证明： 由于 r ( A T A , A T b )  r [ A T ( A , b ) ] ，可得r(ATA,ATb)r(AT)r(A) 又 r ( A T A , A T b )  r ( A T A )  r ( A ) ，可知 r ( A T A , A T b )  r ( A )  r ( A T A ) ，系数矩阵的秩 等于增广矩阵的秩. 因此非齐次方程组必有解. 【注2】若考生去求解ATAx  ATb，在讨论时发现此方程组必有解，会消耗大量时间. 8.【答案】A 【解析】显然方程组 B x  0 的解一定是方程组ABx0的解. 反之，若ABx0，只有当 r ( A )  s 时，方程组 A y  0 只有零解，故 B x  0 ，即方 程组Bx0与ABx0同解，答案选（A）. 9.【答案】B 【解析】若方程组 A x  0 的解都是方程组 B x  0 的解，则 n  r ( A )  n  r ( B ) ，从而 r ( A )  r ( B ) ，（1）为正确的命题；显然（2）不正确； 同解的方程组系数矩阵的秩相等，但反之不正确. 因此（3）对，（4）错误，答案选（B）.拓展提升 1.【答案】D 【解析】由 , 为n维单位列向量，得 T  T  1   . 令 E  T  D  . 方法一: ( T ) 2  T , ( D  E ) 2  D  E , D 2  3 D  D ( D  3 E )   2 E   ，从而D可 逆，故方程组 ( E  T ) x = 0  只有零解，应选（D）. 方法二 ：由特征值的性质知 T  的特征值为 1 T 1 , 2 n 0           ，从而 E  T  的特征值为 2 , 1 , , 1 ，从而方程组(ET)x=0只有零解，应选（D）. 方法三：（特值法）令==(1,0,0)T,P  E，可排除（A）（B）（C），故应选（D）. 2.【答案】（1） a  2 , b   3 ； x   2  2  4  1 x  3  1  5 （2） x 2   0  k 1  1  k 2  0 （k 1 ,k 2 为任意常数）；  3        x   0   0   1  4 （3）  xxxx 1 2 3 4   k 1   110 2   k 2  4  01 5  （ k 1 , k 2 为任意常数） 【解析】（1）设 1 , 2 , 3   是原方程组的 3 个线性无关的解，则与为原方程 1 2 1 3 组对应的齐次方程组 A x = 0 的解，且易证 1  2 , 1  3    线性无关，故 4  r ( A )  2 ，即 r(A)2. 又 A 1 1 有一个2阶子式 10，得r(A)2，故r(A)2. 4 3 对 A 的增广矩阵 A 作初等行变换 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  A4 3 5 1 10 1 1 5 3      a 1 3 b 1 0 1a 3a ba 1a     1 1 1 1 1  0 1 1 5 3 .   0 0 42a b4a5 42a   由此可得，42ab4a50，即 a  2 , b   3 . 1 0 2 4 2    （2）将a2,b3代入A中继续作初等行变换得A 0 1 1 5 3 .     0 0 0 0 0  故原方程组等价于  x x x x 1 2 3 4     2  x x  3 , 3 , 4 2  x x 3 3   4 5 x x 4 4 , , ，原方程组的通解为  xxxx 1 2 3 4     2 00 3   k 1   110 2   k 2  4  01 5  （k ,k 为任意常数）. 1 2 （3）方程组 A T A x = 0 与方程组 A x = 0 同解. 证明如下：若 x = ξ 是Ax=0的解，则 A ξ = 0 ，从而 A T A ξ = A T ( A ξ   A T 0  0 ，故 方程组 A x = 0 的解也是方程组 A T A x = 0 的解； 若 x = ξ 是 A T A x = 0 的解，则 A T A ξ = 0 ，从而 ( A ξ ) T A ξ  ξ T A T A ξ  ξ T ( A T A ξ )  ξ T 0   . 由于 A ξ 为列向量，故 A ξ = 0 ，从而方 程组 A T A x = 0 的解也是方程组 A x = 0 的解； 因此，方程组 A T A x = 0 与方程组 A x = 0 同解. 由（2）知，方程组 A x = 0 的通解为  xxxx 1 2 3 4   k 1   110 2   k 2  4  01 5  （ k 1 , k 2 为任意常数），所 以方程组 A T A x = 0 x  2  4  1 x   1  5 的通解为 x 2 k 1  1  k 2  0 （  3      x   0   1  4 k 1 , k 2 为任意常数）. 3.【答案】（1） A    1 7 01 03 0 1  （答案不唯一）； （2） a  3 ，所有非零公共解为 k (1 , 4 , 1 , 1 ) T ，k是任意非零常数 【解析】（1）记C =(,)，则有AC = A(,)=O，得CTAT =O，即 1 2 1 2 A T 的列向 量（即A的行向量）是CTx =0的解向量. 由 C T   10 1 3 21 10  ，解得CTx =0的基 础解系为 ξ 1  ( 1 , 0 , 0 ,  1 ) T , ξ 2  (  7 , 1 , 3 , 0 ) T . 故 A    1 7 01 03 0 1  . 【注】此时矩阵A不唯一，不同的基础解系对应不同的矩阵.（2）若 A x = 0 和Bx=0有非零公共解，则非零公共解既可由 1 , 2   线性表示，也可由  线性表示，设非零公共解为 xx  xx  1 2 1 1 2 2 3 1 4 2 于是 x 1 1  x 2 2  x 3 1  x 4 2  0     . 对 ( 1 , 2 ,  1 ,  2 )     作初等行变换， (  1 ,  1000 2 ,  0100 1 ,   1 24 1 2 )   38 a  1  1121 1   010 3  1000  0  13 2 0100  1  2 1  a  1 210     32 a 1000 1  3 0 3 10      2 1000 12 1 0100   1  1 3 a  0010 1   12 a 1  3  .     当 a  3 ，方程组有非零解 k (  1 , 1 ,  2 , 1 ) T （k是任意非零常数），此时 A x = 0 和 Bx=0的非零公共解为  k (  1  2 )  k (  1 ,  4 ,  1 ,  1 ) T  k 1 (1 , 4 , 1 , 1 ) T ,    其中 k 1 是任意非零常数. 或 k ( 2 1 2 ) k ( 1 , 4 , 1 , 1 ) T        ，其中 k 是任意非零常数. 4.【答案】（1） a  0 ；（2） b  3 , c  4 , d  1 【解析】 （1）由 2 , 3 , 4   线性无关，知 2 , 3  线性无关. 又 1 , 2 , 3   线性相关，故 1 可由 2 , 3   唯一线性表示. 由 ( 1 , 2 , 3 , 4 )  1 2 3 a   0     ，得 1  2 2  3 3  a 4  0     ， 故 a  0 . 因为若a0，则 1 由,唯一线性表示，可以得出,,线性相关，与题设矛盾. 2 3 2 3 4 （2）由r(A)3，知Ax=0的基础解系中解的个数为 4  r ( A )  1 1   2   ，故ξ  为其基 3   0 础解系.又 A  1 1 1 1   ，故Ax =的通解为 k  1 2 3 0    1 1 1 1  1 1 2       2 1 b       ，从而k   ， 3 1 c       0 1 d 可得 k  1 , b  3 , c  4 , d  1 . 5.【答案】 k 1  a 1 1 a 1 2 a 1 ,2 n   k 2  a aa 2 2 1 2 2 ,2 n    k n  a n 1 a n 2 a n ,2 n  （k ,k , k 为任意常数） 1 2 n 【解析】令 A   aa a 1 2 n 1 1 1 aa a 1 2 n 2 2 2 aa a 1 2 n ,2 ,2 ,2 n n n    1 2 n  , x   x 1 x 2 x 2 n    ，则（Ⅰ）可写为Ax=0，  令 B   bb b 1 2 n 1 1 1 bb b 1 2 n 2 2 2 bb b 1 2， 2 2， n 2， n n n    T1T2 Tn  , y   y 1 y 2 y 2 n  ,     b   b   b  11 21 n1  b   b   b  其中  12 ,  22 , ,  n2 . 1 2 n       b b b  1，2n   2，2n   n，2n  则（Ⅱ）可写为 B y = 0 ，因为 1 , 2 , n    为（Ⅰ）的基础解系，因此 r ( A )  n ， ,,  线性无关， 1 2 n A 1  A 2   A n =  A ( 1 , 2 , n )  O  A B T  O  B A T  O       0 . 故T,T, T为 1 2 n B y = 0 的一组解，而 r ( B )  n ， T1 , T2 , Tn    线性无关，因此 T1 , T2 , Tn  a   a   a  11 21 n1  a   a   a     为By =0的一个基础解系，通解为k  12 k  22  k  n2  1 2 n             a a a  1,2n  2,2n  n,2n （k ,k , k 为任意常数）. 1 2 n 6.【答案】略 【解析】方程组Bx=0的解一定是方程组ABx=0的解. 令r(B)r 且ξ ,ξ , ξ 是 1 2 nr 方程组Bx=0的基础解系，现设方程组ABx=0有一个解 ，但不是方程组Bx=0的 0解，即 B 0  0  ，显然 ξ 1 , ξ 2 , ξ n  r , 0 线性无关. 因为若 ξ 1 , ξ 2 , ξ n  r , 0 相关，则存在不 全为零的常数k ,k , ,k ,k ,使得kξ k ξ  k ξ k 0. 1 2 nr 0 1 1 2 2 nr nr 0 0 若 k 0  0 ，则 k 1 ξ 1  k 2 ξ 2   k n  r ξ n  r  0 , 因为 ξ 1 , ξ 2 , ξ n  r 线性无关，所以 k k  k 0，从而 1 2 nr 1 , 2 , n  r , 0    线性无关. 若 k 0  0 ，故 0  可由 ξ 1 , ξ 2 , , ξ n  r 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B 0  0  ，与假设矛盾. 综上所述， ξ 1 , ξ 2 , , ξ n  r , 0 线性无关，且为方程组ABx=0的解，从而 n  r ( A B )  n  r  1 ， r ( A B )  r  1 ，这有r(B)r(AB)矛盾，故方程组 B x = 0 与 ABx=0同解. 7.【答案】略 【解析】因为 r ( A )  r  n ，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有nr个线性无 关的解向量，设为ξ ,ξ , ,ξ . 1 2 nr 设 0  为方程组 A x = b 的一个特解，令 0  0 ,    ξ , ξ , 1 1 0 2 2 0 n  r  ξ n  r  0 ,   显然 0 , 1 , 2 , n  r     为方程组 A x = b 的一组解. 令k  k k  0,即 0 0 1 1 nr nr ( k 0  k 1   k n  r ) 0  k 1 ξ 1  k 2 ξ 2   k n  r ξ n  r  ,  0 上式两边左乘 A 得(k k  k )b0. 因为 0 1 nr b 是非零列向量，所以 k 0  k 1   k n  r  0 ，于是 k 1 ξ 1  k 2 ξ 2   k n  r ξ n  r  0 ，注意到 ξ 1 , ξ 2 , , ξ n  r 线性无 关，所以 k 1  k 2   k n  r  0 ， k 0  0 . 故 0 , 1 , 2 , n  r     线性无关，即方程组 Ax=b存在 n  r  1 个线性无关的解向量. 设,,  为方程组Ax=b的一组线性无关解， 1 2 nr2 令  ,  , ,  ，根据定义，易证 1 2 1 2 3 1 nr1 nr2 1 1 , 2 , n  r  1    线性 无关，又, ,  为齐次线性方程组Ax=0的一组解，即方程组Ax=0含有 1 2 nr1 nr1个线性无关的解，矛盾，所以Axb的任意nr2个解向量都是线性相关的， 所以Axb的线性无关的解向量的个数最多为nr1.8.【答案】略 【解析】 A   1 0 0 1 1 0 0 1 1    1 0 0 0 1 0 0 0 1    0 0 0 1 0 0 0 1 0   E  B x x x  11 12 13 设X x x x  与  21 22 23 x x x   31 32 33 A 可交换，则 A X  X A  B X  X B . 其中 B X   000 100 010   xxx 1 2 3 1 1 1 xxx 1 2 3 2 2 2 xxx 1 2 3 3 3 3    xx 2 30 1 1 xx 2 30 2 2 xx 2 30 3 3  , X B   xxx 1 2 3 1 1 1 xxx 1 2 3 2 2 2 xxx 1 2 3 3 3 3   000 100 010    000 xxx 1 2 3 1 1 1 xxx 1 2 3 2 2 2  . 由 B X  X B ，得x 0, 21 x 3 1  0 , x 3 2  0 , x 1 1  x 2 2  x 3 3 ， x 1 2  x 2 3 ， 故 X   k00 1 kk0 2 1 kkk 3 2 1  , 其中 k 1 , k 2 , k 3 为任意常数.