250421_164948-强化线代第三章解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_强化_线代

第三章 向量 巩固练习 题型05 向量组的线性相关性 1.【答案】C 【解析】 , , , 线 , , 线 无 关  关 , 线 无 关   , 线      又 性 性 相 性 可 由 性 表 出 , ,    可 由 线 性 表 出 ，故应选（C）. 2.【答案】D 【解析】（A），（B）均是线性无关的必要条件. 例如， 1  ( 1 , 1 , 1 ) T  ， 2  ( 1 , 2 , 3 ) T  ， 3  ( 2 , 3 , 4 ) T  ，虽 1 ， ， 2 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1  2  3  0    ，， 1 2  ，线性相关. 3 （C）是线性无关的充分非必要条件. 由 1 , 2 , , s , s  1     线性无关  1 , 2 , , s   线性 无关. 但由 1 , 2 , , s   线性无关 1 , 2 , , s , s  1     线性无关.例如 1  ( 1 , 1 , 1 ) T  ， 2  ( 1 , 2 , 3 ) T  ， (2,3,4)T，虽 3 ，1 2   线性无关，但是 ，1 ，2 3   线性相关. （D）是线性无关的性质. 故应选（D）. 3.【答案】C 【解析】若 1  ( 1 , 0 )  ， (2,0)， 2 3  ( 0 , 2 )  ， 4  ( 0 , 3 )  ，则 1 ， 2  线性相关， 3 ， 4  线性相关，但 1  3  ( 1 , 2 )   ， 2  4  ( 2 , 3 )   线性无关. 故（A）不正确. 对于（B），取 4   1  ，即知（B）不对. 对于（D），可考察向量组(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,1)，可知（D）不 对. 至于（C），因为4个3维向量必线性相关，如若， 1 2  ，线性无关，则 必可由 3 4 ， 1 2  ，线性表出. 现在 3 4  不能由， 1 2  ，线性表出，故， 3 1 2  ，必线性相 3 关. 故应选（C）4.【答案】D 【解析】用观察法. 由 ( 1  2 )  ( 2  3 )  ( 3  1 )  0       ，可知 1  2  ， 2  3  ， 3  1  线性相关. 故应选（D）. 至于（A），（B），（C）线性无关的判断可以用秩. 例如，（A）中 r ( 1 , 1  2 , 1  2  3 )  r ( 1 , 1  ，2 3 )  r ( 1 , 2 , 3 )  3              . 1 1 1 1 1 1   或(,, )(,,) 0 1 1 ，由行列式 0 1 1 0，而知 1 1 2 1 2 3 1 2 3     0 0 1 0 0 1 1 , 1  2 , 1  2  3      的秩为3， 所以 1 , 1  2 , 1  2  3      线性无关. 5.【答案】C 【解析】秩 r ( 1 , 2 , , s )  r     向量组 1 , 2 , , s   的极大线性无关组含 r 个线性无关 的向量  向量组 1 , 2 , , s   中任 r  1 个向量必线性相关. 所以应选（C）. 6.【答案】C 【解析】（A）： ( 1  2 , 2  3 , , s  1  s , s  1 )  ( 1 , 2 , 3 , , s )  1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1              记  1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1   B , B  1  (  1 ) s  1 当 s 为偶数时， B 0， 1  2  ，  ， ， 线性相关. 2 3 3 4 4 1 （B）：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，如果个数一样多，它们 的线性相关性是一样的，如果后者多，虽然前面的向量组线性无关，但是后面的向量组线 性相关.（C）：因为 ( 1 , 2 , , s )  ( 1 , 2 , , s )       A A A A ，于是 r ( A 1 , A 2 , , A s )  r [ A ( 1 , 2 , , s ) ]  r ( 1 , 2 , , s )  s          ， 所以， A 1 , A 2 , , A s   必线性相关. 故应选（C）. （D）： 1 , 2 , , s   线性相关只能推出：必存在一个向量可以被其他向量线性表出，这个 被表示的向量不一定是 s . 7.【答案】A 0 1 0 【解析】例如， ，只用初等行变换就不能化为 0 0 1 ( E 2 , 0 ) 形式，（A）不正确. 故 应选（A）. 因为 A 是 m  n 矩阵， m  r ( A )  r ( A | b )  m . 于是 r ( A )  r ( A | b )  m  n .（B） 正确. 由 B A  O 知 r ( B )  r ( A )  m ，又r(A)m，故 r ( B )  0 ，即BO.（C）正确. ATA是 n 阶矩阵， r ( A T A )  r ( A )  m  n ，故 A T A  0 ，（D）正确. 8.【答案】 a  0 或 a  b 【解析】 n 个 n 维向量线性相关  1 , 2 , , n  0    . 而 1 , 2 , 3  a a a  a b a    a a b  a a a  a b a a 0 0  b  2 a 2  a  b     ， 故a0或 a  b . 9.【答案】 a  3 【解析】任何3维向量可由 1 , 2 , 3   线性表出r(,,)3. 1 2 3 因而 1 0 1  1 3 2 a 1 2  1 0 0  1 2 2 2 a 1  a  2 ( a  3 )  0 ，所以 a  3 时，任何 3 维向量均可由 1 , 2 , 3   线性表出. 10.【答案】r1 【解析】r(,, ,)r(,, ,,)r表明可由,, ,线性表出，于 1 2 s 1 2 s 1 2 s是r(,, ,,,)r(,, ,,)r1. 1 2 s 1 2 s 11.【答案】 0 【解析】由A可逆，知A 可逆，那么 r ( A X A  )  r ( X ) ，从而 r ( B )  2 ， B  0 . 于是 1 2  1 2 a  3  0 3 2  1 2  1 0 a 0  0 3 2  a  0 . 12.【答案】  3 2 【解析】由BAT O有 r ( B )  r ( A T )  3 ，即r(A)r(B)3. 又BO，有r(B)1，从而r(A)3，即 A 0. 于是 2 1  1 2  2 1 3 a 3  3 1  1 0  2 1 0 a 3  3 (  2 a  3 )  0  a   3 2 . 13.【答案】 (  1 , 0 , 2 ) 或者(1,0,2)T 【解析】设 x 1 1  x 2 2  x 3 3     ，由  1 0 1 1  0 1 2 1 1 3 2 1    1 0 0 1   1 1 2 1  1  3 2 2    1 0 0 0 1 0 0 0 1  0 2 1  ， 解出 x 1   1 ，x 0，x 2. 故在基 2 3 1 , 2 , 3   的坐标是(1,0,2)或者 (  1 , 0 , 2 ) T . 14.【答案】 1 1 1 0 ( 3 , 1 , 0 , 0 ) T    ， 2 1 5 1 0 ( 1 , 3 , 2 0 , 1 0 ) T    【解析】  1 2 3 3 6 9 2 5 4 3 8 5    1 0 0 3 0 0  2 1 2  3 2 4    1 0 0 3 0 0 2 1 0 3 2 0    1 0 0 3 0 0 0 1 0  2 0 1  . 求得 A x  0 的一个基础解系：(3,1,0,0)T，(1,0,2,1)T. Schmidt正交化处理，有  (3,1,0,0)T， 1 3 1  (1,0,2,1)T  (3,1,0,0)T  (1,3,20,10)T ， 2 10 10 1  1 单位化，得  1  (3,1,0,0)T，  2  (1,3,20,10)T. 1  10 2  510 1 2 15.【答案】  1 2  1 0 1 1 1 3 2  【解析】由于 ( 1 , 2 , 3 )  ( 1 , 2 , 3 )  1 2  1 0 1 1 1 3 2        ，按过渡矩阵定义，知由 1 , 2 , 3   到 1 , 2 , 3   的过渡矩阵是  1 2  1 0 1 1 1 3 2  . 16.【答案】  2 0 3  【解析】令  ( 1 , 2 , 3 )   1  0 1 1 1 0 1 0 2     A ， B  ( 1 , 2 , 3 )   1 0 1  0 1 1 0 1 0     ，设向量 在基 1 , 2 , 3   下的坐标为  a b c  ，即   a b c   B ，  a b c    1  B ，因为    2 1 1   A ，所以 a 1 2       b  B1A 2  0 .             c 1 3       17.【答案】B 【解析】由结论＂以少表多，多的相关＂，命题①正确，而命题③是命题①的逆否命题， 故命题①和命题③正确.命题②是少由多表示，多的相关性不一定，故命题②不正确，命题 ④是命题②的逆否命题，故命题②和命题④不正确.答案选（B）. 18.【答案】 ( 1 , 1 ,  1 ) 【解析】设 xx x  x (1,1,0)x (1,0,1)x (0,1,1)(2,0,0)，可得 1 1 2 2 3 3 1 2 3 x x x 1 1 2    x x x 2 3 3    2 0 0 ，解得 x 1  1 ，x 1， 2 x 3   1 . 故  1  2  3     ，向量  ( 2 , 0 , 0 )  在 上述基下的坐标为(1,1,1). 19.【答案】C 【解析】 r Ⅱ( )  r  A ( 1 , 2 , , t )   r Ⅰ( )  t    （1）若Ⅰ相关，则 r Ⅱ( )  r Ⅰ( )  t ，所以Ⅱ相关. 若Ⅰ无关，则 r Ⅱ( )  r Ⅰ( )  t ，所以Ⅱ可能相关，也可能无关.故(A),(D)错误； （2）若Ⅱ无关，则 r Ⅱ( )  t ，因为 r Ⅱ( )  r  A ( 1 , 2 , , t )   r Ⅰ( )  t    ，所以 r(Ⅰ)t，所以Ⅰ无关.故选(C) 若Ⅱ相关，则 r Ⅱ( )  t ，所以 r Ⅱ( )  r Ⅰ( )  t ，Ⅰ可能相关，也可能无关.故（B）错 误. 20.【答案】C 【解析】由 2 , 3 , 4   线性无关，当 B 3  3 可逆时，有 1 , 2 , 3    线性无关. 答案选（C）. 对于（A），因 1 , 2 , 3   线性相关，无论 A 3  3 是什么矩阵， 1 , 2 , 3   均线性相关,故 （A）不正确. 对于（B），（D），令A B O,可得 33 33 1 , 2 , 3   和 1 , 2 , 3    必线性相关，故 （B），（D）不正确. 21.【答案】B 【解析】若低维无关，高维必无关，抽取,,的前三个元素， 1 2 3 1 0 6 1  2 1 2 0 7  0 ，所以 r(,,)3，又因为r(,,)3，所以r(,,)3，所以,,必线 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 性无关. 答案选（B）. 22.【答案】D【解析】（A）选项不对，任意 s  1 个向量都线性无关无法保证 1 , 2 , , s   线性无关，例 如：3个3维向量  1 0 0  ，  0 1 0  ，  1 1 0  ，其中任意2个向量都线性无关，而这3个向量线性 相关. （B）选项不对，存在向量 s  1  使向量组 1 , 2 , , s , s  1     仍线性无关，可推出 1 , 2 , , s   线性无关，但是反过来，若 1 , 2 , , s   线性无关，不一定存在向量 s  1  使 向量组 1 , 2 , , s , s  1     仍线性无关，例如：3个3维向量 1   1 0 0   ， 2   0 1 0   ， 3   0 0 1   线性无关，不存在向量 4  使得 1 , 2 , 3 , 4     线性无关，因为 4  必能被 1 , 2 , 3    线性表示. （C）选项不对， 1   1 0 0   ， 2   2 0 0   ， k 1  1 , k 2  0 ，满足 1  0  2  0   但 1 , 2   线 性相关 （D）选项正确，该命题是线性无关的等价定义. 23.【答案】略 【解析】由题意可得 Ti j  0 , i  j ,   且 i  0 , i  1 , 2 , , s  令k k 0（1），对（1）左乘 1 1 s s 1 T  ： k 1 1 T 1   k s 1 T s  0     ， 得 k 1 1 T 1  0   0  0   ，因为 0,所以 1 1 T 1  0   ，于是k 0，同理可证 1 k 2   k n  0 ，故,, ,线性无关. 1 2 s题型06 向量组的线性表示与极大无关组 1.【答案】（1） a  1 ， b  2 或 a  1 0 ，b1；（2） a  1 且a10； （3）请参照解析 【解析】设 x 1 1  x 2 2  x 3 3  x 3 4      ，对增广矩阵 ,,,  作初等行变 1 2 3 4 换，有  1 1 0 2  1 1 2 4 2 3 a 7  5  a  1 3 6 1 0 2 b      1 0 0 0 1 0 0 0  1 2 2 6  1 2 0 0 2 1 a 3 a 2 1  0 a 1  6   1 3 8 a  6   1 9 1 0 b 1  2  1 2 b  1  3  1 1  . （1）当 a  1 ，b2或a10，b1时，方程组均无解. 所以不能由,,, 1 2 3 4 线性表出. （2）当a1且 a  1 0 时，b方程组均有唯一解. 所以能用 1 , 2 , 3 , 4     线性表示且 表示法唯一. （3）方程组在两种情况下有无穷多解，即 ①当 a  1 0 ， b   1 时，方程组有无穷多解： 1 1 2 1 1    0 2 1 6 1   (,,,,)  1 2 3 4 0 0 9 9 3    0 0 0 0 0   9 1 1 0 0    2 2    7 2 0 1 0   2 3   1 0 0 1 1   3    0 0 0 0 0  1 7 2 9 1 x t，x t ，x  t ，x  t ， 4 3 3 2 2 3 1 2 3即    9 2 t  1 3  1    7 2 t  2 3  2   t  1 3  3  t 4      ，其中t为任意常数. ②当 a  1 ，b2时，方程组有无穷多解： ( 1 , 2 , 3 , 4 , ) 1 0 0 0 2 0 0 5 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 4 3 1 3            x 4   1 3 ， x 2  t ， x 3  1  2 t 4 ，x 5t ，即 1 3   5 t  4 3  1  t 2  (1  2 t ) 3  1 3 4      ，其中t为任意常数. 2.【答案】 a  1 5 , b  5 【解析】因为 3  可由,,线性表示，故方程组 1 2 3 x 1 1  x 2 2  x 3 3  3    有解. 由 1 3 9 b     2 0 6 1      3 1  7 0       1 0 0 1 0 0  1 3 1 0 3 6 0 9 2 0  9 1 2 0 2 1 b 3 1 0  1 5 1 b b b  2 3 b    b  b  5 . 所以 r ( 1 , 2 , 3 )  2    . 于是 r ( 1 , 2 , 3 )  2    . 从而 1 , 2 , 3  0 1  1 a 2 1 5 1 0   ( a  1 5 )  0  a  1 5    . 3.【答案】（1）b2，a为任意实数；（2）当b2， a  1 时，   1  2 2  0 3    b ； 当b2，a1时，b(2k1)(k2) k（k为任意常数） 1 2 3 【解析】b由 1 , 2 , 3   线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 xx x b有解. 1 1 2 2 3 3A   (  1 1 0 0 0 , , 2 2 1 0 0 3 a b ) 0  1  1 0   b 1 4 0 2 3 2 0  2 2 7 1 3  0 1  a 1 1 3 0 b 4    1 0 0 0 2  1  1 1 0 1  a 1 3  b  2 2     （1）当 b  2 ， a 为任意实数时， b 不可由,,线性表示； 1 2 3 （2）b2时，设b可由,,线性表示. 1 2 3 1 2 0 3 1 0 0 1     0 1 1 2 0 1 0 2     情形一：当a1时，A  ，方程组 0 0 1 0 0 0 1 0      0 0 0 0 0 0 0 0  x 1 1  x 2 2  x 3 3     b 有唯一解，故   1  2 2  0 3    b ； 1 2 0 3 1 0 2 1     0 1 1 2 0 1 1 2     情形二：当a1时，A  ，方程组 0 0 0 0 0 0 0 0      0 0 0 0 0 0 0 0  x 1 1  x 2 2  x 3 3     b 的通解为 X  k   1 1 2     2 0 1     2 k k  k  2 1  ， 则  (  2 k  1 ) 1  ( k  2 ) 2  k 3    b （k为任意常数）. 4.【答案】略 【解析】令 k 1 1  k 2 2   k n n  0    （*），在（*）两边左乘 A 得， k 1 1  k 2 2   k n n  0    A A A ，即 k 1 2  k 2 3   k n  1 n  0    ， 再对 k 1 2  k 2 3   k n  1 n  0    左乘 A 并以此类推得， k k k k 1 1 1 1 2 3 n n    1  k k  0 2 2 k 2 3 4   n  0   k k n n   1 2 n n   0 0          因为 n  0  ，所以 k 1  k 2   k n  0 ，故 1 , 2 , , n   线性无关. 5.【答案】C 【解析】两个向量组等价是指这两个向量组可以互相线性表示. 由已知条件 k 1 1  k 2 2  k 3 3  0    ， k 1 k 3  0 ， k 2 是否为零不能确定，故不能确定 2  是否 可由 1 , 3  线性表示，所以（B）（D）排除；同样也不能确定与是否等价，所以 1 3 （A）不正确. 对于（C），由 k 1 k 3  0 ，知 1 可由 2 , 3  线性表示，即 1   k k 2 1 2  k k 3 1 3   . 同理， 3 可 由,线性表示，又 1 2 2  2  0  3  2  0  1     ，故 1 , 2  与 2 , 3  等价. 6.【答案】D 【解析】对于（A）：在选项（A）的条件下，可得 r ( I I )  r ( I ) ，不能保证 r ( I I )  r ( I ) ，故 不能推得（Ⅱ）线性无关. 对于（B）：由 k  r Ⅱ( )  r ( I )  k ，得 r ( I I )  k ，故 1 , 2 , , k    线性无关，（B）的条件 是充分条件，但不是必要条件，如（Ⅰ）  1 0  ，（Ⅱ）  0 1  ，均线性无关，但（Ⅰ）不能由 （Ⅱ）线性表示. 对于（C）：由（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，即（Ⅰ）与（Ⅱ）可相互线性表示，故r(Ⅱ)r(I)， 因为向量组（Ⅰ）线性无关，故（Ⅱ）也线性无关. 反之：由向量组（Ⅰ）线性无关，与向量组（Ⅱ）线性无关，推不出（C），比如 1   1 0  , 1   0 1    ，它们不等价，所以（C）是充分而不必要条件. 对于（D）：矩阵A(,, ,)与B(,, ,)等价是指：A经过有限次初等 1 2 k 1 2 k 变换化为B ，故同型矩阵A与B 等价的充分必要条件是r(A)r(B). 在（D）的条件下，可知 r ( A )  r ( B ) ，又,, , 线性无关，故 1 2 k 1 , 2 , , k    线性无关. 反之：若,, , 线性无关，则 1 2 k r ( I I )  r ( I )  k ， r ( A )  r ( B )  k ，故 A 与B 等价. 7.【答案】A 【解析】令   T1T2T3     A ，由与 i 1 , 2 , 3   正交，知 i ( i  1 , 2 , 3 , 4 )  均是方程组Ax0的 非零解向量. 由 r ( A )  3 ，知Ax0的基础解系最多只含一个非零解向量，故 1  r ( 1 , 2 , 3 , 4 )  n  r ( )  4  3  1     A ，从而r(,,,)1，选项（A）正确. 1 2 3 4 8.【答案】（1） 1 , 2 , 3   是 1 , 2 , 3 , 4     的一个极大线性无关组；  1 0 0   （2）P  1 1 0 ， 33     0 2 1   Q 4  4   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1  【解析】（1）对 A 进行初等行变换，得 A   1 1 2 0 2 4 0 0 3 0 0  3    1 1 0 0 2 0 0 0 3 0 0  3    1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0  3  显然，向量组 1 , 2 , 3   是 1 , 2 , 3 , 4     的一个极大线性无关组. （2）  A E      1 0 0 1 1 2 0 2 0 0 2 4 0 0 3 0 0 3 0 0  0 0  3 3 1  0 1 0 0 1 0 1 0 0 1  2 0 0 1  0 0 1  P 3  3   1  0 1  0 1 2 0 0 1  1 0 0 0   0 1 0 0   ，Q  44 0 0 1 1   0 0 0 1 9.【答案】a5， 24 ， 2， 510 2 1 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3【解析】4个3维向量       i  i            一定线性相关. 若 1 , 2 , 3   线性无关，则 (i1,2,3)可由,,线性表示，这与题设矛盾，于是,,线性相关，从而 i 1 2 3 1 2 3 1 1 3 (,,)  1 2 4 a50，解得 1 2 3 1 3 a a  5 ，此时，向量组 1 , 2 , 3   不能由 1 , 2 , 3   线性表示. 令A(,,,,,)，对 1 2 3 1 2 3 A 进行初等行变换. A   1 0 1 0 1 1 1 3 5 1 1 1 1 2 3 3 4 5    1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 4  1 1 2 0 1  5 0 2  故 24 ， 1 1 2 3 2  1  2 2   ， 3  5 1  1 0 2  2 3     . 10.【答案】（1） a  3 , b  1 ；（2）请参照解析 【解析】（1）对增广矩阵 ( A : B ) 实行初等行变换有 1 1 1  1 1     0 1 2 2 0     1 2 a 1 b       1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 a a 1 2  1 2  1 3  1 2 2  2 0 1 b 1 0  b 1 1 0   1  当 a  3 , b  1 时， A X  B 无解，即, 不能同时由 1 2 1 , 2 , 3   线性表示. （2）当 a  3 ，对任意 b ，AX  B有唯一解,，记 1 2  ( 1 , 2 )  X ，则 1  1   A 的解 为(3,2,0)T，A  的解为 2 2  1  b a   1 3 ,  2 a ( b   3 1 ) , b a   1 3  T ，即表达式为 1   3 1  2 2  0  3    ， 2   1  b a   1 3  1  2 ( a b   1 3 ) 2  b a   1 3 3     当 a  3 , b  1 时， A X  B 有无穷多解，A的解为k(1,2,1)T (3,2,0)T， 1 1 2  2   A 的解为 l (1 ,  2 , 1 ) T  (1 , 0 , 0 ) T ， 表达式为 (k3)(2k2) k， (l1)2l l，其中k,l为任 1 1 2 3 2 1 2 3 意常数.11.【答案】略 【解析】方法一：（用定义）由已知条件，需证明从 1 , 2 , , k , k  1     中去掉一个后，剩 下的 k 个是线性无关的，不失一般性，不妨设去掉 1 ，即需证明 2 , , k , k  1    线性无关. 设 2 2 3 3 k k k 1 k 1            0     ① 将 k 1 1 1 2 2 k k             代人①式整理得 k 1 1 1 ( 2 k 1 2 ) 2 ( k k 1 k ) k                  0    由,, , 线性无关，故 1 2 k k 1 1 2 k 1 2 k k 1 k 0                  又 i 0 ( i 1 , 2 , , k )    ，得 k 1 0 , 2 0 , , k 0        ，故, ,, 线性无关. 同 2 k k1 理可得从 1 , 2 , , k , k  1     中去掉 2  ，即可证明,, ,, 线性无关.同理可得 1 3 k k1 1 , 2 , , k , k  1     中任何 k 个向量都线性无关. 方法二：不失一般性，考查向量组（Ⅰ） 1 , 2 , , k    ，（Ⅱ） 2 , , k , k  1    由已知条件，（Ⅰ）与（Ⅱ）可互为线性表示，所以r(I)r(II)k，即（Ⅱ）中 k 个向量 是线性无关的. 同理可得 1 , 2 , , k , k  1     中任何 k 个向量都线性无关. 方法三：（反证法） 假设 2 , , k , k  1    线性相关，而, ,线性无关，故 2 k k  1  可由, ,线性表示， 2 k 设 a  a ①， k1 2 2 k k 又 k 1 1 1 2 2 k k             ② ②－①得 1 1 ( 2 a 2 ) 2 ( k a k ) k    0          其中至少有 1 0   ，表明 1 , 2 , , k    线性相关，与已知条件矛盾，故 2 , , k , k  1    线 性无关. 同理可得 1 , 2 , , k , k  1     中任何k个向量都线性无关. 12.【答案】（1）a0且a3；（2）a0；（3）a3 【解析】方法一： 1a 1 1 0    A(,,,) 1 1a 1 a 1 2 3    1 1 1a a2    1 0 0  1 a a  1 2   a a  a a 2  a a 2 a  (1 2 a  2 a )    1 0 0 1 a 0  1 3   a a  a a 2  a ( a a 2 a   2 a 2 2 a  1 )  . （1）当 a  0 且 a   3 时，因为 r ( A )  r ( A )  3 ，所以可由 1 , 2 , 3   唯一线性表示； （2）当 a  0 时， A   1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0    1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0  ，因为 r ( A )  r ( A )  1  3 ，所 以可由 1 , 2 , 3   线性表示，但表示方法不唯一. 令 x 1 1  x 2 2  x 3 3     ，通解为 X  k 1   1 0 1   k 2   0 1 1     k 1 k k  1 2 k 2  ，于是  (  k 1  k 2 ) 1  k 1 2  k 2 3    ，其中 k 1 , k 2 为任意常数. （3）当 a   3 时， A    1 1 2  1 1 2  1 1 2 0  9 3    1 0 0 1  0 3  3 0 2  9 1 6 2  ，因为 r ( A )  r ( A ) ，所以不可由 1 , 2 , 3   线性表示； 方法二： D  A  1  1 1 a 1 1  1 a 1 1 1  a  ( a  3 ) a 2 . （1）当 D  0 ，即 a  0 且 a   3 时， 可由 1 , 2 , 3   唯一线性表示； （2）当 a  0 1 1 1 0 1 1 1 0     时，A 1 1 1 0  0 0 0 0 ，         1 1 1 0 0 0 0 0     因为 r ( A )  r ( A )  1  3 ，所以可由 1 , 2 , 3   线性表示，但表示方法不唯一. 1 1 k k  1 2       令xx x ，通解为X k 1 k 0  k ， 1 1 2 2 3 3 1  2   1        0 1 k       2 于是(k k )k k，其中k ,k 为任意常数. 1 2 1 1 2 2 3 1 2（3）当 a   3 时， A    1 1 2  1 1 2  1 1 2 0  9 3    1 0 0 1  0 3  3 0 2  9 1 6 2  ， 因为 r ( A )  r ( A ) ，所以不可由 1 , 2 , 3   线性表示. 综合测试 1.【答案】 4 【解析】 方法一： α 1 , α 2 , α 3 是 3 个 3 维向量，若其线性无关，则任一个 3 维向量均可由 α 1 , α 2 , α 3 线 性表示，现在 γ 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，故必有 α 1 , α 2 , α 3  11 1 1a 1 a21  ( a  4 ) ( a  1 )  0 , 可得 a  4 或 a   1 ， 若a1， ( α 1 , α 2 , α 3 , β )   1 1  1 1   1 1  2 1 1  4 1 4    1 0 0  1 0 2  3 0 1  4 5 8  , β 不能由α ,α ,α 线性表示，故 1 2 3 a  4 . 方法二： α 1 , α 2 , α 3 是3个3维向量，若其线性无关，则任一个3维向量均可由 α 1 , α 2 , α 3 线 性表示，现在 γ 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，故必有 α 1 , α 2 , α 3  11 1 1a 1 a21  ( a  4 ) ( a  1 )  0 , 可得 a  4 或 a   1 ， ( α 1 , α 2 , α 3 , β )   1 1  1 1  a 1 a 2 1 4  a 4 2    1 0 0 1 2 0 ( a  a 1  1  2 ) ( a  4 ) 2 a ( 4 8 4  a )  , 可知 a  4 时，β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示. 2.【答案】  7 【解析】 由题设知，A ( α , α , α ) 1 2 3    ( ( ( A α α 1 1 α 1  , α , 2 2 A α , α 2 α , A 2 , α 2  )  3   α  1 2 0 3 2 ) α , α 3 0 1  2 3   0 1 2 2 α  1 ) 令 P  ( α 1 , α 2 , α 3 ) ， B    1 0 2  0 1 2  0 1 2  ，则 A P  P B ， 由于 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，故矩阵P 可逆，则A PBP1 ， 于是 A  P B P  1  B   7 . 3.【答案】C 【解析】 1 0 1  1 0 1  (αkβ,βkγ,αγ)(α,β,γ)k 1 0 ，设Ak 1 0 ，     0 k 1 0 k 1     则 A  k 2  1 ，当向量组 α  k β , β  k γ , α  γ 线性无关时， A k2 10，即 k   1 ， 所以k 1是向量组 α  k β , β  k γ , α  γ 线性无关的必要条件； 当 k  1 但 k   1 时， A  0 ，向量组αkβ,βkγ,αγ线性相关，所以 k  1 不是向量 组αkβ,βkγ,αγ线性无关的充分条件； 故选（C）. 4.【答案】C 【解析】 只需对两种情况举出例子即可. ①取 1   100  , 2   110    线性无关， 1   001  , 2   011    线性无关，显然不能相互线性表 示，但4个 3 维列向量必定线性相关； 1 0 0 0 0 1 0 0 ②取 1  0 , 2  0线性无关， 1  1 , 2  0线性无关，显然不能相互线性表         0 0 0 1示，此时 4 个列向量仍然线性无关； 由①②知，应选（C）. 5.【答案】C 【解析】 两个向量组等价的充要条件是 r ( α 1 , α 2 , α 3 )  r ( α 1 , α 2 , α 3 β 1 , β 2 , β 3 )  r ( β 1 , β 2 , β 3 ) ，对 矩阵 ( α 1 , α 2 , α 3 β 1 , β 2 , β 3 ) 作初等行变换，有  12  3 30  3  961 5 01 1 3a1 11b      100 100 3  6 6 3  6 0 1  912 910 2 2 01 010 1 aa a 1 3 30 64 6 b 1 b  1 1  1 2 3   可见当 a   4 , b   2 时，r(α ,α ,α )r(α ,α ,α β ,β ,β )r(β ,β ,β )2，两 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 个向量组等价. 6.【答案】B 【解析】 对于（B），若 A x  0 与 B x  0 同解，考虑方程组 （I） A x  0 ，（II）  A B x x   0 0 ，（III） B x  0 ， A 则（I）（II）（III）同解，故r(A)r   r(B)，即 B A , B 的行向量组等价，反之，若 α   β  1 1 α   β  A,B的行向量组等价，记A  2  ,B   2  ,则列向量组     α β     m m α T1 , α T2 , , α Tm 与 β T1 , β T2 , β Tm 等价，故存在矩阵P,Q,使得(αT,αT, ,αT)(βT,βT, βT)P， 1 2 m 1 2 m ( β T1 , β T2 , β Tm )  ( α T1 , α T2 , , α Tm ) Q ，所以 A  P T B , B  Q T A ， 故由 A x  0 得 B x  Q T A x = 0 ，反之，由 B x  0 得Ax  PTBx 0， 即Ax0与Bx0同解； 对于（A），由（B）的证明知显然不正确；对于（C），相当于 r ( A )  r ( B ) ，它是必要条件而非充分条件； 1 0 0 2 0 0 对于（D），举反例，如A ,B ，显然， 2 0 0 1 0 0 A x  0 与 B x  0 同 解，但 A T x  0 与 B T x  0 不同解. 7.【答案】略 【解析】 设有一组数 k 1 , k 2 , , k n 使得 k 1 1  k 2 2   k n n  0    在上式两端同时左乘 Ti A  1  ，得 k 1 Ti A  1 1  k 2 Ti A  1 2   k i Ti A  1 i   k n Ti A  1 n  0         由 Ti A  1 j  0 ( i  j ; i , j  1 , 2 , , n )   可得kTA1 0(i1,2, ,n) i i i 因 A 为正定矩阵，则 A  1 也为正定矩阵，且 0，故 i Ti A  1 i  0   ， 于是 k i  0 ( i  1 , 2 , , n ) ，所以向量组 α 1 , α 2 , , α n 线性无关. 8.【答案】略 【解析】 设存在一组数 k 1 , k 2 , , k s ，使得 k 1 β 1  k 2 β 2   k s β s  0 成立，即 k  1 ( k α 1 1 α  1  t α ( 2 k ) t 1   k k ( α 2 ) α 2 2 2   t α ( k ) 3 t 2   k 3  ) α k 3 ( s  α s   t α ( k s  1 s  1 ) t  k s ) α s  k s t α s  1  0 由于 α 1 , α 2 , , α s  1 ( s  1 ) k 0, 1 ktk 0,  1 2 线性无关，故 k tk 0, s1 s k t 0,  s 得唯一解k k  k 0，故β ,β , ,β 线性无关. 1 2 s 1 2 s 9.【答案】 1 2  101  , 1 6  21 1  【解析】 由题设可知 ，所以 3 1 2 V 中的任意向量均可由, 线性表示， 1 2 又,线性无关，故,为向量空间V 的一个基，将其标准正交化，得 1 2 1 21 1 1 0 1 , 2 2 ( ( 2 1 , , 1 1 ) ) 1 2 1 1 ,                    1 1 1 1 1 2 101 , 2 1 2 2 1 6 21 1 ,     γ     γ      从而 1 2  101  , 1 6  21 1  为向量空间V 的一个规范正交基.拓展提升 1.【答案】C 【解析】 如果 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，由于 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 为 4 个3维列向量，故 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性相关， 则 α 4 必能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，可知①是正确的； 1 0 0 0 令α 0,α 1,α 2,α 0，则α ,α ,α 线性相关， 1   2   3   4   1 2 3 0 0 0 1         α 2 , α 3 , α 4 线性相关， 但α ,α ,α 线性无关，可知②不正确； 1 2 4 r ( α 1 , α 1  α 2 , α 2  α 3 )  r ( α 1 , α 2 , α 2  α 3 )  r ( α 1 , α 2 , α 3 ) ， r ( α 4 , α 1  α 4 , α 2  α 4 , α 3  α 4 )  r ( α 4 , α 1 , α 2 , α 3 )  r ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ， 故当 r ( α 1 , α 1  α 2 , α 2  α 3 )  r ( α 4 , α 1  α 4 , α 2  α 4 , α 3  α 4 ) 时，有 r ( α 1 , α 2 , α 3 )  r ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ，即 α 4 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，可知③是正确的；故选 （C）. 2.【答案】D 【解析】 由于,,是非齐次线性方程组 1 2 3 A x  b 的三个互不相同的解，因此 1  2 , 2  3 , 1  3      都是相应的齐次线性方程组Ax0的解.因为 A 是 m  n 矩阵，且 r ( A )  n  1 ，所以齐次线性方程组 A x  0 的基础解系中只有一个解向量，即只有一个线 性无关的解，从而 1  2 , 2  3    线性相关， 1  2 , 1  3    也线性相关，故选项（A） （B）错误； 由 1  2 , 1  3    线性相关知，存在不全为零的数k ,k ，使得 1 2 k 1 ( 1  2 )  k 2 ( 1  3 )  0     ， 即 ( k 1  k 2 ) 1  k 1 2  k 2 3  0    ，也即(k k )(k k ) k ( )0，显然， 1 2 1 1 2 2 2 2 3 当k ,k 不全为零时，k k ,k 也不全为零，故,, 线性相关，因此选项（C） 1 2 1 2 2 1 2 2 3 错误；设存在数 k 1 , k 2 ，使得 k 1 1  k 2 ( 2  3 )  0    ，在等式两端左乘 A ，得 k Ak (A A)0，由于,,是非齐次线性方程组 1 1 2 2 3 1 2 3 A x  b 的解，因此 A i  b  0 ( i  1 , 2 , 3 )  ，从而得到 k 1 b  0 即 k 1  0 ，再将 k 1  0 代入 k 1 1  k 2 ( 2  3 )  0    ，并注意到 2  3  ，得 k 2  0 ，于是, 线性无关，故选 1 2 3 （D）. 3.【答案】略 【解析】 由于 A 1 , A 2 , , A s   线性相关，故存在不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s 使得 k Ak A  k A 0，即A(kk  k) Aξ 0， 1 1 2 2 s s 1 1 2 2 s s 其中 ξ  k 1 1  k 2 2   k s s   ，已知 1 , 2 , , s   线性无关，故对任意不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s 有 ξ  k 1 1  k 2 2   k s s  0    ，而 A ξ  0 ，说明线性方程组 A x  0 有非 零解，从而 A 0， A 是不可逆矩阵. 4.【答案】（1） 能由,,,线性表示；（2） 不能由 4 1 2 3 5 4 1 , 2 , 3   线性表示 【解析】 （1）由非齐次线性方程组的通解(2,1,0,1)T k(1,1,2,0)T （ k 为任意常数）知， 5  ( k  2 ) 1  (  k  1 ) 2  2 k 3  4     ，可得  (k2)(k1) 2k ，故 4 1 2 3 5 4  能由 1 , 2 , 3 , 5    线性表示. （2）由于对应齐次线性方程组的基础解系只有一个非零解向量， 故r(,,,)r(,,,,)413，且由对应齐次线性方程组的通解知 1 2 3 4 1 2 3 4 5  2 0，即,,线性相关，r(,,)3，若 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4  能由,,线性 1 2 3 表示，则 r ( 1 , 2 , 3 , 4 )  r ( 1 , 2 , 3 )  3        ，这和 r ( 1 , 2 , 3 , 4 )  3     矛盾，故 4  不能 由,,线性表示. 1 2 3  3  5.【答案】（1）略；（2）k 4  ,k是任意非零常数   1   【解析】（1）因为 1 , 2 , 1 , 2    均是 3 维列向量， 4 个 3 维列向量必线性相关，由定义知，存在不 全为零的常数k ,k ,,，使得kk  0， 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 即kk  ，取 1 1 2 2 1 1 2 2 k 1 1 k 2 2 1 1 2 2   ξ          ，若 ξ  0 ， 则 k 1 1 k 2 2 1 1 2 2        0     ，因为 1 , 2  线性无关， 1 , 2   也线性无关，从而得出 k 1  k 2  0 ，且 1 2 0     ，这和 k 1 , k 2 , 1 , 2  不全为零矛盾，故 ξ  0 ，所以存在既可由 1 , 2  线性表示，也可由 1 , 2   线性表示的非零列向量 ξ . （2）设 k 1 1 k 2 2 1 1 2 2   ξ          ，得齐次线性方程组 k 1 1 k 2 2 1 1 2 2       0     ，将 1 , 2 , 1 , 2    合并成矩阵，并作初等行变换，得 ( , , , ) 1 2 1 2    1  2 3 1  0  0  211 250  14 7 2 23  5  3 5  5  17  3     100  100  25 5 010 1 001 230  1 1  5  1 3 2 0  2 ,       解得 ( k 1 , k 2 , 1 , 2 ) T k ( 1 , 2 , 1 , 1 ) T      ，故既可由 1 , 2  线性表示，也可由 1 , 2   线性表示 的所有非零列向量为 ξ  k 1 1  k 2 2   k 1  2 k 2   k   1 3 2   2 k  211   k  34 1  ,     其中 k 是任意非零常数； 或 1 1 2 2 k 1 k 2 k 14 2 k 5 53 k 34 1   ξ                      ， 其中 k 是任意非零常数. 6.【答案】略 【解析】 用反证法.设 1 , 2 , , s ,    中存在s个向量,, , , , ,,线性相关，则存 1 2 i1 i1 s 在不全为零的数 k 1 , k 2 , , k i 1 , k i 1 , , k s , k 使得 kk  k  k   k k （1） 1 1 2 2 i1 i1 i1 i1 s s由题设有  l1 1  l 2 2   l i i   l s s     ，其中 l i  0 , i  1 , 2 , , s . 代入（1）式得 (  k 1 k  l i k i l1  ) ( k  1 i 1 (  k 2 k l  i k ) 1 l 2 ) i 1 2     ( ( k k s i  1 k  l s k ) l i 1 s )  i 0 1       因,, ,线性无关，从而有 1 2 s k l i  0 ，又 l i  0 ，得 k  0 ，从而由（1）式得 k 1 , k 2 , , k i 1 , k i 1 , , k s 均为零，矛盾. 故,, ,,中任意s个向量均线性无关. 1 2 s 7.【答案】略 【解析】 记 A  ( A | )  ( 1 , 2 , 3 , 4 | )       ，对 A 作初等行变换，有 A   1 1 1 2 a 2 a a 3    4 5 7 1 4 6 8 0 2 a 2 3 5  3 0 1 3 b    1 0 0 0 a 3  0 0 1 4 2 0 0 2 a 2 1 0  1 b 0 1 1  1  （1）当 a  1 2 时， r ( 1 , 2 , 3 , 4 )  r ( A )  3     ，且 1 , 3 , 4   线性无关，故 1 , 3 , 4   是 一个极大线性无关组； 1 当a  时，r(,,,)r(A)2，且,线性无关，故, 是一个极大线性 2 1 2 3 4 1 3 1 3 无关组. 1 （2）当a  ， 2 b 任意时， r ( A )  r ( A ) ，故Ax =无解，不能由,,, 线性 1 2 3 4 1 表示；当a  ,b1时， 2 r ( A )  r ( A ) ，故 A x = 无解，不能由,,, 线性表 1 2 3 4 示. （3）若任意的  维非零列向量 ξ 均可由,,,,线性表示，即方程组 1 2 3 4( 1 , 2 , 3 , 4 , )  x x x x x 1 2 3 4 5   ξ      有解，也即 r ( 1 , 2 , 3 , 4 , )  r ( 1 , 2 , 3 , 4 , | ξ )           ， 又因为矩阵 ( 1 , 2 , 3 , 4 , | ξ )      的行数为  ，所以 r ( 1 , 2 , 3 , 4 , | ξ )  4      ， 若 r ( 1 , 2 , 3 , 4 , )  4      ，则必有 r ( 1 , 2 , 3 , 4 , )  r ( 1 , 2 , 3 , 4 , | ξ )  4           ，即当 a  1 2 且 b  1 时，任意的  维非零列向量 ξ 均可由,,,,线性表示. 1 2 3 4 8.【答案】略 【解析】 （1）由于 r ( A )  r ( B ) ，故可设向量组 A 的极大线性无关组为 1 , 2 , , r   ，向量组 B 的极大线性无关组为 1 , 2 , r   ，则向量组A与 1 , 2 , , r   等价，向量组B 与 1 , 2 , r   等价，由于向量组 A 可由向量组 B 线性表示，故 1 , 2 , , r   可由 , ,线性表示，从而向量组 1 2 r 1 , 2 , , r , 1 , 2 , r       的秩为 r ，且 1 , 2 , , r    与, ,均为向量组 1 2 r 1 , 2 , , r , 1 , 2 , r       的极大线性无关组，故 1 , 2 , , r    与, ,等价，从而向量组 1 2 r A 与向量组 B 等价. （2） ( , 1 2 , 3 | , 1 2 )      1 2 0 100 102 110 12a a 12 124 4 10b 120   b 11  100 2   122  14a 100 144 010 1  2  b   1 2 a  4 20 1 b 01 2       当a4时， r ( 1 , 2 , 3 )  3  2  r ( 1 , 2 )      ，此时，向量组,,不能由向量组 1 2 3 1 , 2   线性表示，故,,与 1 2 3 1 , 2   不等价； 当a4且b2时， 不能由,,线性表示，故,,与, 不等价； 2 1 2 3 1 2 3 1 2 当a4且 b  2 时， r ( 1 , 2 , 3 )  2  r ( 1 , 2 )      ，向量组 1 , 2   可由向量组 1 , 2 , 3   线 性表示，从而由（1）知，,,与, 等价.此时， 1 2 3 1 21  (  1  k ) 1  ( 2  2 k ) 2  k 3    （ k 为任意常数），  m(12m) m（ 2 1 2 3 m 为任意常数）.